Matematyka dla liceum/Wielomiany/Wiadomości wstępne

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Jednomian[edytuj]

Zacznijmy od czegoś prostego, czyli od zdefiniowania czym są jednomiany.

Definicja
DEFINICJA

Jednomian to iloczyn czynników, w którym każdy czynnik jest liczbą lub pewną zmienną.

Jednomianem może być:

Wielomiany[edytuj]

Już znamy pojęcie jednomianu. Teraz kilka jednomianów możemy do siebie dodać np. do jednomianu możemy dodać otrzymując . Innym przykładem sumy jednomianów może być:

  • ,
  • ,
  • ,

a takie coś nazywamy wielomianami.

Definicja
DEFINICJA

Wielomian to suma jednomianów .

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych np. będzie wielomianem czterech zmiennych a, b, c i d. Wielomian będzie wielomianem dwóch zmiennych x i y, a wielomian będzie wielomianem jednej zmiennej x. W tym podręczniku mówiąc o wielomianach, będziemy mieli najczęściej na myśli właśnie wielomiany jednej zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej[edytuj]

Zauważmy, że wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego też dany wielomian będziemy najczęściej zapisywać jako , , np.:

  • ,
  • ,
  • .

Przyjmujemy, że dziedziną wielomianu jednej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Spójrzmy teraz na poniższą, pełną definicję wielomianu jednej zmiennej.

Definicja
DEFINICJA

Funkcja W określona wzorem , gdzie nazywana jest wielomianem jednej zmiennej stopnia n.

Liczby , , , ..., nazywane są współczynnikami wielomianu. W wielomianie współczynnikami będą , , i .

A ile wynosi współczynnik przy 23 potędze w wielomianie ? Odpowiedź wydaje się prosta, , ponieważ .

W powyższej definicji został wprowadzony stopień wielomianu. Stopień wielomianu to największe takie n, że np. jest wielomianem 6. stopnia, ale wielomian jest wielomianem pierwszego stopnia, ponieważ i każde .

Zauważmy, że funkcja stała jest wielomianem zerowego stopnia. Funkcja liniowa jest wielomianem pierwszego stopnia, a funkcja kwadratowa jest wielomianem drugiego stopnia.

Uporządkowanie wielomianu[edytuj]

Wielomiany mogą być uporządkowane rosnąco lub malejąco, według rosnących lub malejących wykładników potęg.

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

  • ,
  • ,
  • .

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

Równość wielomianów[edytuj]

Wielomiany są funkcją, gdzie zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dwa wielomiany P i Q będą sobie równe, jeśli dla wszystkich zachodzi , a z tego z kolei wynika poniższe twierdzenie, które przedstawimy bez dowodu:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny.

Na przykład wielomiany oraz są równe, ale oraz nie są równe. Podobnie wielomian jest równy wielomianowi , ale nie jest równy wielomianowi . Pamiętajmy, że dziedzina funkcji też ma znaczenie: wielomian nie jest równy wielomianowi .

Wielomiany możemy do siebie dodawać i odejmować. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić.