Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty - zaawansowane

Twierdzenie o przekątnych równoległoboku

Suma podwojonych kwadratów długości boków równoległoboku jest równa sumie kwadratów przekątnych tego równoległoboku.

• Założenia:
  • $\angle BAD=\angle BCD=\alpha$
  • $\angle ADC=\angle ABC=\beta$

• Teza:
  • $d_{1}^{\;2}+d_{2}^{\;2}=2a^{2}+2b^{2}$

• Dowód:

1. W równoległoboku suma kątów musi być równa 360 stopni, co pozwala ułożyć równanie: $2\alpha +2\beta =360\iff \beta =180-\alpha$
2. Wyliczamy przekątną $d_{1}=|BD|$ z twierdzenia cosinusów (dla kąta $\alpha$)
   $d_{1}^{\;2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \alpha$
3. Wyliczamy przekątną $d_{2}=|AC|$ z twierdzenia cosinusów (dla kąta $\beta$)
   $d_{2}^{\;2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos(180-\alpha )$
   $cos(180-\alpha )=-cos\alpha \;\;\Rightarrow \;\;d_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cdot \cos \alpha$
4. Dodajemy do siebie dwie przekątne
   $d_{1}^{\;2}+d_{2}^{\;2}\;=\;a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \alpha +a^{2}+b^{2}+2ab\cdot \cos \alpha$
5. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy równanie w postaci
   $d_{1}^{\;2}+d_{2}^{\;2}\;=\;2a^{2}+2b^{2}$

Twierdzenie o długości odcinka łączącego środki przekątnych trapezu

Założenia

Dany jest dowolny trapez ABCD, gdzie zakładamy że:

• $|AB|=a$
• $|CD|=b$

Wyliczyć z kolei musimy odległość między środkami przekątnych tego trapezu, przez co wprowadzamy kolejne założenia:

$|AK|={\frac {|AC|}{2}}$

$|BL|={\frac {|BD|}{2}}$

Teza

$|KL|={\frac {a-b}{2}}$

Dowód

Omawiany trapez przedstawia się w sytuacji jak na załączonym rysunku. Odcinek KL zawiera się w środkowej trapezu ( prosta MN ), co pozwala wprowadzić następujące oznaczenia: $|AM|={\frac {|AD|}{2}}$

$|BN|={\frac {|BC|}{2}}$

$|KL|=|ML|-|MK|$

Dla ułatwienia można przedstawić sytuacje w postaci dwóch trójkątów:$\triangle ABD$ i $\triangle ADC$

Trójkąt ADC:

W trójkącie ADC mamy odcinek MK, który jest równy ${\frac {b}{2}}$, ponieważ trójkąty AMK i ADC są podobne (podobieństwo kkk).

$|AM|={\frac {|AD|}{2}}$  i  $|AK|={\frac {|AC|}{2}}$

Tak więc i między odcinkami MK i DC zachodzi następująca proporcja:

${\frac {|AM|}{|AD|}}={\frac {|MK|}{|DC|}}\iff {\frac {1}{2}}={\frac {|MK|}{|DC|}}\iff |MK|={\frac {|DC|}{2}}$

$|DC|=b\quad \Rightarrow \quad |MK|={\frac {b}{2}}$

Trójkąt ABD:

W trójkącie ABD mamy odcinek ML, który jest równy ${\frac {a}{2}}$, ponieważ trójkąty DML i ABD są podobne (podobieństwo kkk).

$|AM|={\frac {|AD|}{2}}$  i  $|DL|={\frac {|DB|}{2}}$

Tak więc i między odcinkami ML i AB zachodzi następująca proporcja:

${\frac {|AM|}{|AD|}}={\frac {|ML|}{|AB|}}\iff {\frac {1}{2}}={\frac {|ML|}{|AB|}}\iff |ML|={\frac {|AB|}{2}}$

$|AB|=a\quad \Rightarrow \quad |ML|={\frac {a}{2}}$

Wniosek ostateczny:

$|ML|={\frac {a}{2}}\;\land \;|MK|={\frac {b}{2}}\iff |KL|=|ML|-|MK|={\frac {a-b}{2}}$

$|KL|={\frac {a-b}{2}}$