Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnych

zbiór liczb naturalnych, liczby naturalne

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$. Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy ${\mathbb{N}}_{+}=\{1,2,3,\dots \}=\mathbb{N}\mathrm{\setminus }\{0\}$.

DEFINICJA Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$.

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

liczba pierwsza, liczba złożona, zbiór liczb pierwszych

DEFINICJA Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie. Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez $\mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,13,\dots \}$, a i-ta liczba pierwsza przez $p_i$ np. $p_3=5$.

Zbiór liczb całkowitych

zbiór liczb całkowitych, liczby całkowite

DEFINICJA Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór $\mathbb{Z}=\{\cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}$.

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez ${\mathbb{Z}}_{+}=\{1,2,3,\dots \}$, natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez ${\mathbb{Z}}_{-}=\{\dots ,-3,-2,-1\}$. Łatwo zauważyć, że ${\mathbb{N}}_{+}={\mathbb{Z}}_{+}$.

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez $ℂ$ (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych

zbiór liczb wymiernych, liczby wymierne

DEFINICJA Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego $\frac{p}{q}$, gdzie $p\in \mathbb{Z}$ i $q\in \mathbb{Z}\mathrm{\setminus }\{0\}$.

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez ${\mathbb{Q}}_{+}$, a ujemnych przez ${\mathbb{Q}}_{-}$.

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez $𝕎$.

Zbiór liczb niewymiernych

zbiór liczb niewymiernych, liczby niewymierne

DEFINICJA Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego $\frac{p}{q}$, dla $p\in \mathbb{Z}$ i $q\in \mathbb{Z}\mathrm{\setminus }\{0\}$

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: $ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}$. Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie $\mathbb{N}𝕎$.

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba $\pi =3,1415\cdots$, czy też $\sqrt{2}=1,4142\cdots$.

Zbiór liczb rzeczywistych

zbiór liczb rzeczywistych, liczby rzeczywiste

DEFINICJA Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez ${ℝ}_{+}$, a ujemnych przez ${ℝ}_{-}$.

związki pomiędzy zbiorami liczb

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$
• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Q}$
• $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$
• $\mathbb{Q}\subset ℝ$
• $ℝ\setminus \mathbb{Q}\subset ℝ$

Rozwinięcie dziesiętne

rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. $\frac{1}{2}=0,5,$ $\frac{1}{25}=0,04,$ $\frac{2}{1}=2.$ Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie $\frac{1}{3}$. Na pewno pamiętamy, że $\frac{1}{3}=0,333\dots$. Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

$0,333\dots =x/\cdot 10$

$3,333\dots =10x$

$3+0,333\dots =10x$, ponieważ $0,333\dots =x$

$3+x=10x$

$3=9x/:9$

$\frac{1}{3}=x$

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest $0,123123123\dots$. Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa $\frac{41}{333}$. Zobaczmy na rozwiązanie:

$0,123123123\dots =x/\cdot 1000$

$123,123123\dots =1000x$, ponieważ $0,123123123\dots =x$

$123+x=1000x$

$123=999x/:999$

$\frac{123}{999}=x$

$\frac{41}{333}=x$

Szukaną liczbą jest $\frac{41}{333}$.

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że $0,999\dots =1$. Oto rozwiązanie:

$0,999\dots =x/\cdot 10$

$9,99\dots =10x$, ponieważ $0,999\dots =x$

Jeżeli:

$9+0,999\dots =9,99\dots$

to:

$9+x=10x$

$9=9x/:9$

$1=x$

Skoro $0,999\dots =x$, to:

$0,999\dots =1$

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład: $2,8234234234\dots$.

$2,8234234234\dots =x/\cdot 10$

$28,234234234\dots =10x/\cdot 1000$

$28234,234234\dots =10000x$

Jeżeli:

$28206+28,234234234\dots =28234,234234\dots$

to:

$28206+10x=10000x$

$28206=9990x/:9990$

$\frac{28206}{9990}=x$

$\frac{1567}{555}=x$

Liczbę $\frac{1}{3}=0,333\dots$ możemy zapisać także w formie $0,(3).$ Podobnie $\frac{41}{333}=0,123123123\dots$ możemy zapisać jako $0,(123),$ a także $4,171717\dots =4,(17).$ W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera $e=2,71828182\dots ,$ a także liczba $1,232233222\dots .$ Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.