Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równania wielomianowe

Na początek definicja.

DEFINICJA Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera.

Zobaczmy na przykłady:

• $4x+1=0$
• $3x^{2}+2x-5=0$
• $x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x^{1}-1=0$

Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich $x\in \mathbb {R}$, dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:

• ze wzorów skróconego mnożenia
• z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
• z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
• metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)

Twierdzenie Bézout Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

TWIERDZENIE Jeśli $a={\tfrac {p}{q}},p,q\in \mathbb {Z}$ jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu $W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$, to $p$ dzieli $a_{0}$ i $q$ dzieli $a_{n}$.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

$x^{3}-6x^{2}+9x=0\,$

Wyciągamy x przed nawias
$x(x^{2}-6x+9)=0\,$

Zauważmy, że wyrażenie $x^{2}-6x+9\,$ można zapisać korzystając ze wzoru $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$ , czyli:

$x(x-3)^{2}=0\,$

Teraz przyrównujemy:
$x=0\vee x-3=0\,$

$x=0\vee x=3\,$

Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.