Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnych

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}$$\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}$. Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy $\mathbb {N} _{+}=\{1,2,3,\dots \}=\mathbb {N} \backslash \{0\}$$\mathbb {N} _{+}=\{1,2,3,\dots \}=\mathbb {N} \backslash \{0\}$.

DEFINICJA Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}$$\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}$.

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

DEFINICJA Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie. Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez $\mathbb {P} =\{2,3,5,7,11,13,\dots \}$$\mathbb {P} =\{2,3,5,7,11,13,\dots \}$, a i-ta liczba pierwsza przez $p_{i}$$p_{i}$ np. $p_{3}=5$$p_{3}=5$.

Zbiór liczb całkowitych

DEFINICJA Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór $\mathbb {Z} =\{\cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}$$\mathbb {Z} =\{\cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}$.

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb {Z} _{+}=\{1,2,3,\dots \}$$\mathbb {Z} _{+}=\{1,2,3,\dots \}$, natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez $\mathbb {Z} _{-}=\{\dots ,-3,-2,-1\}$$\mathbb {Z} _{-}=\{\dots ,-3,-2,-1\}$. Łatwo zauważyć, że $\mathbb {N} _{+}=\mathbb {Z} _{+}$$\mathbb {N} _{+}=\mathbb {Z} _{+}$.

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$ (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych

DEFINICJA Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego $p \over q$$p \over q$, gdzie $p\in \mathbb {Z}$$p\in \mathbb {Z}$ i $q\in \mathbb {Z} \backslash \{0\}$$q\in \mathbb {Z} \backslash \{0\}$.

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb {Q} _{+}$$\mathbb {Q} _{+}$, a ujemnych przez $\mathbb {Q} _{-}$$\mathbb {Q} _{-}$.

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez $\mathbb {W}$$\mathbb {W}$.

Zbiór liczb niewymiernych

DEFINICJA Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego $p \over q$$p \over q$, dla $p\in \mathbb {Z}$$p\in \mathbb {Z}$ i $q\in \mathbb {Z} \backslash \{0\}$$q\in \mathbb {Z} \backslash \{0\}$

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: $\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$$\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$. Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie $\mathbb {NW}$$\mathbb {NW}$.

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba $\pi =3,1415\cdots$$\pi =3,1415\cdots$, czy też ${\sqrt {2}}=1,4142\cdots$${\sqrt {2}}=1,4142\cdots$.

Zbiór liczb rzeczywistych

DEFINICJA Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb {R} _{+}$$\mathbb {R} _{+}$, a ujemnych przez $\mathbb {R} _{-}$$\mathbb {R} _{-}$.

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

• $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$
• $\mathbb {N} \subset \mathbb {Q}$$\mathbb {N} \subset \mathbb {Q}$
• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$$\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$
• $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$$\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$
• $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. ${\frac {1}{2}}=0,5~,$${\frac {1}{2}}=0,5~,$ ${\frac {1}{25}}=0,04~,$${\frac {1}{25}}=0,04~,$ ${\frac {2}{1}}=2~.$${\frac {2}{1}}=2~.$ Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie $1 \over 3$$1 \over 3$. Na pewno pamiętamy, że ${1 \over 3}=0,333\dots$${1 \over 3}=0,333\dots$. Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

$0,333\dots =x~~/\cdot 10$$0,333\dots =x~~/\cdot 10$

$3,333\dots =10x$$3,333\dots =10x$

$3+0,333\dots =10x$$3+0,333\dots =10x$, ponieważ $0,333\dots =x$$0,333\dots =x$

$3+x=10x$$3+x=10x$

$3=9x~~/:9$$3=9x~~/:9$

${1 \over 3}=x$${1 \over 3}=x$

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest $0,123123123\dots$$0,123123123\dots$. Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa $41 \over 333$$41 \over 333$. Zobaczmy na rozwiązanie:

$0,123123123\dots =x~~/\cdot 1000$$0,123123123\dots =x~~/\cdot 1000$

$123,123123\dots =1000x$$123,123123\dots =1000x$, ponieważ $0,123123123\dots =x$$0,123123123\dots =x$

$123+x=1000x$$123+x=1000x$

$123=999x~~/:999$$123=999x~~/:999$

${123 \over 999}=x$${123 \over 999}=x$

${41 \over 333}=x$${41 \over 333}=x$

Szukaną liczbą jest ${41 \over 333}$${41 \over 333}$.

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że $0,999\dots =1$$0,999\dots =1$. Oto rozwiązanie:

$0,999\dots =x~~/\cdot 10$$0,999\dots =x~~/\cdot 10$

$9,99\dots =10x$$9,99\dots =10x$, ponieważ $0,999\dots =x$$0,999\dots =x$

Jeżeli:

$9+0,999\dots =9,99\dots$$9+0,999\dots =9,99\dots$

to:

$9+x=10x$$9+x=10x$

$9=9x~~/:9$$9=9x~~/:9$

$1=x$$1=x$

Skoro $0,999\dots =x$$0,999\dots =x$, to:

$0,999\dots =1$$0,999\dots =1$

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład: $2,8234234234\dots$$2,8234234234\dots$.

$2,8234234234\dots =x~~/\cdot 10$$2,8234234234\dots =x~~/\cdot 10$

$28,234234234\dots =10x~~/\cdot 1000$$28,234234234\dots =10x~~/\cdot 1000$

$28234,234234\dots =10000x$$28234,234234\dots =10000x$

Jeżeli:

$28206+28,234234234\dots =28234,234234\dots$$28206+28,234234234\dots =28234,234234\dots$

to:

$28206+10x=10000x$$28206+10x=10000x$

$28206=9990x~~/:9990$$28206=9990x~~/:9990$

${28206 \over 9990}=x$${28206 \over 9990}=x$

${1567 \over 555}=x$${1567 \over 555}=x$

Liczbę ${\frac {1}{3}}=0,333\dots$${\frac {1}{3}}=0,333\dots$ możemy zapisać także w formie $0,(3)~.$$0,(3)~.$ Podobnie ${41 \over 333}=0,123123123\dots$${41 \over 333}=0,123123123\dots$ możemy zapisać jako $0,(123)~,$$0,(123)~,$ a także $4,171717\dots =4,(17)~.$$4,171717\dots =4,(17)~.$ W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera $e=2,71828182\dots ,$$e=2,71828182\dots ,$ a także liczba $1,232233222\dots ~.$$1,232233222\dots ~.$ Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.