wartość bezwzględna, definicja wartości bezwzględnej
|
DEFINICJA
Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem:
.
|
Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.
Zobaczmy kilka przykładów:
![{\displaystyle |4|=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e96912650134dcc2fa10d566a974477afedf747)
![{\displaystyle |-5|=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0404af36f6f7628ae82cb5c1a3139135c89a3725)
![{\displaystyle |30-40|=|-10|=10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a7268aeb28022f0a700a30478ba9b1a0604617)
![{\displaystyle |4-3|=|1|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1297f65f29fa2852df296cc458cb87042be97c15)
![{\displaystyle |3-\pi |=\pi -3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9409badc4badbaee7de45a4176408d547e7393)
Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.
własności wartości bezwzględnej
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:
![{\displaystyle |x|\geqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faabf61ee73a5d5aaddf4fe5129e76da450b2980)
![{\displaystyle |x|=|-x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11053cf35fc32bd3d1a204a901f3cdd49fe02f4)
![{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf4f434beec0527bf368c9691e30c76acbef05a)
![{\displaystyle |x\cdot y|=|x|\cdot |y|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07fe46ddbb3478dcae7b8caa5c68ed3d5bc3af4)
![{\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}},~y\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad7927ef9e800f3602f8abb5bc238f51f4874f4)
Interpretacja geometryczna
[edytuj]
interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną
[edytuj]
rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną, równania z wartością bezwzględną
Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:
![{\displaystyle |x|=a\iff (x=a\lor x=-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47c015668fc536530a8dca555cc9976e7ff9d8a)
Przykład 1.
W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:
Przykład 2.
Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:
Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale
i dodatnie w przedziale
. Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale
i dodatnie w przedziale
. Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):
gdzie oba wyrażenia są ujemne
gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
gdzie oba wyrażenia są nieujemne
W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli
trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.
W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:
Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale
równanie nie ma rozwiązań.
Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale
każda liczba spełnia równanie.
Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.
Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:
Przykład 3.
Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.
W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.
W tym przedziale nie ma rozwiązań.
Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.
Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.
Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.
Podsumowując:
To samo można zapisać w postaci:
Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną
[edytuj]
rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną, nierówności z wartością bezwzględną
Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.
Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:
![{\displaystyle |x|<a\iff -a<x<a\iff (x>-a\land x<a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec3d0f6cdbb4b796e0d65d7b5094050e11b4962)
![{\displaystyle |x|\leqslant a\iff -a\leqslant x\leqslant a\iff (x\geqslant -a\land x\leqslant a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e266deb535b6d751cba6e822ea5c17e162e2abca)
![{\displaystyle |x|>a\iff (x<-a\lor x>a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351c677ad32def0a59f476d780bde3a581840eae)
![{\displaystyle |x|\geqslant a\iff (x\leqslant -a\lor x\geqslant a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b41ef991f0f160c163f5f83ca35b727cc90fc6)
W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:
wykorzystując własność
, gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:
![{\displaystyle |x+5|\leqslant 10\iff (x+5\geqslant -10\land x+5\leqslant 10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a6d102f84b6572a9c8802ee423c36c3989acda)
![{\displaystyle (x\geqslant -15\land x\leqslant 5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a6ee32fb4a8986ab395372825396e4f9f1043a)
Odp.
.