Matematyka dla liceum/Wielomiany/Rozkład wielomianów na czynniki

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj


Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias[edytuj]

Przykład:

Niech:

Zatem: 1-x3=x2-x

Grupowanie wyrazów[edytuj]

Przykład:

^3-15x^2+23x-<mat h>=(x-4)(2x^2+1)</math> 10=(x^3- 4)(2x^2+1)</math> 5x^2)+(12x- -4)(2x^2+1)</math> 10)=x^2</math>'(x - 5) '+2(x - 5)

<mat h>Q( x)=22x^3-28x^2+x-4=

Zastosowanie twierdzenia Bézouta[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x – p.


To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu . Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy , gdzie jest pewną stałą, a - wielomianem. Podstawiając dostajemy , zatem wielomian jest podzielny przez dwumian . Odwrotnie, niech , gdzie jest pewnym wielomianem. Wówczas , co kończy dowód.


Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy

Niech: . Dokonujemy rozkładu P(x).

Ostatecznie