Matematyka dla liceum/Logika/Zdanie

Zdanie

zdanie logiczne, logiczne zdanie

DEFINICJA W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdania z reguły oznaczamy małymi literami. Prawdę oznaczamy przez 1 a fałsz przez 0. Na przykład zdanie „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, jego wartość logiczna wynosi 1. Z kolei zdanie „Pies ma osiem łap” nie jest prawdziwe, a jego wartość logiczna wynosi 0. Zdanie może mieć niewiadomą wartość logiczną: może to być wypowiedź pewnej nieudowodnionej hipotezy. Być może nie da się w ogóle określić jego wartości logicznej.

Nie każde zdanie języka polskiego jest zdaniem w matematyce. Przykładowo „To zdanie jest fałszywe" nie jest zdaniem logicznym, gdyż nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe - jeśli zdanie „To zdanie jest fałszywe" jest fałszywe, to prawdziwe jest zdanie „To zdanie jest prawdziwe", czyli zdanie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe; podobnie gdy zdanie „To zdanie jest fałszywe" byłoby prawdziwe. W tym przypadku problemem nie jest to, że nie potrafimy określić jego wartości logicznej, lecz to że obie możliwości prowadzą do sprzeczności.

Proste zdania logiczne można łączyć w bardziej złożone. Można to osiągnąć za pomocą różnych spójników logicznych, np. „i” czy też „lub”, które mają określone symbole. Poniżej znajduje się lista podstawowych spójników.

symbol logiczny	spójnik	nazwa zdania złożonego
∧	i	koniunkcja
∨	lub	alternatywa
¬, ~	nieprawda, że...	negacja (zaprzeczenie)
⇒	jeżeli..., to...	implikacja
⇔	wtedy i tylko wtedy, gdy...	równoważność

Zastanów się teraz, które z poniższych zdań może być prawdziwe?

	„Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap”.
	„Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap”.
	„Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”.
	„Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”.