Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równania wielomianowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Na początek definicja.

Definicja
DEFINICJA

Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera.

Zobaczmy na przykłady:

Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich , dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:

  • ze wzorów skróconego mnożenia
  • z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
  • z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
  • metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)
Twierdzenie
Twierdzenie Bézout

Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu , to dzieli i dzieli .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia[edytuj]

Wyciągamy x przed nawias

Zauważmy, że wyrażenie można zapisać korzystając ze wzoru , czyli:


Teraz przyrównujemy:



Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.