Matematyka dla liceum/Planimetria/Twierdzenie cosinusów

Wzór cosinusów, twierdzenie Carnota

Twierdzenie to jest uogólnionym twierdzeniem Pitagorasa.

Twierdzenie

TWIERDZENIE W dowolnym trójkącie kwadrat długości trzeciego boku równy jest sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,$

Oczywiście, gdy którykolwiek z kątów wynosiłby 90°, wtedy otrzymamy twierdzenie Pitagorasa (cosinus kąta prostego wynosi 0).