Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnych

zbiór liczb naturalnych, liczby naturalne

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}\;$. Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy $\mathbb {N} _{+}=\{1,2,3,\dots \}=\mathbb {N} \backslash \{0\}\;$.

Definicja

DEFINICJA Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}\;$.

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

liczba pierwsza, liczba złożona, zbiór liczb pierwszych

Definicja

DEFINICJA Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie. Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez $\mathbb {P} =\{2,3,5,7,11,13,\dots \}\;$, a i-ta liczba pierwsza przez $p_{i}\;$ np. $p_{3}=5\;$.

Zbiór liczb całkowitych

zbiór liczb całkowitych, liczby całkowite

Definicja

DEFINICJA Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór $\mathbb {Z} =\{\cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}\;$.

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb {Z} _{+}=\{1,2,3,\dots \}\;$, natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez $\mathbb {Z} _{-}=\{\dots ,-3,-2,-1\}\;$. Łatwo zauważyć, że $\mathbb {N} _{+}=\mathbb {Z} _{+}\;$.

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez $\mathbb {C} \;$ (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych

zbiór liczb wymiernych, liczby wymierne

Definicja

DEFINICJA Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego $p \over q\;$, gdzie $p\in \mathbb {Z} \;$ i $q\in \mathbb {Z} \backslash \{0\}\;$.

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb {Q} _{+}\;$, a ujemnych przez $\mathbb {Q} _{-}\;$.

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez $\mathbb {W} \;$.

Zbiór liczb niewymiernych

zbiór liczb niewymiernych, liczby niewymierne

Definicja

DEFINICJA Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego $p \over q\;$, dla $p\in \mathbb {Z} \;$ i $q\in \mathbb {Z} \backslash \{0\}\;$

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: $\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \;$. Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie $\mathbb {NW} \;$.

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba $\pi =3,1415\cdots \;$, czy też ${\sqrt {2}}=1,4142\cdots \;$.

Zbiór liczb rzeczywistych

zbiór liczb rzeczywistych, liczby rzeczywiste

Definicja

DEFINICJA Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb {R} _{+}\;$, a ujemnych przez $\mathbb {R} _{-}\;$.

związki pomiędzy zbiorami liczb

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

• $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \;$
• $\mathbb {N} \subset \mathbb {Q} \;$
• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \;$
• $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \;$
• $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \;$

Rozwinięcie dziesiętne

rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. ${\frac {1}{2}}=0,5~,\;$ ${\frac {1}{25}}=0,04~,\;$ ${\frac {2}{1}}=2~.\;$ Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie $1 \over 3\;$. Na pewno pamiętamy, że ${1 \over 3}=0,333\dots \;$. Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

$0,333\dots =x~~/\cdot 10\;$

$3,333\dots =10x\;$

$3+0,333\dots =10x\;$, ponieważ $0,333\dots =x\;$

$3+x=10x\;$

$3=9x~~/:9\;$

${1 \over 3}=x\;$

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest $0,123123123\dots \;$. Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa $41 \over 333\;$. Zobaczmy na rozwiązanie:

$0,123123123\dots =x~~/\cdot 1000\;$

$123,123123\dots =1000x\;$, ponieważ $0,123123123\dots =x\;$

$123+x=1000x\;$

$123=999x~~/:999\;$

${123 \over 999}=x\;$

${41 \over 333}=x\;$

Szukaną liczbą jest ${41 \over 333}\;$.

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że $0,999\dots =1\;$. Oto rozwiązanie:

$0,999\dots =x~~/\cdot 10\;$

$9,99\dots =10x\;$, ponieważ $0,999\dots =x\;$

Jeżeli:

$9+0,999\dots =9,99\dots \;$

to:

$9+x=10x\;$

$9=9x~~/:9\;$

$1=x\;$

Skoro $0,999\dots =x\;$, to:

$0,999\dots =1\;$

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład: $2,8234234234\dots \;$.

$2,8234234234\dots =x~~/\cdot 10\;$

$28,234234234\dots =10x~~/\cdot 1000\;$

$28234,234234\dots =10000x\;$

Jeżeli:

$28206+28,234234234\dots =28234,234234\dots \;$

to:

$28206+10x=10000x\;$

$28206=9990x~~/:9990\;$

${28206 \over 9990}=x\;$

${1567 \over 555}=x\;$

Liczbę ${\frac {1}{3}}=0,333\dots \;$ możemy zapisać także w formie $0,(3)~.\;$ Podobnie ${41 \over 333}=0,123123123\dots \;$ możemy zapisać jako $0,(123)~,\;$ a także $4,171717\dots =4,(17)~.\;$ W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera $e=2,71828182\dots ,\;$ a także liczba $1,232233222\dots ~.\;$ Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.