Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Działania na zbiorach

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Suma zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: .

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Set union.png


Przykład.

Jeżeli i , to . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Iloczyn zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak: . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Set intersection.png


Przykład.

Jeśli i , to . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Różnica zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak: . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też .

Set difference2.svg


Jeśli i , to . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Dopełnienie zbioru[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako lub . Dopełnienie możemy zapisać tak: .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A: . Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Absolute complement.svg


Przykład.

Jeśli , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór .

Przykład.

Jeśli , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór , ponieważ:

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana[edytuj]

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

  • -- I prawo De Morgana
  • -- II prawo De Morgana
  • -- przemienność dodawania zbiorów
  • -- przemienność mnożenia zbiorów
  • -- łączność dodawania zbiorów
  • -- łączność mnożenia zbiorów
  • -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
  • -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania


Przykład.

Mamy zbiór , , . Obliczyć :

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)