Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Przybliżenia liczbowe

Przybliżenia liczbowe

przybliżanie, zaokrąglanie, przybliżenie z niedomiarem, przybliżenie z nadmiarem

Przykład 1. Często wykonując pewne obliczenia przybliżamy, czy też zaokrąglamy pewne wartości np. kupując telewizor za 999 zł i 99 gr, z reguły jak ktoś się spyta odpowiemy, że kosztował 1000 zł (ewentualnie dla niektórych 900 zł). Wartość 1000 zł jest podana z nadmiarem, bo jest większa od wartości telewizora. Natomiast wartość 900 zł jest podana z niedomiarem, ponieważ wartość ceny telewizora jest trochę większa.

Przykład 2. Liczba $2 \over 3$ wynosi $0,66666~66666\dots$, w przybliżeniu będzie ona równa 0,666 (z niedomiarem) lub 0,667 (z nadmiarem).

Przykład 3. Jak wszyscy dobrze wiemy $\pi =3,14159~26535~89793~23846\dots$. Pamiętanym przez większość z nas przybliżeniem dziesiętnym tej liczby jest 3,14, co zapisujemy $\pi \approx 3,14$. Przybliżeniem tej liczby z niedomiarem będzie na przykład $\pi \approx 3,1415$, a z nadmiarem $\pi \approx 3,1416$.

Błąd przybliżenia

błąd przybliżenia, przybliżenie z niedomiarem, przybliżenie z nadmiarem

Aby obliczyć błąd przybliżenia pewnej liczby odejmujemy od liczby jej przybliżenie: $x-x_{0}$, gdzie $x$ jest przybliżeniem liczby $x_{0}$.

Przykład 4. Dla liczby $0,334$, przybliżeniem tej liczby może być $0,36$. Wtedy błąd przybliżenia będzie wynosił $0,334-0,36=-0,026$.

Jeśli błąd przybliżenia będzie liczbą dodatnią, to przybliżenie będzie z niedomiarem. Natomiast jeśli będzie liczbą ujemną, to nasze przybliżenie będzie z nadmiarem.

Zaokrąglanie liczb

zaokrąglanie liczb, dokładność zaokrąglenia

Jeśli chcemy zaokrąglić pewien ułamek dziesiętny, to odrzucamy pewną liczbę cyfr końcowych i stosujemy poniższe zasady:

1. jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest któraś z cyfr od 0 do 4, to zaokrąglamy z niedomiarem (czyli pozostawiamy bez zmian)
2. natomiast jeśli pierwsza odrzucana jest którąś z cyfr od 5 do 9, to zaokrąglamy z nadmiarem.

Przykład 6. Liczbę 3,02456 zaokrąglona z dokładnością do 0,01 będzie wynosiła 3,02, ponieważ odrzuciliśmy 456. Ponieważ pierwszą wykreśloną liczbą jest 4, więc 2 zostawiamy bez zmian (1).

Przykład 6. Liczba 2,076899 zaokrąglona z dokładnością 0,001 będzie wynosiła 2,077, ponieważ odrzuciliśmy 899, a pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc stosujemy zasadę 2 i zamieniamy 6 na 7.

Przykład 7. Liczbę 2,982 zaokrąglona z dokładnością do 0,1 będzie wynosiła 3,0, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc użyliśmy zasady 2 i do liczby 2,9 dodaliśmy dodatkowo 0,1.