Matematyka dla liceum/Trygonometria/Równania trygonometryczne

Równania trygonometryczne

równania trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywać równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach będących argumentem funkcji trygonometrycznej. Przykładami równań trygonometrycznych mogą być:

• $\sin x=-{\frac {1}{2}}$
• $\cos ^{2}x+\sin x=-{\frac {1}{2}}$
• $tgx=100$

TWIERDZENIE Równanie postaci $\sin x=a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że $a\in [-1;1]$: $x=x_{0}+2k\pi$ lub $x=\pi -x_{0}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathbb {Z}$ i $\sin x_{0}=a$ Równanie postaci $\cos x=a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że $a\in [-1;1]$: $x=x_{0}+2k\pi$ lub $x=-x_{0}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathbb {Z}$ i $\cos x_{0}=a$ Równanie postaci $tgx=a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań: $x=x_{0}+k\pi$, gdzie $k\in \mathbb {Z}$ i $tgx_{0}=a$ Równanie postaci $ctgx=a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań: $x=x_{0}+k\pi$, gdzie $k\in \mathbb {Z}$ i $ctgx_{0}=a$

Przykład 1. Rozwiążmy równanie $\sin x={1 \over 2}$:

Ponieważ ${1 \over 2}=\sin {\frac {\pi }{6}}$, więc $x_{0}={\frac {\pi }{6}}$

Stąd mamy:

$x=x_{0}+2k\pi ={\pi \over 6}+2k\pi$

lub $x=\pi -x_{0}+2k\pi =\left(\pi -{\pi \over 6}\right)+2k\pi$, gdzie $k\in \mathbb {Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x={\pi \over 6}+2k\pi$ lub $x={5\pi \over 6}+2k\pi$, $k\in \mathbb {Z}$.

Przykład 2. Rozwiążmy równanie $\cos x=-{{\sqrt {3}} \over 2}$:

$\cos x=-{{\sqrt {3}} \over 2}=\cos {\frac {7\pi }{6}}$

Zatem:

$x={\frac {7\pi }{6}}+2k\pi$ lub $x=-{\frac {7\pi }{6}}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathbb {Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x={\frac {7\pi }{6}}+2k\pi$ lub $x=-{\frac {7\pi }{6}}+2k\pi$, $k\in \mathbb {Z}$.

Przykład 3. Rozwiążmy równanie $tgx=-1$:

$tgx=-1=tg(-{\pi \over 4})$

Zatem:

$x=-{\pi \over 4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathbb {Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x=-{\pi \over 4}+k\pi$, $k\in \mathbb {Z}$.