Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty - zaawansowane

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o przekątnych równoległoboku[edytuj]

Suma podwojonych kwadratów długości boków równoległoboku jest równa sumie kwadratów przekątnych tego równoległoboku.

Równoległobok1.png
  • Założenia:


  • Teza:


  • Dowód:
  1. W równoległoboku suma kątów musi być równa 360 stopni, co pozwala ułożyć równanie:
  2. Wyliczamy przekątną z twierdzenia cosinusów (dla kąta )
  3. Wyliczamy przekątną z twierdzenia cosinusów (dla kąta )
  4. Dodajemy do siebie dwie przekątne
  5. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy równanie w postaci

Twierdzenie o długości odcinka łączącego środki przekątnych trapezu[edytuj]

Założenia[edytuj]

Dany jest dowolny trapez ABCD, gdzie zakładamy że:

Wyliczyć z kolei musimy odległość między środkami przekątnych tego trapezu, przez co wprowadzamy kolejne założenia:


Teza[edytuj]


Dowód[edytuj]

T przekatne.jpg

Omawiany trapez przedstawia się w sytuacji jak na załączonym rysunku. Odcinek KL zawiera się w środkowej trapezu ( prosta MN ), co pozwala wprowadzić następujące oznaczenia:

Dla ułatwienia można przedstawić sytuacje w postaci dwóch trójkątów: i

Trójkąt ADC:

W trójkącie ADC mamy odcinek MK, który jest równy , ponieważ trójkąty AMK i ADC są podobne (podobieństwo kkk).

  i  

Tak więc i między odcinkami MK i DC zachodzi następująca proporcja:

Trójkąt ABD:

W trójkącie ABD mamy odcinek ML, który jest równy , ponieważ trójkąty DML i ABD są podobne (podobieństwo kkk).

  i  

Tak więc i między odcinkami ML i AB zachodzi następująca proporcja:


Wniosek ostateczny: