wartość bezwzględna, definicja wartości bezwzględnej
Definicja
DEFINICJA
Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem:
|
x
|
=
{
x
,
dla
x
⩾
0
−
x
,
dla
x
<
0
{\displaystyle |x|=\left\{{\begin{matrix}x,&{\mbox{ dla }}x\geqslant 0\\-x,&{\mbox{ dla }}x<0\end{matrix}}\right.}
.
Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby .
Zobaczmy kilka przykładów:
|
4
|
=
4
{\displaystyle |4|=4}
|
−
5
|
=
5
{\displaystyle |-5|=5}
|
30
−
40
|
=
|
−
10
|
=
10
{\displaystyle |30-40|=|-10|=10}
|
4
−
3
|
=
|
1
|
=
1
{\displaystyle |4-3|=|1|=1}
|
3
−
π
|
=
π
−
3
{\displaystyle |3-\pi |=\pi -3}
Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.
własności wartości bezwzględnej
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:
|
x
|
⩾
0
{\displaystyle |x|\geqslant 0}
|
x
|
=
|
−
x
|
{\displaystyle |x|=|-x|}
|
x
|
=
x
2
{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}
|
x
⋅
y
|
=
|
x
|
⋅
|
y
|
{\displaystyle |x\cdot y|=|x|\cdot |y|}
|
x
y
|
=
|
x
|
|
y
|
,
y
≠
0
{\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}},~y\neq 0}
Interpretacja geometryczna [ edytuj ]
interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną [ edytuj ]
rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną, równania z wartością bezwzględną
Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:
|
x
|
=
a
⟺
(
x
=
a
∨
x
=
−
a
)
{\displaystyle |x|=a\iff (x=a\lor x=-a)}
Przykład 1.
W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:
|
x
+
4
|
=
2
{\displaystyle |x+4|=2}
x
+
4
=
2
∨
x
+
4
=
−
2
{\displaystyle x+4=2\lor x+4=-2}
x
=
−
2
∨
x
=
−
6
{\displaystyle x=-2\lor x=-6}
Przykład 2.
Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:
|
x
+
4
|
+
|
x
−
2
|
=
6
{\displaystyle |x+4|+|x-2|=6}
Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale
(
−
∞
;
−
4
)
{\displaystyle (-\infty ;-4)}
i dodatnie w przedziale
(
−
4
;
+
∞
)
{\displaystyle (-4;+\infty )}
. Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale
(
−
∞
;
2
)
{\displaystyle (-\infty ;2)}
i dodatnie w przedziale
(
2
;
+
∞
)
{\displaystyle (2;+\infty )}
. Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):
(
−
∞
;
−
4
)
{\displaystyle (-\infty ;-4)}
gdzie oba wyrażenia są ujemne
[
−
4
;
2
)
{\displaystyle [-4;2)}
gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
[
2
;
+
∞
)
{\displaystyle [2;+\infty )}
gdzie oba wyrażenia są nieujemne
W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli
x
<
(
−
4
)
{\displaystyle x<(-4)}
trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.
x
∈
(
−
∞
;
−
4
)
{\displaystyle x\in (-\infty ;-4)}
W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:
−
x
−
4
−
x
+
2
=
6
{\displaystyle -x-4-x+2=6}
x
=
−
4
{\displaystyle x=-4}
Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale
x
∈
(
−
∞
;
−
4
)
{\displaystyle x\in (-\infty ;-4)}
równanie nie ma rozwiązań.
x
∈
[
−
4
;
2
)
{\displaystyle x\in [-4;2)}
x
+
4
−
x
+
2
=
6
{\displaystyle x+4-x+2=6}
6
=
6
{\displaystyle 6=6}
Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale
x
∈
[
−
4
;
2
)
{\displaystyle x\in [-4;2)}
każda liczba spełnia równanie.
x
∈
[
2
;
∞
)
{\displaystyle x\in [2;\infty )}
x
+
4
+
x
−
2
=
6
{\displaystyle x+4+x-2=6}
x
=
2
{\displaystyle x=2}
Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.
Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:
x
∈
[
−
4
;
2
]
{\displaystyle x\in [-4;2]}
Przykład 3.
|
x
+
4
|
−
|
2
x
+
3
|
+
3
|
x
−
1
|
=
7
{\displaystyle |x+4|-|2x+3|+3|x-1|=7}
Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.
x
+
4
=
0
⟹
x
=
−
4
{\displaystyle x+4=0\implies x=-4}
2
x
+
3
=
0
⟹
x
=
−
3
2
{\displaystyle 2x+3=0\implies x=-{3 \over 2}}
x
−
1
=
0
⟹
x
=
1
{\displaystyle x-1=0\implies x=1}
W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.
x
∈
(
−
∞
;
−
4
)
{\displaystyle x\in (-\infty ;-4)}
−
x
−
4
+
2
x
+
3
−
3
x
+
3
=
7
{\displaystyle -x-4+2x+3-3x+3=7}
x
=
−
5
2
{\displaystyle x=-{5 \over 2}}
W tym przedziale nie ma rozwiązań.
x
∈
[
−
4
;
−
3
2
)
{\displaystyle x\in \left[-4;-{3 \over 2}\right)}
x
+
4
+
2
x
+
3
−
3
x
+
3
=
7
{\displaystyle x+4+2x+3-3x+3=7}
10
=
7
{\displaystyle 10=7}
Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.
x
∈
[
−
3
2
;
1
)
{\displaystyle x\in \left[-{3 \over 2};1\right)}
x
+
4
−
2
x
−
3
−
3
x
+
3
=
7
{\displaystyle x+4-2x-3-3x+3=7}
x
=
−
3
4
{\displaystyle x=-{3 \over 4}}
Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.
x
∈
[
1
;
∞
)
{\displaystyle x\in [1;\infty )}
x
+
4
−
2
x
−
3
+
3
x
−
3
=
7
{\displaystyle x+4-2x-3+3x-3=7}
x
=
9
2
{\displaystyle x={9 \over 2}}
Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.
Podsumowując:
x
∈
{
−
3
4
;
9
2
}
{\displaystyle x\in \left\{-{3 \over 4};{9 \over 2}\right\}}
To samo można zapisać w postaci:
x
=
−
3
4
∨
x
=
9
2
{\displaystyle x=-{3 \over 4}\lor x={9 \over 2}}
Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną [ edytuj ]
rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną, nierówności z wartością bezwzględną
Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym .
Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:
|
x
|
<
a
⟺
−
a
<
x
<
a
⟺
(
x
>
−
a
∧
x
<
a
)
{\displaystyle |x|<a\iff -a<x<a\iff (x>-a\land x<a)}
|
x
|
⩽
a
⟺
−
a
⩽
x
⩽
a
⟺
(
x
⩾
−
a
∧
x
⩽
a
)
{\displaystyle |x|\leqslant a\iff -a\leqslant x\leqslant a\iff (x\geqslant -a\land x\leqslant a)}
|
x
|
>
a
⟺
(
x
<
−
a
∨
x
>
a
)
{\displaystyle |x|>a\iff (x<-a\lor x>a)}
|
x
|
⩾
a
⟺
(
x
⩽
−
a
∨
x
⩾
a
)
{\displaystyle |x|\geqslant a\iff (x\leqslant -a\lor x\geqslant a)}
W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:
|
x
+
5
|
⩽
10
{\displaystyle |x+5|\leqslant 10}
wykorzystując własność
|
x
|
⩽
a
⟺
(
x
⩾
−
a
∧
x
⩽
a
)
{\displaystyle |x|\leqslant a\iff (x\geqslant -a\land x\leqslant a)}
, gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:
|
x
+
5
|
⩽
10
⟺
(
x
+
5
⩾
−
10
∧
x
+
5
⩽
10
)
{\displaystyle |x+5|\leqslant 10\iff (x+5\geqslant -10\land x+5\leqslant 10)}
(
x
⩾
−
15
∧
x
⩽
5
)
{\displaystyle (x\geqslant -15\land x\leqslant 5)}
Odp.
x
∈
[
−
15
;
5
]
{\displaystyle x\in [-15;5]}
.