Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równania wielomianowe

Na początek definicja.

DEFINICJA Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera.

Zobaczmy na przykłady:

• $4x+1=0$
• $3x^2+2x-5=0$
• $x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1-1=0$

Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich $x\in ℝ$, dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:

• ze wzorów skróconego mnożenia
• z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
• z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
• metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)

Twierdzenie Bézout Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

TWIERDZENIE Jeśli $a=\frac{p}{q},p,q\in \mathbb{Z}$ jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu $W(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0$, to $p$ dzieli $a_0$ i $q$ dzieli $a_n$.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

$x^3-6x^2+9x=0$

Wyciągamy x przed nawias
$x(x^2-6x+9)=0$

Zauważmy, że wyrażenie $x^2-6x+9$ można zapisać korzystając ze wzoru $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ , czyli:

$x(x-3{)}^2=0$

Teraz przyrównujemy:
$x=0\vee x-3=0$

$x=0\vee x=3$

Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.