Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
3. Co może stanowić zbiór, a co element zbioru?
a) książki do geografii
e) bułka słodka
i) głośnik
b) zwierzęta
f) Jacek, Bolek i Agata
j) zielone marchewki
c) kangur
g) litera
k) poziomka
d) kredki
h) wszystkie zbiory
l) zeszyty szkolne
4. Wypisz nieujemne elementy zbioru:
a) liczb naturalnych, mniejszych od 10
c)
{
−
25
,
−
16
,
−
9
,
−
4
,
−
1
,
0
,
1
,
4
,
9
,
16
,
25
}
{\displaystyle \{-25,-16,-9,-4,-1,0,1,4,9,16,25\}}
b) liczb całkowitych mniejszych od 97 i podzielnych przez 5
d) liczb niedodatnich
5. Wyznacz moc zbioru:
a)
A
=
{
−
1
,
2
,
10
}
{\displaystyle A=\{-1,2,10\}}
d)
D
=
{
1
,
−
2
}
{\displaystyle D=\{1,-2\}}
g)
G
=
{
∅
}
{\displaystyle G=\{\varnothing \}}
b)
B
=
∅
{\displaystyle B=\varnothing }
e)
E
=
{
1
,
5
,
25
,
525
,
1024
,
235
}
{\displaystyle E=\{1,5,25,525,1024,235\}}
h)
H
=
{
{
2
,
9
,
15
}
,
{
3
,
4
,
5
}
}
{\displaystyle H=\{\{2,9,15\},\{3,4,5\}\}}
c)
C
=
{
5
}
{\displaystyle C=\{5\}}
f)
F
=
{
k
,
l
,
p
,
q
}
{\displaystyle F=\{k,l,p,q\}}
i)
I
=
{
1
,
{
2
,
{
5
,
6
}
}
,
{
π
,
e
}
}
{\displaystyle I=\{1,\{2,\{5,6\}\},\{\pi ,e\}\}}
6. Czy do zbioru A należy element a ?
a)
A
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\}}
a
=
3
{\displaystyle a=3}
e)
A
=
{
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
}
,
{
5
,
6
}
}
{\displaystyle A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{5,6\}\}}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
b)
A
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\}}
a
=
10
{\displaystyle a=10}
f)
A
=
{
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
}
,
{
5
,
6
}
}
{\displaystyle A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{5,6\}\}}
a
=
{
6
,
5
}
{\displaystyle a=\{6,5\}}
c)
A
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\}}
a
=
−
2
{\displaystyle a=-2}
g)
A
=
{
−
2
,
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
,
4
}
}
{\displaystyle A=\{-2,\{1,2\},\{2,3,4\}\}}
a
=
−
2
{\displaystyle a=-2}
d)
A
=
{
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
}
,
{
5
,
6
}
}
{\displaystyle A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{5,6\}\}}
a
=
{
2
,
3
}
{\displaystyle a=\{2,3\}}
h)
A
=
{
−
2
,
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
,
4
}
}
{\displaystyle A=\{-2,\{1,2\},\{2,3,4\}\}}
a
=
{
2
,
3
}
{\displaystyle a=\{2,3\}}
7. Pokaż, że dowolny niepusty podzbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy.
8. Która z poniższych liczb jest naturalna, całkowita, wymierna, a która niewymierna?
a)
2
+
2
{\displaystyle 2+2}
e)
1,234
567891011121314
…
{\displaystyle 1{,}234567891011121314\dots }
i)
1
1
−
2
−
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}}
b)
2
−
2
{\displaystyle 2-2}
f)
2
−
3
{\displaystyle {\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}
j)
(
1
−
π
)
(
1
+
2
3
)
(
1
−
2
3
+
4
3
)
+
3
π
{\displaystyle (1-\pi )(1+{\sqrt[{3}]{2}})(1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}})+3\pi }
c)
(
1
−
2
)
⋅
(
1
+
2
)
{\displaystyle (1-2)\cdot (1+2)}
g)
(
3
−
5
)
(
3
+
5
)
2
{\displaystyle {\frac {({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {5}})}{2}}}
k)
(
π
+
1
)
2
{\displaystyle (\pi +1)^{2}}
d)
1
2
−
1
3
+
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}}
h)
(
π
−
2
)
2
−
π
2
−
4
π
{\displaystyle (\pi -2)^{2}-\pi ^{2}-4\pi }
l)
16
4
2
+
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {16}}{\sqrt {4^{2}+3^{2}}}}}
9. Rozwiąż równania:
a)
5
x
=
10
{\displaystyle 5x=10}
d)
−
2
x
−
3
=
4
{\displaystyle -{\sqrt {2}}x-3=4}
b)
3
x
−
3
=
0
{\displaystyle 3x-3=0}
e)
(
4
−
2
)
(
4
+
2
)
x
−
16
=
5
{\displaystyle (4-{\sqrt {2}})(4+{\sqrt {2}})x-16=5}
c)
7
x
+
2
=
−
12
{\displaystyle 7x+2=-12}
f)
−
2
x
+
10
3
+
2
=
7
{\displaystyle {\frac {-2x+10}{3}}+2=7}
10. Rozwiąż nierówności:
a)
2
x
>
6
{\displaystyle 2x>6}
d)
2
x
−
1
3
≤
7
{\displaystyle {\frac {2x-1}{3}}\leq 7}
b)
−
5
x
+
6
≤
2
{\displaystyle -5x+6\leq 2}
e)
−
3
x
−
3
7
>
4
{\displaystyle {\frac {-3x-3}{7}}>4}
c)
7
2
x
−
4
<
8
{\displaystyle {\frac {7}{2}}x-4<8}
f)
(
1
−
5
)
(
1
+
5
)
x
+
4
≥
8
{\displaystyle (1-{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})x+4\geq 8}
11. Oblicz:
a)
5
−
3
⋅
2
+
8
{\displaystyle 5-3\cdot 2+8}
j)
20
2
−
19
2
13
{\displaystyle {\frac {20^{2}-19^{2}}{13}}}
b)
2
+
9
:
3
−
1
{\displaystyle 2+9:3-1}
k)
(
6
−
3
)
(
36
+
18
+
9
)
8
+
3
⋅
4
+
3
⋅
2
+
1
{\displaystyle {\frac {(6-3)(36+18+9)}{8+3\cdot 4+3\cdot 2+1}}}
c)
7
⋅
(
5
+
4
)
−
9
{\displaystyle 7\cdot (5+4)-9}
l)
3
5
⋅
3
−
2
−
(
5
⋅
3
2
)
2
+
5
7
⋅
5
−
5
{\displaystyle 3^{5}\cdot 3^{-2}-(5\cdot 3^{2})^{2}+5^{7}\cdot 5^{-5}}
d)
(
3
+
5
)
:
4
⋅
2
+
7
{\displaystyle (3+5):4\cdot 2+7}
m)
(
6
+
2
)
(
36
−
12
+
4
)
2
{\displaystyle {\frac {(6+2)(36-12+4)}{2}}}
e)
5
⋅
(
4
−
3
)
+
15
4
{\displaystyle {\frac {5\cdot (4-3)+15}{4}}}
n)
(
1
2
)
10
⋅
2
−
90
−
1
4
50
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{10}\cdot 2^{-90}-{\frac {1}{4^{50}}}}
f)
(
(
3
−
5
)
(
4
+
9
)
−
9
)
⋅
3
{\displaystyle ((3-5)(4+9)-9)\cdot 3}
o)
999998
2
+
2
⋅
2
⋅
999998
+
2
2
{\displaystyle 999998^{2}+2\cdot 2\cdot 999998+2^{2}}
g)
3
⋅
(
2
+
(
11
−
1
)
⋅
3
)
−
13
{\displaystyle 3\cdot (2+(11-1)\cdot 3)-13}
p)
99999
⋅
(
10
5
+
1
)
+
1
10
4
{\displaystyle {\frac {99999\cdot (10^{5}+1)+1}{10^{4}}}}
h)
(
5
2
−
3
2
)
2
−
1
{\displaystyle (5^{2}-3^{2})^{2}-1}
q)
−
(
(
−
5
)
2
+
(
−
2
)
2
)
2
−
(
−
5
2
+
2
2
)
2
{\displaystyle -((-5)^{2}+(-2)^{2})^{2}-(-5^{2}+2^{2})^{2}}
i)
(
12
−
3
)
2
−
9
7
{\displaystyle {\frac {(12-3)^{2}-9}{7}}}
r)
(
(
50
+
1
)
2
−
(
50
−
1
)
2
)
(
14
2
+
2
⋅
14
+
2
2
)
−
14
3
{\displaystyle ((50+1)^{2}-(50-1)^{2})(14^{2}+2\cdot 14+2^{2})-14^{3}}
12. Wypiszmy wszystkie podzbiory zbioru
A
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle A=\{1,2\}}
∅
{\displaystyle \varnothing }
{
1
}
{\displaystyle \{1\}}
{
2
}
{\displaystyle \{2\}}
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
a) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru:
A
=
∅
{\displaystyle A=\varnothing }
B
=
{
1
}
{\displaystyle B=\{1\}}
C
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle C=\{1,2,3\}}
b) Ile różnych podzbiorów ma zbiór:
4 -elementowy5 -elementowy10 -elementowyn -elementowy 13. Pokaż, że:
a) jeśli liczba p i q jest wymierna (
p
,
q
∈
Q
{\displaystyle p,q\in \mathbb {Q} }
p + q także jest wymierna (czyli
p
+
q
∈
Q
{\displaystyle p+q\in \mathbb {Q} }
b) jeśli liczba p jest wymierna (
p
∈
Q
{\displaystyle p\in \mathbb {Q} }
q jest niewymierna (
q
∈
I
Q
{\displaystyle q\in \mathbb {IQ} }
p + q jest niewymierna (
p
+
q
∈
I
Q
{\displaystyle p+q\in \mathbb {IQ} }
c) oznaczmy przez
Q
+
{\displaystyle \mathbb {Q_{+}} }
p
∈
Q
+
{\displaystyle p\in \mathbb {Q_{+}} }
p
∈
I
Q
{\displaystyle {\sqrt {p}}\in \mathbb {IQ} }
q
∈
Q
+
{\displaystyle q\in \mathbb {Q_{+}} }
(
p
+
q
)
2
∈
I
Q
{\displaystyle ({\sqrt {p}}+q)^{2}\in \mathbb {IQ} }
14. Niektóre zbiory mają tę samą moc, tzn. mają taką samą liczbę elementów, np. zbiór
A
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle A=\{1,2,3\}}
B
=
{
5
,
6
,
7
}
{\displaystyle B=\{5,6,7\}}
a) zbiory
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
b) zbiory
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
Q
+
{\displaystyle \mathbb {Q_{+}} }
c) zbiory
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
d) zbiór
(
0
;
1
)
{\displaystyle (0;1)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
![{\displaystyle (1-\pi )(1+{\sqrt[{3}]{2}})(1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}})+3\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986ec16a703415aae722be2c37a6a3d001479d49)
