Zbiór liczb naturalnych[edytuj]
zbiór liczb naturalnych, liczby naturalne
Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru
. Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy
.
|
DEFINICJA
Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór .
|
Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.
liczba pierwsza, liczba złożona, zbiór liczb pierwszych
|
DEFINICJA
Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.
Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.
|
Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez
, a i-ta liczba pierwsza przez
np.
.
Zbiór liczb całkowitych[edytuj]
zbiór liczb całkowitych, liczby całkowite
|
DEFINICJA
Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór .
|
Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez
, natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez
. Łatwo zauważyć, że
.
W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez
(jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).
Zbiór liczb wymiernych[edytuj]
zbiór liczb wymiernych, liczby wymierne
Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez
, a ujemnych przez
.
W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez
.
Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]
zbiór liczb niewymiernych, liczby niewymierne
Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych:
. Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie
.
Przykładem liczby niewymiernej może być liczba
, czy też
.
Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]
zbiór liczb rzeczywistych, liczby rzeczywiste
|
DEFINICJA
Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.
|
Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez
, a ujemnych przez
.
związki pomiędzy zbiorami liczb
Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:





Rozwinięcie dziesiętne[edytuj]
rozwinięcie dziesiętne
Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np.
Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.
Przyjrzyjmy się bliżej liczbie
. Na pewno pamiętamy, że
. Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:


, ponieważ 



Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.
Innym przykładem, trochę trudniejszym jest
. Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa
. Zobaczmy na rozwiązanie:

, ponieważ 




Szukaną liczbą jest
.
A teraz ciekawostka. Pokażemy, że
. Oto rozwiązanie:

, ponieważ 
Jeżeli:

to:



Skoro
, to:

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład:
.



Jeżeli:

to:




Liczbę
możemy zapisać także w formie
Podobnie
możemy zapisać jako
a także
W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.
Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera
a także liczba
Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.