Matematyka dla liceum/Wielomiany/Rozkład wielomianów na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Przykład: $T(x)=x^{3}-3x^{2}-4x=x(x^{2}-3x-4)$

Niech: $P(x)=x^{2}-3x-4=0$

$\Delta ~=9+16=25$ ${\sqrt {\Delta ~}}=5$

$x_{1}~={\frac {3-5}{2}}={\frac {(-2)}{2}}=(-1)$ $x_{2}~={\frac {3+5}{2}}={\frac {8}{2}}=4$

$P(x)=x^{2}-3x-4=(x+1)(x-4)$

Zatem: $T(x)=x^{3}-3x^{2}-4x=x(x^{2}-3x-4)=x(x+1)(x-4)$ 1-x3=x2-x

Grupowanie wyrazów

Przykład:

$W(x)=x^{3}-5x^{2}+2x-10=(x^{3}-5x^{2})+(2x-10)=x^{2}$(x - 5)+2(x - 5)$=(x-5)(x^{2}+2)$

$Q(x)=2x^{3}-8x^{2}+x-4=(2x^{3}-8x^{2})+(x-4)=2x^{2}$(x - 4)+(x - 4)$=(x-4)(2x^{2}+1)$

Zastosowanie twierdzenia Bézouta

TWIERDZENIE Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x – p).

To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba $p$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$. Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy $W(x)=(x-p)Q(x)+C$, gdzie $C$ jest pewną stałą, a $Q(x)$ - wielomianem. Podstawiając $x=p$ dostajemy $W(p)=(p-p)Q(p)+C=C$, zatem wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x-p$. Odwrotnie, niech $W(x)=(x-p)P(x)$, gdzie $P(x)$ jest pewnym wielomianem. Wówczas $W(p)=(p-p)P(p)=0$, co kończy dowód.

Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

$W(x)=x^{3}-x^{2}-14x+24$

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

$W((-4))=(-4)^{3}-(-4)^{2}-14\cdot (-4)+24=(-64)-16+56+24=0$

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy $W(x)=x^{3}-x^{2}-14x+24=(x+4)(x^{2}-5x+6)$

Niech: $P(x)=x^{2}-5x+6$. Dokonujemy rozkładu P(x).

$P(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$

Ostatecznie $W(x)=x^{3}-x^{2}-14x+24=(x+4)(x-2)(x-3)$