Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
[edytuj]
Przykład:
Niech:
Zatem:
1-x3=x2-x
Przykład:
(x - 5)+2(x - 5)
(x - 4)+(x - 4)
Zastosowanie twierdzenia Bézouta
[edytuj]
|
TWIERDZENIE
Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy,
gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x – p).
|
To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba
jest pierwiastkiem wielomianu
. Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy
, gdzie
jest pewną stałą, a
- wielomianem. Podstawiając
dostajemy
, zatem wielomian
jest podzielny przez dwumian
. Odwrotnie, niech
, gdzie
jest pewnym wielomianem. Wówczas
, co kończy dowód.
Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.
Przykład:
Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:
Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4
Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).
Otrzymujemy
Niech:
. Dokonujemy rozkładu P(x).
Ostatecznie