Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór liczb naturalnych[edytuj]

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy .

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

Definicja
DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez , a i-ta liczba pierwsza przez np. .

Zbiór liczb całkowitych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór .

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez . Łatwo zauważyć, że .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie i .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez .

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego , dla i

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: . Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba , czy też .

Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

Set of real numbers (diagram).svg

Rozwinięcie dziesiętne[edytuj]

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie . Na pewno pamiętamy, że . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

, ponieważ

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa . Zobaczmy na rozwiązanie:

, ponieważ

Szukaną liczbą jest .

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że . Oto rozwiązanie:

, ponieważ

Jeżeli:

to:

Skoro , to:

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład: .

Jeżeli:

to:

Liczbę możemy zapisać także w formie Podobnie możemy zapisać jako a także W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera a także liczba Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.