Teoria grup przemiennych/Słowniczek biograficzny

Poniższa lista alfabetyczna – sortowana według nazwisk – jest pewnym odpowiednikiem skorowidzu osób. Wspomina przeszło 25 („ćwierćset”) uczonych – mniej lub bardziej związanych z teorią grup przemiennych, nawet w sposób bardzo luźny, „styczny” jak zajmowanie się pewnymi tematami w teorii liczb, które potem splotły się z tą dziedziną algebry. Przynajmniej niektórzy z tych matematyków są wspominani w głównym tekście podręcznika. Informacje techniczne:

Linki w nazwiskach prowadzą do polskiej Wikipedii, o ile odpowiedni artykuł istnieje; w przeciwnym wypadku podano link do Wikipedii angielskiej.
Podana w ukośnikach transkrypcja fonetyczna – czy raczej fonemiczna – zawiera fonemy polskie najbliższe oryginalnym, zapisane w międzynarodowym alfabecie fonetycznym (IPA). Jest tu pewna arbitralność, bo dyskusyjne są:
- opis polskich fonemów i sposób ich zapisu w IPA^{[uwaga 1]};
- wybór polskiego fonemu najbliższego oryginałowi^{[uwaga 2]}.
Nazwiska chińskie podano w transkrypcji pīnyīn, ewentualnie też Wade–Giles, jeśli jest rozpowszechniona jak przy panu Sūnzĭ (wg Wade–Giles: Sun Tzu).
Ramka nawigacyjna na dole strony jest sortowana chronologicznie, według daty urodzenia.

Skocz do biogramu (lista alfabetyczna):

Niels Henrik Abel • Aryabhata • George Boole • William Burnside • Augustin Louis Cauchy • Arthur Cayley • Richard Dedekind • Euklides z Aleksandrii • Leonhard Euler • Pierre Fermat • Leonardo z Pizy vel Fibonacci • Giovanni Frattini • Georg Frobenius • Évariste Galois • Carl Friedrich Gauss • William Rowan Hamilton • Otto Hölder • Camille Jordan • Felix Klein • Leopold Kronecker • Joseph Louis Lagrange • Sophus Lie • Claude Gaspar Bachet de Méziriac • Qín Jiǔsháo • Paolo Ruffini • Sūnzĭ vel Sun Tzu • Peter Sylow

Niels Henrik Abel

norw. [ˈɑ̀ːbl̩], /ɲils 'henrik 'abel/ (1802–1829) – norweski matematyk zajmujący się głównie algebrą i analizą, „tytułowy bohater” tego kursu.

Przez rozważania grup permutacji – wtedy znanych jako podstawienia – Abel udowodnił twierdzenie o nierozwiązywalności ogólnego równania 5. stopnia przez pierwiastniki. Fakt ten nazwano potem twierdzeniem Abela–Ruffiniego, przy czym dowód Abela był istotnie różny od pracy Ruffiniego. Abel w swoich pracach nad równaniami wielomianowymi poszedł dalej, podając warunek wystarczający na rozwiązalność przez pierwiastniki, jednak nie podał warunku równoważnego – zrobił to potem Évariste Galois.

Abel był w matematyce „cudownym dzieckiem”, przez całą młodość imponując osiągnięciami. Przez Feliksa Kleina Abel był porównany do Mozarta. Norweski matematyk debiutował już jako nastolatek, podając ścisły dowód uogólnionego wzoru dwumianowego Newtona. Mimo krótkiego życia zdążył nie tylko rozwinąć algebrę elementarną i – przez kamień milowy w tej dziedzinie – otworzyć nową epokę algebry abstrakcyjnej. Abel miał też wkład w analizę rzeczywistą i zespoloną, m.in. w badania szeregów liczbowych, równań różniczkowych i w teorię funkcji specjalnych, przyczyniając się do jej rozkwitu. Dzięki teorii funkcji eliptycznych, hipergeometrycznych i teorii grup późniejsi matematycy – jak Hermite, Kronecker i Klein – znaleźli wzory na rozwiązania równań stopnia 5., zawierające funkcje inne niż pierwiastniki. Tym sposobem Abel „zza grobu” pomógł uzupełnić swój wynik negatywny w teorii wielomianów o wynik pozytywny, konstruktywny.

Niestety Abel, podobnie jak potem Galois, był geniuszem pokrzywdzonym przez los – część jego prac nie była całkiem doceniona za życia, a niedożywszy 27 lat, zmarł na gruźlicę. Na szczęście jego prace były kontynuowane – te o równaniach algebraicznych i funkcjach specjalnych przez wspomnianych już matematyków, za to teorię grup początkowo rozwijali głównie inni Norwegowie, zwłaszcza Peter Sylow i Sophus Lie.

Wśród laików Abel może być znany przez upamiętnienie go nagrodą matematyczną od króla Norwegii. Ufundowanie jej proponowano już ok. roku 1900, w związku z powstaniem nagród Nobla nieobejmujących matematyki, a także 100. rocznicą urodzin naukowca. Mimo to z różnych powodów zaczęła być przyznawana nieoficjalnie od jego 200. urodzin w roku 2002, a oficjalnie – w roku 2003. W ciągu zaledwie kilkunastu lat stała się nagrodą co najmniej równie prestiżową co medal Fieldsa przyznawany od lat 30. przez Międzynarodową Unię Matematyczną. Nagroda Abela ma inne, komplementarne reguły – jest przyznawana corocznie, jednej lub dwóm osobom, a przede wszystkim nie ma ograniczeń wiekowych. Tym sposobem wśród jej laueatów znaleźli się weterani, również ci rozsławieni poza gronem matematyków, jak „piękny umysł” John Nash czy Andrew Wiles, który w latach 90. XX w. udowodnił Wielkie Twierdzenie Fermata.

Aryabhata

in. Arjabhata /arja'bata/ (476–550) – indyjski matematyk i astronom, a w pewnym stopniu i fizyk. Zajmował się teorią liczb, geometrią i algebrą.

Osiągnięcia matematyczne:

Przyczynił się do rozpowszechnienia pozycyjnego systemu zapisu liczb, choć nie był jego autorem, nie używał jawnie zera ani osobnych znaków na cyfry.
Rozważał równania diofantyczne, blisko związane z chińskim problemem reszt; właśnie na tym polega związek Arjabhaty z teorią grup przemiennych.
Przybliżył liczbę pi (π) do czterech miejsc po przecinku, choć nie ustanowił tym rekordu świata – matematycy chińscy znali już wtedy oszacowania dokładniejsze, do siedmiu cyfr po przecinku.
Miał też wkład do trygonometrii – już wieki wcześniej Hipparch obliczał długości siecznych, jednak ten indyjski uczony zamiast tego posługiwał się półsiecznymi i ich wariacjami, zbliżając się do późniejszego pojęcia funkcji sinus, cosinus i cosecans. Dwie pierwsze łacińskie nazwy wywodzą się właśnie z jego terminologii, przez błędną kalkę z arabskiego zapożyczenia.
W algebrze opracował m.in. wzory na sumy kolejnych kwadratów i sześcianów liczb naturalnych, podobnie jak setki lat wcześniej Nikomachos z Gerazy.

Jego główne dzieło Arjabhatija porusza też inne tematy matematyczne, jak równania kwadratowe, ułamki łańcuchowe czy geometria sferyczna. Tym sposobem matematyka indyjska zrekonstruowała wiele wcześniejszych wyników matematyki greckiej i chińskiej, nadała im nieco inną formę oraz mogła je przekazać uczonym muzułmańskim, przez których trafiły do Europy.

W astronomii Arjabhata również pomógł nauce indyjskiej „dogonić” tę grecką:

twierdził – podobnie jak np. Anaksagoras – że Księżyc odbija światło Słońca;
wyjaśnił też zaćmienia Słońca i Księżyca;
wierzył w geocentryzm z ruchem obrotowym Ziemi, podobnie jak niektórzy Pitagorejczycy. Europejscy uczeni rozważali ponownie tę opcję dopiero w XIII w. (Nicole Oresme), a zaczęli ją przyjmować dopiero od XV w. za sprawą Kopernika. Takiego modelu – zwanego czasem semikopernikańskim – bronił m.in. William Gilbert.

Arjabhata w matematyce i astronomii niewiele rzeczy zrobił jako pierwszy, ale wiele zrobił jako pierwszy w Indiach i jako pierwszy od wieków. Tą rekonstrukcją otworzył poczet znaczących matematyków i astronomów indyjskich, który kontynuowali m.in. Brahmagupta, Bhaskara I, Bhaskara II i Madhawa z Sangamagramy. Został upamiętniony m.in. banknotem, nazwą pierwszego indyjskiego satelity i jednej z indyjskich uczelni.

George Boole

ang. /buːl/, /dʒordʒ bul/ (1815–1864) – angielski matematyk i filozof, pionier logiki matematycznej oraz pośrednio dziedziny algebry abstrakcyjnej i teorii mnogości, jaką jest teoria krat; zajmował się również probabilistyką i analizą, w tym teorią równań różniczkowych i różnicowych.

Boole jest znany przede wszystkim jako autor algebraicznej metody znajdowania tautologii i sprzeczności w ramach klasycznego rachunku zdań. Opisuje ona fałsz jako zero (0), prawdę jako jedynkę (1), a prawdziwość zdań złożonych jako wynik odpowiednich działań na tych liczbach. Jego arytmetyczny opis wartości i spójników logicznych stał się standardem, pozwalając na rozwój logiki matematycznej przez Fregego i Russella. Ponadto opis ten spełnił wcześniejsze marzenie Leibniza – umożliwił automatyzację nie tylko arytmetyki, ale i wnioskowania. Stało się to dzięki elektronicznemu wykonywaniu obliczeń logicznych, zgodnie z późniejszym pomysłem C.S. Peirce’a, co w XX w. otworzyło epokę cyfrową. Do tego arbitralne, umowne wprowadzenie przez Boole’a alternatywnych działań na liczbach było też jednym z kroków ku zmianie tematyki algebry. Klasyczna teoria równań z niewiadomymi liczbowymi i działaniami arytmetycznymi – w dużym stopnu uwieńczona na początku XIX w. – stała się stopniowo abstrakcyjną teorią działań i ogólnych struktur algebraicznych jak nie tylko coraz szerzej rozumiane liczby, ale też permutacje, reszty z dzielenia, wielomiany i inne funkcje, wektory czy właśnie wartości logiczne i rodziny zbiorów.

Dzięki zasługom dla logiki, algebry i teorii mnogości Boole został upamiętniony nazwami wielu pojęć matematycznych, z których co najmniej dwa są istotne dla tego kursu:

algebra Boole’a – uogólnienie jego układu działań na dwóch liczbach (B,∧,∨); algebry Boole’a definiuje się jako kraty rozdzielne ze ściśle rozumianym dopełnieniem, zdefiniowanym przez reguły niesprzeczności (p ∧ ¬p = ⊥) i wyłączonego środka (p ∨ ¬p = ⊤) – odpowiadające np. rozłączności zbioru z jego dopełnieniem (A∩A′ = ∅) i pokrywaniu przez nie całej przestrzeni (A∪A′ = X). Algebry Boole’a nie obejmują przez to logik intuicjonistycznych czy parakonsystentnych i są węższą klasą niż np. algebry de Morgana i Ockhama, w których dopełnienie (negacja) może być zdefiniowane „zewnętrznie”, jako dodatkowy i arbitralny element, niewypływający w sposób naturalny z tych dwóch reguł i niespełniający ich;
grupa Boole’a – alternatywne uogólnienie dubletu wartości logicznych B = {0,1}; w takich grupach istotne są już nie zwykła koniunkcja (∧) i alternatywa (∨), lecz alternatywa rozłączna (XOR ⊻), odpowiadająca dodawaniu reszt z dzielenia przez dwa (⊕) i będąca działaniem odwracalnym. Grupy Boole’a, wspomniane w odpowiedniej sekcji, są potęgami kartezjańskimi – inaczej wielokrotnościami prostymi – drugiej grupy cyklicznej (ℤ₂). Można je też definiować jeszcze szerzej, jako przemienne grupy torsyjne, w których każdy nietrywialny element jest inwolucją (jest rzędu dwa: a+a = 0 ∀a). Przykładami są tu np. rodziny funkcji charakterystycznych (χ_A) podzbiorów danego zbioru (A ⊆ X) jak oś rzeczywista ℝ, z odpowiednio zdefiniowanym dodawaniem tych funkcji.

Boole jest też współautorem – obok de Morgana – koncepcji uniwersum logicznego, inaczej dziedziny dyskursu, współcześnie uogólniającego pojęcie zbioru. Uniwersum jest pojęciem czysto logicznym, oznaczającym zakres zmiennych w zdaniach danej teorii; wszystko to, o czym dana teoria formalna mówi. Zbiory natomiast definiuje się już jako konkretny przykład uniwersum – obiekty matematyczne „jak każde inne”, określone przez swoje własności, czyli wzajemne relacje opisane aksjomatami, zwykle aksjomatyką ZFC. Przez to zbiory są – mimo swojej redukcyjnej zdolności – w pewnym sensie równorzędne innym pojęciom zdefiniowanym aksjomatycznie, jak np. obiekty arytmetyczne, geometryczne, algebraiczne czy zdania w danym systemie logicznym. Z metamatematycznej perspektywy zbiory są uniwersum teorii mnogości, a jej twierdzenia – jak paradoks Cantora – wskazują, że ich ogół trzeba objąć czymś wykraczającym poza nie same, pojęciem innym niż zbiór; jest nim klasa właściwa – kolejny przykład uniwersum.

William Burnside

/'wɨljam 'bernsajd/ (1852–1927) – angielski matematyk, zajmujący się głównie matematyką stosowaną i algebrą abstrakcyjną, zwłaszcza teorią grup skończonych.

Jego najważniejsze osiągnięcia w tej drugiej dziedzinie to:

udowodnienie warunku wystarczającego na rozwiązalność grupy; twierdzenie Burnside’a mówi, że jeśli rząd grupy ma mniej niż trzy różne czynniki pierwsze (∃p,q∈ℙ, a,b∈ℕ: #G = p^aq^b), to jest rozwiązalna. Można to uznać za uogólnienie twierdzeń jak to, że grupa rzędu pierwszego (∃p∈ℙ: #G = p) musi być cykliczna, a grupa rzędu równego kwadratowi liczby pierwszej (∃p∈ℙ: #G = p²) jest przemienna. Uogólnienie jest tutaj rozumiane dość szeroko – osłabione są i poprzednik implikacji, i jej następnik. To kryterium rozwiązalności mogło być najmocniejszym wynikiem tego typu do czasu twierdzenia Feita–Thompsona w latach 60. XX w.;
postawienie pewnego problemu nt. uogólnień grup skończonych. Problem Burnside’a to pytanie, czy grupa może być jednocześnie skończenie generowana i torsyjna (okresowa), ale nieskończona. Dla grup przemiennych odpowiedź jest negatywna, co wynika wprost z twierdzenia o rozkładzie skończenie generowanych grup przemiennych, a także z bardziej bezpośrednich i elementarnych rozważań. Mimo to dla grup nieprzemiennych odpowiedź okazała się pozytywna – w latach 60. XX w., przeszło pół wieku po postawieniu tego problemu i dekady po śmierci autora. Problem Burnside’a stał się kopalnią innych pytań – mianowicie czy skończoność grupy może być wymuszona przez jakiś trzeci warunek, słabszy niż przemienność.

Ponadto Burnside’owi błędnie przypisuje się „lemat Burnside’a” – kombinatoryczny wzór opisujący liczbę orbit grupy działającej na zbiorze. Fakt ten opisali wcześniej – i niezależnie od siebie – Cauchy oraz Frobenius, przy czym o pracy Frobeniusa Burnside wiedział. Przez to nieporozumienie czasem używa się nazwy „lemat, który nie jest Burnside’a”.

Augustin Louis Cauchy

fr. [oɡystɛ̃ lwi koʃi], /ogis'tẽ lwi ko'ʃi/ (1789–1857) – francuski matematyk, fizyk teoretyczny i inżynier. Zajmował się różnymi – choć nie wszystkimi mu współczesnymi – dyscyplinami matematyki jak:

teoria liczb,
syntetyczna geometria euklidesowa,
elementarna algebra liniowa i zalążki algebry abstrakcyjnej,
analiza matematyczna: rzeczywista, zespolona oraz równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe.

Cauchy obok Weierstrassa jest uważany za współojca ścisłej, rygorystycznej analizy, rozwiązując problemy konceptualne związane z tą dziedziną od jej początków w XVII w.

Cauchy to faktyczny twórca analizy zespolonej, jako pierwszy systematycznie rozważający ogólne funkcje takiej zmiennej (f: ℂ→ℂ) i analityczne operacje na nich jak różniczkowanie (f′(z)) i całkowanie (∫ f dz). W ten sposób uściślił i rozszerzył wcześniejsze prace Eulera, Cotesa i jeszcze wcześniejszych matematyków, sięgających Cardana – którzy to posługiwali się tylko szczególnymi przypadkami, jakimi były funkcje elementarne. Analiza zespolona okazała się bardzo bogatą dziedziną matematyki, a w XXI w. jest dalej rozwijana i swoim badaczom przynosi prestiżowe nagrody, także medale Fieldsa. Jeszcze w XIX w. zbudowano na jej gruncie teorię funkcji specjalnych, znaleziono jej związki z teorią liczb i z algebrą elementarną – m.in. znaleziono długo wyczekiwane ogólne wzory na pierwiastki wielomianu stopnia piątego i wyższych, mimo że zgodnie z twierdzeniem Abela–Ruffiniego nie istnieją tego typu wzory czysto pierwiastnikowe. Oprócz tego to właśnie na gruncie analizy zespolonej dowodzi się ściśle zasadniczego twierdzenia algebry, np. korzystając z twierdzenia Liouville’a.

Bezpośredni wkład Cauchy’ego do teorii grup to:

systematyczne rozważania grup permutacji (S_n) i funkcji symetrycznych wielu zmiennych;
kombinatoryczny wzór na liczbę orbit grupy działającej na zbiorze; później niezależnie opisał go Frobenius, a nazwano go mylnie lematem Burnside’a.

Niestety na rozwój tej dziedziny Cauchy miał też wpływ negatywny, popadając w konflikt z Évariste’em Galois, który miał w tę teorię ogromny wkład. Plusem natomiast była współpraca z dość osamotnionym i marginalizowanym Paolem Ruffinim.

Arthur Cayley

/'arter 'kejli/ (1821–1895) – angielski matematyk i prawnik; w zajmował się głównie algebrą i geometrią, przyczyniając się do powstania algebry liniowej, abstrakcyjnej i geometrii algebraicznej. Jego najbardziej znane osiągnięcia w algebrze to:

ogólne pojęcie macierzy, niezależnie od Sylvestera; uogólniało ono wcześniejsze prace o wyznacznikach, zarysowując wyraźną różnicę między macierzami kwadratowymi a funkcjami na nich jak wyznacznik;
szczególny przypadek twierdzenia Cayleya–Hamiltona, upraszczającego obliczenia na macierzach kwadratowych;
abstrakcyjne pojęcie grupy, obejmujące nie tylko permutacje i reszty z dzielenia;
twierdzenie Cayleya o sprowadzaniu się dowolnych grup do permutacji;
tabelki Cayleya – ilustracje działań dwuargumentowych, określonych zwłaszcza wewnątrz zbiorów skończonych;
diagramy Cayleya – grafy (siatki) ilustrujące struktury grup;
prace o algebrach hiperzespolonych, idących jeszcze dalej niż kwaterniony („czwarki”, ℍ), np. o tzw. oktawach Cayleya (oktonionach, 𝕆).

Cayley miał cechy geniusza i „cudownego dziecka”; był poliglotą znającym co najmniej cztery języki obce, już w wieku 17 lat studiował w Cambridge – w elitarnym Trinity College – a już jako 20-latek zaczął publikować własne prace. Upamiętniono go m.in. nazwą krateru na Księżycu.

Richard Dedekind

/'rixard 'dedekind/ (1831–1916) – niemiecki matematyk, zajmujący się m.in. teorią liczb, algebrą, analizą i fundamentami matematyki. Jego głównie osiągnięcia dotyczą algebraicznej teorii liczb, algebry abstrakcyjnej – głównie teorii grup, pierścieni i krat – oraz teorii funkcji specjalnych i redukcji pojęć matematycznych do logiki i teorii mnogości. W tych „podstawach” matematyki był między innymi:

pionierem aksjomatyki liczb naturalnych (ℕ), ukończonej potem przez Peana,
autorem konstrukcyjnej definicji liczb rzeczywistych (ℝ) przez tzw. przekroje Dedekinda,
obrońcą prac Georga Cantora o liczbach pozaskończonych, a także ich kontynuatorem – wprowadził standardową definicję nieskończoności jako mocy zbioru równolicznego ze swoim podzbiorem właściwym (∃A⊂X: #A = #X). Ta własność, będąca dla Galileusza paradoksem i kresem rozważań, w teorii mnogości stała się punktem wyjścia.

Wkład Dedekinda do teorii grup jest co najmniej dwojaki:

opisał i nazwał grupy Hamiltona – uogólnienie grupy kwaternionów Q₈; są to grupy nieprzemienne, ale dzielące z grupami przemiennymi istotną własność normalności każdej podgrupy. W związku z tym grupy Hamiltona i grupy przemienne zbiorczo nazywa się grupami Dedekinda;
opisał kraty modularne, będące uogólnieniem krat rozdzielnych; własność modularności (reguła Dedekinda) przysługuje m.in. kracie podgrup normalnych danej grupy, np. wszystkich podgrup grupy przemiennej.

Jednym z aspektów życia Dedekinda – być może nieintuicyjnym – jest jego pomostowość; łączył różne epoki, współpracując z ludźmi z trzech różnych stuleci. Był ostatnim doktorantem Gaussa, a jednocześnie dożył pierwszej wojny światowej i ogłoszenia ogólnej teorii względności przez Einsteina.

Euklides z Aleksandrii

/eu'klides/ (IV–III w. p.n.e.) – grecki matematyk; jeden z największych matematyków starożytności obok Archimedesa. Jest najbardziej znany jako autor wielkiego traktatu Elementy wykładającego geometrię i teorię liczb znaną w jego czasach.

Związek Euklidesa z teorią grup przemiennych jest bardzo pośredni, wręcz szczątkowy. Otóż przypisuje mu się:

algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch liczb całkowitych, zwany algorytmem Euklidesa. Jego rozszerzenie pozwala rozwiązać chiński problem reszt i przez to udowodnić konstruktywnie chińskie twierdzenie o resztach, najpóźniej od XX w. formułowane właśnie w języku skończonych grup przemiennych;
dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (#ℙ ∉ ℕ);
podstawy zasadniczego twierdzenia arytmetyki, np. tzw. lemat Euklidesa (∀p∈ℙ: p|ab ⇒ p|a ∨ a|b).

Bez tych wyników nie byłoby klasyfikacji skończonych grup przemiennych. Ten pośredni, ale zasadniczy wpływ można przyrównać do związku Pitagorasa z teorią przestrzeni Hilberta, opartych na dalekim uogólnieniu przypisywanego mu twierdzenia.

Nie należy go mylić z Euklidesem z Megary – filozofem żyjącym około stulecie wcześniej, jeszcze w okresie klasycznym.

Leonhard Euler

niem. [ˈɔʏlɐ], /'leonard 'ojler/ (1707–1783) – szwajcarski matematyk i fizyk teoretyczny, zajmujący się też astronomią, kartografią, teoretyczną inżynierią mechaniczną, teorią muzyki i filozofią.

Euler był prawdopodobnie największym matematykiem XVIII w. i nie tylko. Mógł być również najwybitniejszym od czasów Archimedesa do czasów Gaussa, plasując się wśród kilku największych wszech czasów. Zajmował się najróżnieszymi dziedzinami matematyki jak:

elementarna teoria liczb,
euklidesowa geometria syntetyczna,
algebra elementarna,
geometria analityczna,
liczne obszary analizy matematycznej: analiza rzeczywista, metody numeryczne, zalążki analizy zespolonej, równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe, zalążki analizy harmonicznej, rachunek wariacyjny.

Euler był też pionierem analitycznej teorii liczb i teorii grafów, a jego wyniki w tej dziedzinie są czasem uznawane za początki topologii, w pełni uformowanej w II poł. XIX w. przez Riemanna i nazwanej przez Listinga.

Dla teorii grup przemiennych Euler ma znaczenie głównie jako teoretyk liczb całkowitych. Udowodnił małe twierdzenie Fermata i jego uogólnienie dla dzielników (modułów) złożonych, zwane twierdzeniem Eulera, podobnie jak wiele innych twierdzeń w innych dziedzinach. To uogólnienie zawiera wprowadzoną przez niego funkcję fi (φ), zwaną też tocjentem, będącą wygodnym narzędziem do opisu rzędu mnożeniowych (multyplikatywnych) grup reszt z dzielenia (ℤ/nℤ)_×.

Ponadto teoria grup przemiennych zawdzięcza Eulerowi jego rozwój algebry elementarnej, zwłaszcza liczb zespolonych (ℂ), korzystający również z metod analizy. Euler między innymi:

wprowadził symbol jednostki urojonej i,
zwrócił uwagę na zanik pewnych własności potęgowania w dziedzinie zespolonej; mówiąc późniejszym językiem: potęgowanie liczb zespolonych nie jest homomorfizmem mnożenia, czyli ∃z,w∈ℂ: (zw)^p ≠ z^pw^p;
udowodnił znaną tożsamość wiążącą funkcję eksponens z funkcjami trygonometrycznymi, zwaną tożsamością Eulera – choć, gwoli ścisłości, bardzo zbliżoną tożsamość rozważał wcześniej Cotes. Tożsamość Eulera (exp iθ = cos θ + i sin θ ∀θ∈ℝ) nie tylko upraszcza obliczenia na liczbach zespolonych, ale też odsłania właściwość eksponensu, jaką jest homomorfizm między prostą rzeczywistą (ℝ) a okręgiem (S¹ ≅ SO(2) ≅ U(1)) – jedynymi jednowymiarowymi grupami Liego i podstawowymi przemiennymi grupami tego typu.

Pośrednią zasługą Eulera dla teorii grup może być też jego współpraca korespondencyjna z Lagrange’em, który był jej praojcem. Prace Eulera nad rachunkiem wariacyjnym stały się też podstawą mechaniki analitycznej Lagrange’a, która intensywnie korzysta z teorii grup Liego (symetrii ciągłych).

Pierre Fermat

w późniejszym życiu Pierre de Fermat, fr. [pjɛːʁ də fɛʁma], /pjer dɨ fer'ma/ (1607–1665) – francuski prawnik, a z zamiłowania również matematyk i okazjonalnie fizyk teoretyczny. Miał zasługi dla teorii liczb i był współtwórcą nowych dziedzin matematyki:

geometrii analitycznej (in. geometrii współrzędnych) niezależnie od Kartezjusza,
analizy matematycznej – przez rozwiązania problemów ekstremów oraz, mówiąc późniejszym językiem, pierwszych nietrywialnych całek oznaczonych;
probabilistyki, przez swoją korespondencję z Pascalem.

Fermat jest najbardziej znany poza gronem matematyków za sprawą swojej hipotezy, nazwanej Wielkim Twierdziem Fermata (WTF). Mówi ono, że tzw. równania Fermata – odpowiedniki równania Pitagorasa dla wyższych wykładników całkowitych (xⁿ+yⁿ = zⁿ, n > 2) – nie mają rozwiązań całkowitych dodatnich (naturalnych bez zera: (x,y,z) ∉ ℕ₊³). Hipoteza ta pozostawała nierozstrzygnięta przez ponad 300 lat, co stanowi rekord Guinessa w czasie między postawieniem problemu matematycznego a rozwiązaniem go. Proces ten trwał stulecia pomimo wysiłków wybitnych matematyków jak Euler, Gauss, Abel, Germain, Liouville, Legendre i inni, którzy dowodzili szczególnych przypadków dla niektórych wykładników. Według anegdot David Hilbert – jeden z największych matematyków przełomu XIX i XX w. – był onieśmielony tym problemem i otwarcie przyznał, że nie zamierza nad nim pracować. Ostateczny dowód podał w latach 90. XX w. Andrew Wiles, który został za to uhonorowany specjalnym wyróżnieniem od Międzynarodowej Unii Matematycznej, lecz nie otrzymał Medalu Fieldsa z racji ograniczeń wiekowych. Później został uhonorowany Nagrodą Wolfa i Nagrodą Abela pozbawionymi takich kryteriów.

Oprócz słynnej hipotezy w teorii liczb innym znanym osiągnięciem Fermata jest jego zasada wariacyjna w optyce, uogólniająca wyniki Herona z Aleksandrii na temat odbicia światła. Zasada Fermata pozwoliła wyjaśnić prawo Snella załamania promieni i sformułować podobne zasady w mechanice, za sprawą d’Alemberta, Maupertuis i wreszcie Lagrange’a.

Głównym wpływem Fermata na teorię grup jest jego małe twierdzenie mówiące o pewnej kongruencji względem liczb pierwszych (a^p–1 ≡ 1 mod p, p∈ℙ). Pozwala ono udowodnić, że każda grupa rzędu pierwszego jest grupą cykliczną i prostą; twierdzenie to jest też szczególnym przypadkiem twierdzenia Lagrange’a o rzędzie podgrup grupy skończonej. Uogólnienie małego twierdzenia Fermata – twierdzenie Eulera w teorii liczb – opisuje pewien izomorfizm cyklicznych grup multyplikatywnych z addytywnymi. Bez zasady wariacyjnej Fermata być może długo nie byłoby też mechaniki Lagrange’a, w której zastosowano grupy Liego, np. dowodząc twierdzenia Noether o związku symetrii ciągłych z zasadami zachowania.

Leonardo z Pizy

in. Leonardo Pisano, Filius Bonacci, Fibonacci /fibo'natʃ:i/ (XII–XIII w.) – włoski kupiec i matematyk, w nauce zajmujący się głównie arytmetyką, teorią liczb i geometrią; być może najwybitniejszy matematyk europejskiego średniowiecza.

Wprowadził do Europy nowy system zapisu liczb – pozycyjny i dziesiętny (decymalny), oparty na cyfrach indoarabskich. Fibonacci w dziele Liber Abaci opisał również pewien rekurencyjny ciąg liczb całkowitych, zwany ciągiem Fibonacciego lub ciągiem liczb Fibonacciego (F_n). Zrobił to jako pierwszy w Europie, choć prawdopodobnie ciąg ten był już znany stulecia wcześniej w Indiach. Oryginalnym wkładem Fibonacciego było na pewno zastosowanie tego ciągu do modelowania populacji królików, przez co włoskiego uczonego można też nazwać pionierem biomatematyki.

Wkład Fibonacciego w matematykę to też m.in. opisanie:

wzorów na trójki pitagorejskie (a,b,c∈ℕ: a² + b² = c²),
algorytmu związanego z ułamkami egipskimi,
pewnej tożsamości algebraicznej, którą znał wcześniej indyjski uczony Brahmagupta,
chińskiego problemu reszt; postawionego ok. tysiąclecie wcześniej przez Sūnzĭego i rozwiązanego przez Qín Jiǔsháo mniej-więcej w czasach pizańczyka.

Ten ostatni temat prac wiąże Fibonacciego z teorią grup przemiennych. Można powiedzieć, że uczony ten pomógł europejskiej matematyce dogonić jej rozwój na Bliskim i Dalekim Wschodzie oraz był jedną z zapowiedzi włoskiego renesansu. Ciąg Fibonacciego był później badany przez stulecia i stał się podstawą do wprowadzania wielu pojęć, przez co Fibonacci jest upamiętniony m.in. nazwą spirali Fibonacciego przybliżającej złotą spiralę, odwrotnej stałej Fibonacciego, wielomianów Fibonacciego, a nawet całego czasopisma i towarzystwa naukowego. Wiele pojęć związanych z Fibonaccim niejako honoruje jego wkład w biomatematykę, bo odnajduje w niej zastosowanie – nie tylko w modelowaniu populacji, ale też np. w morfologii ulistnienia (filotaksji).

Giovanni Frattini (en)

/dʒjo'vaɲi fra'tiɲi/ (1852–1925) – włoski matematyk, uczeń wybitnego geometry Beltramiego. Frattini jest najbardziej znany ze swojego wkładu do algebry abstrakcyjnej, zwłaszcza do teorii grup. Wprowadził tam pojęcie nazywane podgrupą Frattiniego, Φ(G) – to zbiór wszystkich elementów niegenerujących w grupie, czyli możliwych do pominięcia w zbiorze generatorów. Podgrupa ta ma wiele cennych własności; te zrozumiałe w kontekście tego kursu to bycie podgrupą normalną (Φ(G) ⊴ G) i co więcej – charakterystyczną (Φ(G) ◄ G).

Ferdinand Georg Frobenius

/ferdi'nand 'georg fro'beɲus/ (1849–1917) – niemiecki matematyk. Miał duży wkład do algebry liniowej i abstrakcyjnej, teorii liczb i analizy matematycznej, zwłaszcza równań różniczkowych i analizy zespolonej. Jego zasługi dla algebry to m.in.:

ścisłe sformułowanie twierdzenia o rozkładzie skończenie generowanych grup przemiennych, rozwijając wcześniejsze prace Kroneckera na ten temat;
dowód ogólnego twierdzenia Sylowa, wcześniej udowodnionego tylko dla grup permutacji (S_n);
dowód kombinatorycznego wzoru o liczbie orbit grupy działającej na zbiorze – niezależnie od Cauchy’ego; fakt ten potem nazwano mylnie lematem Burnside’a;
dowód przypadku ogólnego, dotyczącego dowolnego wymiaru, twierdzenia algebry liniowej znanego jako twierdzenie Cayleya–Hamiltona, znaczącego też dla teorii grup;
twierdzenie Frobeniusa w algebrze – kwaterniony („czwarki”, ℍ) to jedyne uogólnienie liczb zespolonych (ℂ), w którym mnożenie jest łączne i odwracalne, tzn. pozwala na dzielenie przez dowolny niezerowy element; przez tę unikalność kwaterniony to w pewnym sensie najbardziej naturalna, „kanoniczna” i „standardowa” algebra hiperzespolona; co więcej – kwaterniony i liczby zespolone to jedyne uogólnienia liczb rzeczywistych (ℝ) o tej własności;
początki tzw. teorii reprezentacji i teorii charakterów.

Nazwisko Frobeniusa jest upamiętnione przez tzw. grupy Frobeniusa oraz macierze Frobeniusa. Te ostatnie są pewnym uogólnieniem macierzy elementarnych, dobrze znanych adeptom algebry liniowej.

Évariste Galois

fr. [evaʁist ɡalwa], /eva'rist gal'wa/ (1811–1832) – francuski matematyk i działacz polityczny; jeden z pionierów teorii grup i twórca nazwy „grupa” w matematycznym sensie; Galois to również twórca innej dziedziny algebry abstrakcyjnej, nazwanej jego nazwiskiem.

Teoria Galois bada związki grup z własnościami wielomianów i z pewnymi innymi abstrakcyjnymi strukturami algebraicznymi, znanymi jako ciała. W badaniach tych Galois wprowadził pewne pojęcia kluczowe dla całej teorii grup jak podgrupa normalna (N ⊴ G) czy grupa rozwiązalna. Ta ostatnia własność jest jednym z uogólnień przemienności grupy; jest bezpośrednio związana z rozwiązalnością równań wielomianowych przez pierwiastniki – pojawia się w twierdzeniu rozszerzającym to Abela–Ruffiniego. Rozwiązalność grup skończonych jest od dwóch stuleci intensywnie badana i znaleziono różne warunki na tę własność, leżące np. w rzędzie grupy (jej mocy #G). Istotne twierdzenia na ten temat udowodnili Burnside w latach tysiącdziewięćsetnych oraz Feit i Thompson w latach 60. XX w., co przysporzyło im wiele nagród.

Galois słynie również z niezwykłej, dramatycznej biografii. Jego krótki, burzliwy żywot obejmował tragedie rodzinne, odrzucone zgłoszenie na uczelnię, represje polityczne, zawód miłosny, a na koniec – pojedynek, w którym Galois zginął jeszcze przed swoimi 21. urodzinami. Ta historia – pasującaca do swojej epoki artystycznej, jaką był romantyzm – zwróciła uwagę również tych autorów, którzy nie zajmowali się bezpośrednio algebrą. Wśród nich był polski fizyk teoretyczny Leopold Infeld, który napisał o Galois powieść biograficzną Wybrańcy bogów (1950).

Carl Friedrich Gauss

niem. [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs], /karl 'fridrix(j) gaus/ (1777–1855) – niemiecki uczony wielodyscyplinarny: matematyk, fizyk, astronom, geodeta i kartograf; uważany za jednego z największych matematyków wszech czasów i „księcia matematyki”, przynajmniej przed XX w.; znany z niezliczonych osiągnięć w najróżniejszych obszarach matematyki czystej oraz jej zastosowań. Tworzył w dziedzinach:

„tradycyjnych”, rozwijanych od starożytności jak elementarna teoria liczb i syntetyczna geometria euklidesowa;
późniejszych, ale klasycznych, „zastanych przez niego”, jak algebra elementarna, geometria analityczna, analiza rzeczywista, metody numeryczne czy probabilistyka;
pionierskich w jego czasach jak algebraiczna i analityczna teoria liczb, geometria nieeuklidesowa i różniczkowa, algebra liniowa i abstrakcyjna czy analiza wielowymiarowa i na rozmaitościach.

Niektórymi pracami Gauss wyprzedzał innych matematyków o ponad 150 lat, jak w wypadku szybkiej transformaty Fouriera (ang. FFT). Wśród laików ten niemiecki matematyk prawdopodobnie jest kojarzony głównie z:

statystycznym rozkładem normalnym, zwanym również rozkładem Gaussa;
działem magnetycznym;
układem jednostek CGS, będącym naukową wariacją układu metrycznego i poprzednikiem układu SI;
anegdotą o tym, że jako dziecko udowodnił wzór na sumę ciągu arytmetycznego, w tym tzw. liczby trójkątne;
nazwaniem matematyki „królową nauk”.

Z perspektywy teorii grup Gauss to przede wszystkim:

autor ścisłego pojęcia kongruencji liczb całkowitych (a ≡ b mod n, a–b ∈ nℤ), a przez to pionier teorii grup cyklicznych (ℤ i ℤ_n) i innych przemiennych grup skończenie generowanych. W jego pracach można nawet dopatrywać się zalążków twierdzenia o klasyfikacji tych grup przez rozkład na sumy proste; o tym twierdzeniu wprost pisali potem m.in. Kronecker i Frobenius. Uogólniona relacja kongruencji (a–b ∈ H, H < G) pozwala na alternatywną definicję warstw w grupie, a przez to na skonstruowanie grup ilorazowych, które bywają definiowane właśnie tą kongruencyjną drogą;
pionier algebry kwaternionów („czwarków”, ℍ), które potem okazały się istotne w teorii grup nieprzemiennych i są wspomniane w tutejszym wstępie do niej. Gauss wpadł na ten trop całe dekady przed Hamiltonem, ale niestety nie opublikował swojego osiągnięcia i zrobiono to długo po jego śmierci.

Gauss wywarł wielki wpływ na rozwój matematyki – w tym teorii grup – nie tylko bezpośrednio, przez badania, ale też przez swoją dydaktykę i sukcesję naukową. „Książę matematyków” wykształcił i wypromował jako doktorów wielu wybitnych specjalistów w rozmaitych dziedzinach tej nauki; wśród nich byli m.in. Riemann, Listing, Weierstrass, Dedekind, Dirichlet czy Möbius. Znaczna część XIX-wiecznych teoretyków grup, opisanych w tym zestawieniu – jak Dedekind, Kronecker, Frobenius i Klein – była bezpośrednimi uczniami Gaussa lub jego dalszymi akademickimi potomkami.

William Rowan Hamilton

/'wɨljam 'rowan 'hamilton/ (1805–1865) – irlandzki naukowiec: matematyk, astronom i fizyk teoretyczny, zajmujący się głównie algebrą i fizyką matematyczną, zahaczający też o geometrię, teorię grafów i analizę.

Hamilton w XXI w. może być najbardziej znany jako twórca nowego formalizmu mechaniki klasycznej, zwanego mechaniką Hamiltona – „trzeciej drogi” po pierwotnym formalizmie Newtona (i jego kontynuatorów jak Euler) oraz wariacyjnym formalizmie Lagrange’a. Rola tego nowego języka bardzo się powiększyła wraz z rozwojem fizyki w XX w., przez co doniosłość Hamiltona zaczęła być odsłaniana całe dekady, a nawet przeszło stulecie po jego śmierci, za to wagi przykładane jego różnym pracom ewoluują. Mechanika analityczna w postaci Hamiltona w latach 20. XX w. stała się podstawą mechaniki kwantowej, a konkretnie jej najczęstszej wersji – zwanej obrazem Schrödingera. Podstawowe w nim równanie Schrödingera zawiera obiekt zwany hamiltonianem i jest wariacją klasycznego równania Hamiltona–Jacobiego. Metody Hamiltona okazały się też owocne w ogólnej teorii względności Einsteina – udało się sformułować ją w sposób hamiltonowski, otwierając drogę do pewnych teorii kwantowej grawitacji jak grawitacja pętlowa.

Hamilton miał też wieloraki wkład do algebry; zarówno tej klasycznej, jak i rodzącej się przy jego udziale algebry liniowej i abstrakcyjnej:

Podał ścisłą, konstrukcyjną (operacyjną) definicję liczb zespolonych (ℂ) jako par liczb rzeczywistych, czyli innymi słowy – płaskich wektorów kartezjańskich (ℝ²) z dodatkowym działaniem odwracalnego mnożenia.
W teorii równań wielomianowych i teorii grup kontynuował prace Abela – relacjonował je, bronił ich i sam również badał warunki na rozwiązalność równań 5. stopnia przez pierwiastniki.
Wprowadził zbiór kwaternionów („czwarków”, ℍ) – nieprzemienne rozszerzenie liczb zespolonych, zaliczane do tzw. liczb hiperzespolonych. Zrobił to dekady po Gaussie, ale niezależnie od niego i publikując swój wynik. Pewien podzbiór tej struktury jest istotną grupą skończoną Q₈ o pewnych własnościach grup przemiennych. Uczony został upamiętniony nazwą grup Hamiltona – uogólniających tę grupę zarówno pod względem własności, jak i inkluzji (zanurzenia).
Na gruncie kwaternionów udowodnił szczególny, czterowymiarowy przypadek twierdzenia Cayleya–Hamiltona, istotnego w algebrze liniowej i jej zastosowaniach, w tym w teorii grup, przez upraszczanie obliczeń na macierzach.

Hamilton wykorzystał metody algebraiczne, zbliżone do kwaternionów, do rozwiązania pewnego problemu z pogranicza geometrii i teorii grafów. Przez to kojarzony jest też z tzw. cyklami Hamiltona i z grafami hamiltonowskimi, zdefiniowanymi komplemetarnie do cykli Eulera i grafów eulerowskich. Hamilton zostawił też po sobie ślad notacyjno-terminologiczny w wielu dziedzinach matematyki i jej zastosowań, jak rzeczywista analiza wielowymiarowa, geometria różniczkowa z analizą na rozmaitościach czy fizyka matematyczna, zwłaszcza teoria pola i potencjału. Zaproponował trójkątny symbol operatora różniczkowego gradientu (współcześnie ∇). Nazwał go „nabla”, z greckiego „harfa”. Ten skrót pozwolił też na wygodny zapis operatorow dywergencji i rotacji, dzięki połączeniu go z pojęciami iloczynu skalarnego i wektorowego, również wywodzącymi się z algebry kwaternionów. Najbardziej znanym wystąpieniem symbolu nabla może być różniczkowa postać równań Maxwella elektrodynamiki klasycznej.

Otto Ludwig Hölder

/'otto 'ludvig 'helder/ (1859–1937) – niemiecki matematyk, zajmujący się głównie algebrą abstrakcyjną – zwłaszcza teorią grup – oraz analizą, zwłaszcza analizą rzeczywistą i teorią równań różniczkowych; przyczynił się do narodzin analizy funkcjonalnej w XX w.

Hölder miał pewien wkład teorię grup przemiennych i jednocześnie w fundamenty („podstawy”) matematyki. Udowodnił pewne twierdzenie o grupach liniowo uporządkowanych, tzn. grupach – niekoniecznie przemiennych – z dodatkową strukturą liniowego porządku, zgodną z działaniami grupy. Otóż jeśli nałożyć na nie jeszcze jeden warunek, jakim jest tzw. własność Archimedesa, to taka grupa archimedejska musi być grupą przemienną i co więcej – podgrupą grupy addydywnej liczb rzeczywistych (ℝ,+). Przez to zbiór liczb rzeczywistych można jednoznacznie określić przez postulaty algebraiczne i porządkowe – to najszersza w sensie inkluzji, „maksymalna” grupa archimedejska.

Ponadto Hölder to współautor twierdzenia Jordana–Höldera o jednoznaczności ciągu kompozycyjnego grup. Miał też wkład w klasyfikację skończonych grup prostych i badania automorfizmów grup permutacji. Udowodnił również pewną nierówność całkową, twierdzenie o funkcji gamma Eulera (Γ) i bywa kojarzony z ogólnymi średnimi potęgowymi, uogólniającymi średnie arytmetyczną, geometryczną, harmoniczną i kwadratową.

Marie Ennemond Camille Jordan

fr. [ʒɔʀdã], /ma'ri ene'mõ ka'mij ʒor'dã/ (1838–1922) – francuski matematyk; zajmował się m.in. algebrą liniową i abstrakcyjną – zwłaszcza teorią grup – a także analizą matematyczną, w tym równaniami różniczkowymi i rodzącymi się wtedy odnogami analizy jak teoria miary i topologia.

Jordan to współautor twierdzenia Jordana–Höldera o jednoznaczności ciągu kompozycyjnego grup. Udowodnił też pewne twierdzenie o grupach permutacji i miał pionierski wkład w klasyfikację skończonych grup prostych, badając tzw. grupy Mathieu należące do szerszej klasy grup sporadycznych. Został upamiętniony nazwami wielu pojęć; w algebrze liniowej są to klatka Jordana, macierz Jordana i postać kanoniczna Jordana, a w topologii i analizie – krzywa Jordana (żordanowska). Jordan był też wpływowym dydaktykiem; napisał kilkutomowy Kurs analizy – nawiązujący tytułem do klasycznego dzieła Cauchy’ego – i był jednym z pierwszych wykładowców teorii Galois.

Nie należy go mylić z innymi naukowcami jak:

Wilhelm Jordan /'jordan/ – niemiecki geodeta i matematyk z XIX w., znany z tzw. metody Gaussa–Jordana rozwiązywania układów równań liniowych, np. przy odwracaniu macierzy;
Pascual Jordan /'jordan/ – niemiecki fizyk teoretyczny i polityk z XX w., upamiętniony m.in. nazwą algebry Jordana.

Christian Felix Klein

/'xristian 'feliks klajn/ (1849–1925) – niemiecki matematyk, zajmujący się m.in. geometrią, algebrą elementarną i abstrakcyjną – zwłaszcza teorią grup – oraz analizą zespoloną i teorią funkcji specjalnych.

Klein to m.in. autor pojęcia izomorfizmu; został też upamiętniony nazwą grupy czwórkowej Kleina (V₄), zwanej też krótko czwórką Kleina. To od niego pochodzi też współczesna definicja geometrii, opartej na grupach symetrii, zwłaszcza grupach Liego – geometria to niejako wycinek algebry badający niezmienniki pewnych przekształceń przestrzeni. Kąty można traktować jako niezmienniki przekształceń ortogonalnych, odległości – niezmienniki izometrii, relacje przecinania się i współliniowości – niezmienniki przekształceń afinicznych, za to wielkości topologiczne jak genus czy charakterystyka Eulera – jako niezmienniki homeomorfizmów, czyli ciągłych bijekcji z ciągłymi odwrotnościami.

W popkulturze Klein jest kojarzony m.in. z powierzchnią zwaną butelką Kleina – kształtem o nietypowych własnościach jak nieorientowalność, podobnie jak we wstędze Möbiusa, lecz przy braku brzegu, podobne jak dla sfery i torusa. Klein przyczynił się też – razem z Hermite’em i Kroneckerem – do znalezienia ogólnych wzorów na pierwiastki wielomianów stopnia wyższego niż cztery, korzystając z metod analizy zespolonej i teorii grup. Zgodnie z wcześniejszym twierdzeniem Abela–Ruffiniego, wzory te nie mogą być czysto pierwiastnikowe; obecne w nich funkcje nie są w ogóle algebraiczne, lecz przestępne, podobne do funkcji trygonometrycznych.

Klein ma też zasługi edukacyjne, jako nauczyciel i promotor dziesiątek istotnych matematyków. Najbardziej znanym z nich może być Lindemann – niektórym laikom znany jako autor dowodu przestępności liczb pi (π) i e, a z historycznej perspektywy – ojciec sukcesów, jakimi byli Hilbert, Minkowski czy Carathéodory.

Feliksa Kleina nie należy mylić z Oskarem Kleinem – szwedzkim fizykiem XX-wiecznym, upamiętnionym nazwami:

równania Kleina–Gordona – relatywistycznego równania ruchu w mechanice kwantowej,
teorii Kaluzy–Kleina – klasycznej teorii pola unifikującej ogólną teorię względności Einsteina z elektrodynamiką Maxwella przez postulowanie dodatkowych wymiarów przestrzeni.

Leopold Kronecker

/'leopold 'kroneker/ (1823–1891) – niemiecki matematyk, zajmujący się głównie teorią liczb, algebrą i analizą.

Jego wkład do algebry to m.in.:

pewna postać twierdzenia o rozkładzie skończonych grup przemiennych – wyraźniejsza niż zalążki Gaussa, choć nie tak współczesna i abstrakcyjnoalgebraiczna jak później u Frobeniusa i innych;
współudział w znalezieniu długo wyczekiwanych wzorów ogólnych na pierwiastki wielomianu 5. stopnia. Podając wzory zawierające funkcje przestępne, wypełniono pewną lukę, którą odsłonili wcześniej Ruffini, Abel i Galois. Kronecker wykorzystał w tym rozwiązaniu nie tylko analizę zespoloną funkcji specjalnych, ale też metody teorii grup;
algorytm rozkładu wielomianów o współczynnikach całkowitych – rozszerzający wcześniejsze prace Newtona i Schuberta na ten temat. Jest to procedura komplementarna do bezpośredniego szukania pierwiastków przez ogólne wzory i dalekie uogólnienie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego.

Kronecker to jeden z tych ludzi, którzy są rozpoznawalni w sposób dość „małostkowy”, to znaczy głównie przez coś, co nie jest ich największym osiągnięciem:

nazwisko Kroneckera jest prawdopodobnie najczęściej wymieniane w nazwie delty Kroneckera; symbol ten (δ_ij) oznacza pewną funkcję dwóch zmiennych naturalnych (δ_ij: ℕ² → {0,1}). Opisuje ona za pomocą bitu, czy wartości tych zmiennych są równe. Innymi słowy jest to funkcja charakterystyczna zbioru, który można nazwać przekątną dziedziny (lub endorelacją tożsamości, id): δ_ij = χ_id. Ta delta upraszcza m.in. zapis macierzy jednostkowej (I_ij = [δ_ij]) oraz iloczynu skalarnego. Doczekała się też dość głośnej wariacji, jaką jest delta Diraca.
Kronecker bywa też kojarzony z twierdzeniem Kroneckera–Capellego w elementarnej algebrze liniowej, będącym bezpośrednim wnioskiem z ogólnego twierdzenia o rzędzie (randze) przekształceń liniowych.
W algebrze macierzy istnieje też pojęcie iloczynu Kroneckera ściśle związane z iloczynem tensorowym i dzielące z nim symbol (⊗).

Joseph Louis Lagrange

fr. [ʒozɛf lwi laɡʁɑ̃ʒ], /ʒo'zef lwi la'granʒ/ (1736–1813) – włosko-francuski matematyk i fizyk teoretyczny. Był jednym z największych matematyków XVIII w., rozwijając teorię liczb, algebrę elementarną, geometrię analityczną, probabilistykę i różne dziedziny analizy: analizę rzeczywistą, metody numeryczne, równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe oraz rachunek wariacyjny; dla dwóch ostatnich dziedzin był współtwórcą.

Jego nowy formalizm mechaniki klasycznej w pewnym sensie „wymsknął się spod kontroli”, tak jak później mechanika Hamiltona. Strategia Lagrange’a nie tylko pomogła rozwiązać wiele problemów mechanicznych, ale dekady po jego śmierci stała się paradygmatem całej fizyki teoretycznej – pozwoliła na alternatywne sformułowania elektrodynamiki Maxwella i na pierwsze wyprowadzenie równań ogólnej teorii względności przez Hilberta. Potem umożliwiła też alternatywne sformułowanie mechaniki kwantowej przez Feynmana i na pojawienie się kwantowych teorii pola, takich jak elektrodynamika kwantowa i cały model standardowy cząstek elementarnych. Wariacyjny język Lagrange’a pozwolił też na udowodnienie twierdzenia Noether wiążącego symetrie ciągłe z zasadami zachowania.

Lagrange pracował między innymi nad teorią równań wielomianowych, wprowadzając tam pojęcie rezolwenty i teorię podstawień (permutacji). W ten sposób ujednolicił i uzupełnił metody Cardana i Ferrarego rozwiązywania równań trzeciego i czwartego stopnia. Jako pierwszy mógł był wpaść na trop, że dla równań stopnia piątego ogólny wzór pierwiastnikowy nie istnieje – bo w tym wypadku metoda rezolwenty prowadzi do komplikacji zamiast do uproszczeń. To właśnie Lagrange’a można uznać za najwcześniejszego prekursora teorii grup nieprzemiennych i ich związku z wielomianami – prace „wielkiej trójki”, jaką byli Ruffini, Abel i Galois, przyszły później. Nazwiskiem Lagrange’a upamiętniono twierdzenie mówiące o rzędzie podgrupy grupy skończonej (H < G ⇒ #H | #G); zostało ono potem rozwinięte przez uogólnienie i częściowe odwrócenie w pracach Cauchy’ego, Sylowa i Frobeniusa.

Oprócz tego metoda interpolacji wielomianowej Lagrange’a z późniejszej, szerszej i bardziej abstrakcyjnej perspektywy jawi się jako przykład zastosowania chińskiego twierdzenia o resztach. Wartości szukanego wielomianu f(x) na węzłach (x_i,y_i) można uznać – zgodnie z twierdzeniem Bézouta – za reszty z dzielenia go przez funkcje 1. stopnia („liniowe”): f(x_i) = f(x) mod (x–x_i). Przez to problem znajdowania wielomianu o zadanych wartościach (f(x_i) = y_i) jest rodzajem układu kongruencji (f(x) ≡ y_i mod (x–x_i) ).

Marius Sophus Lie

/'marjus 'sofus li/ (1842–1899) – norweski matematyk; jeden z najbardziej znanych teoretyków grup i pionier tej dziedziny. Badał grupy ciągłe, rozszerzając tematykę teorii grup z reszt z dzielenia liczb całkowitych (ℤ_n) i skończonych zbiorów permutacji (S_n) na kwadratowe macierze odwracalne (GL_n) i ciągłe symetrie przestrzeni, np. przestrzeni euklidesowej ℝⁿ. Lie pokazał zastosownia „swoich” grup w dziedzinach jak równania różniczkowe cząstkowe.

Na grupach Liego opiera się też nowoczesne pojęcie geometrii jako teorii niezmienników pewnych przekształceń – co pozwala na klasyfikację jej różnych dziedzin, od geometrii ściśle euklidesowej przez rzutową, afiniczną i topologię aż do kombinatoryki i teorii mnogości rozumianych jako teorie mocy.

W XX w. grupy Liego wywarły też ogromny wpływ na fundamenty fizyki teoretycznej. W ścisłych i abstrakcyjnych formalizmach mechaniki klasycznej pojawiły się grupy Galileusza, Lorentza i Poincarégo opisujące transformacje układów odniesienia. Jednak największą rolę grupy ciągłe odegrały w teorii pola. Okazały się cenne zarówno w teorii klasycznej, czyli elektrodynamice Maxwella i ogólnej teorii względności Einsteina, jak i w kwantowych teoriach pola – elektrodynamice kwantowej i jej rozszerzeniu do modelu standardowego cząstek elementarnych. Niezliczone rozszerzenia tego modelu jak teorie supersymetryczne (SUSY) i inne teorie wielkiej unifikacji (GUT-y) opierają się właśnie na postulowaniu pewnych grup Liego jako tzw. symetrii cechowania. Grupy Liego są „głównym bohaterem” twierdzenia Noether mówiącego o związku symetrii z zasadami zachowania, np. energii (E), pędu (p), momentu pędu (L) czy stałych parametrów cząstek elementarnych jak ładunek (q).

Sam Sophus Lie – który nie dożył ogromnych sukcesów swojej teorii – był zaangażowanym kontynuatorem prac N.H. Abela. Redagował i publikował jego dzieła oraz był jednym z pierwszych proponentów ufundowania nagrody jego imienia, co doszło do skutku dopiero w XXI w.

Claude Gaspar Bachet de Méziriac (en)

/klod gas'par ba'ʃe dɨ mezir'jak/ (1581–1638) – francuski filolog i matematyk. Przetłumaczył między innymi traktat Arytmetyka Diofantosa z greki na łacinę; z tego tłumaczenia korzystał potem Pierre Fermat. To właśnie w egzemplarzu Arytmetyki Fermat zanotował swoją słynną hipotezę, znaną jako Wielkie Twierdzenie Fermata (WTF).

Méziriac ma też bezpośredni, osobisty wkład matematykę, a konkretniej w teorię liczb. Przyczynił się do rozwiązywania chińskiego problemu reszt i przez to do konstruktywnego dowodu chińskiego twierdzenia o resztach. Uczony ten jako pierwszy opisał i udowodnił pewien wzór, nazwany potem tożsamością Bézouta; wzór ten opisuje istnienie całkowitej kombinacji liniowej dwóch względnie pierwszych liczb całkowitych, dającej w wyniku jedynkę (ax+by = 1). Mówiąc językiem algebry liniowej: ten wzór to rozkład jedynki w bazie dowolnych dwóch różnych, niezerowych i względnie pierwszych liczb całkowitych (x,y ∈ ℤ_≠0, x ≠ y, NWD(x,y) = 1) nad skalarami całkowitymi (a,b ∈ ℤ).

Tożsamość Bézouta ma też inne, być może bardziej bezpośrednie znaczenie dla teorii grup przemiennych. Otóż oznacza ona, że dowolne dwie różne, niezerowe i względnie pierwsze liczby całkowite mogą – za pomocą dodawania i odejmowania – wygenerować jedynkę: ∀m,n ∈ ℤ_≠0, NWD(m,n) = 1 ⇒ 1∈⟨m,n⟩. Jedynka jest generatorem całej tej grupy (⟨1⟩ = ℤ), przez co te dwie liczby całkowite również generują cały zbiór: ⟨m,n⟩ = ℤ. Konsekwencje tych faktów i abstrakcyjne reinterpretacje sięgają jeszcze dalej. Można powiedzieć, że każda niezerowa liczba całkowita (n ∈ ℤ_≠0) jest nieodzownym elementem dla pewnego zbioru generatorów: ∃A⊆ℤ: ⟨A⟩ = ℤ ∧ ⟨A\{n}⟩ ≠ ℤ. Przez to jedynym elementem niegerenującym w liczbach całkowitych jest zero. Innymi słowy: podgrupa Frattiniego liczb całkowitych jest trywialna; Φ(ℤ) = {0}.

Qín Jiǔsháo (en)

/tɕin dʑu'ʃao/ (XIII w.) – chiński intelektualista; matematyk, meteorolog, wynalazca i polityk.

Qín Jiǔsháo jest tu wspomniany, ponieważ jako pierwszy podał algorytm rozwiązywania chińskiego problemu reszt, postawionego ok. tysiąclecia wcześniej przez Sūnzĭ (Sun Tzu). Qín opisał ten algorytm w dziele Matematyczny traktat w dziewięciu rozdziałach (Shùshū Jiǔzhāng) – o tytule zbliżonym do wcześniejszej pracy zbiorowej Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki (Jiǔzhāng Suànshù), ukończonej w II w. n.e. Dzieło Qín obejmowało różne obszary matematyki i jej zastosowań, np. do geodezji, budownictwa, wojskowości i finansów. Tekst ten zawiera również pewną postać algebraicznego schematu Hornera rozwiązywania równań wielomianowych, który potem opisał również perski uczony Al-Tusi w XII w. i matematycy europejscy w czasach nowożytnych. Qín znał również wzór Herona na pole trójkąta. Matematyczny traktat został opublikowany w Europie dopiero w XIX w.

Paolo Ruffini

/pa'olo ru'fiɲi/ (1765–1822) – włoski matematyk, lekarz i filozof, zajmujący się geometrią, algebrą – zwłaszcza elementarną, co zaprowadziło go do podstaw teorii grup – oraz probabilistyką.

Ruffini jest upamiętniony nazwą twierdzenia Abela–Ruffiniego o wielomianach; w swoim częściowym dowodzie rozwijał teorię podstawień (permutacji), wprowadzając podstawowe pojęcia teorii grup i algebry abstrakcyjnej ogółem, takie jak rząd (ang. order) elementu. Niestety prace te spotkały się z mieszanym odbiorem – niektórzy współcześni mu matematycy włoscy jak Malfatti opierali im się, a Lagrange i Legendre je zignorowali, choć jeszcze za życia Ruffiniego docenił je Cauchy. Rolę mogły tu odegrać bariera językowa oraz polityka i religia – Ruffini był wiernym poddanym Państwa Kościelnego i, tak jak Cauchy, był gorliwym katolikiem oraz konserwatystą, czym obaj wywoływali kontrowersje.

Ruffini to również autor algorytmu dzielenia pisemnego wielomianów i pewnych prac o problemie kwadratury koła. Oprócz tego komentował filozofujące dzieło Laplace’a o prawdopodobieństwie i napisał traktat o pojęciu duszy. Jako medyk publikował na temat tyfusu, na który miał nieszczęście zachorować, choć miał szczęście to przeżyć.

Sūnzĭ (en)

Wade–Giles: Sun Tzu /sun tsi/, dosł. Mistrz Sun (między III a V w.) – chiński uczony; autor dzieła Matematyczny podręcznik Mistrza Sun (Sūnzĭ Suànjīng). Zawiera ono między innymi pierwsze sformułowanie chińskiego problemu reszt – uogólnienie zagadnienia najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW; n_i|x) do układu kongruencji (x ≡ a_i mod n_i). Pada tam również informacja, że problem ten jest zawsze rozwiązywalny – co jest znane jako chińskie twierdzenie o resztach. Fakt ten udowodnili późniejsi matematycy chińscy; dowód ten opisał Qín Jiǔsháo w XIII w.

Nie należy go mylić z dużo bardziej znanym Sūnzĭ (Sun Tzu), wojskowym żyjącym ok. tysiąclecie wcześniej, autorem traktatu Sztuka wojny (Sūnzĭ Bīngfǎ).

Peter Ludwig Mejdell Sylow

/'pe(j)ter 'ludvig 'mejdel 'silou/ (1832–1918) – norweski matematyk, znany głównie ze swojego wkładu do algebry, a konkretniej do teorii grup skończonych. Jego twierdzenia są rozwinięciem prac Lagrange’a i Cauchy’ego, wiążących rząd grupy (#G) z istnieniem w niej podgrup (H < G) i z ich rzędem (#H). Sylow jest też upamiętniony nazwą tzw. podgrup Sylowa, pojawiających się w treści tych twierdzeń. Początkowo twierdzenia te były udowodnione tylko dla grup permutacji (S_n), a uogólnienie na dowolne, abstrakcyjne grupy wykazał Frobenius.

Sylow był bliskim współpracownikiem Sophusa Liego, z którym wydawali i kontynuowali prace N.H. Abela.

Uwagi

↑ Przykładowo rozróżnienie /h/ i /x/ jest w polskim dość historyczne i regionalne, ale jest tu uwzględnione jako opcja. Poza tym samogłoski nosowe /õ ẽ ã/ są potraktowane jako samodzielne fonemy, a polskie „ż” jest zapisywane jak angielskie: /ʒ/.
↑ przykładowo zastępowanie angielskiego /ɪ/ polskim /ɨ/ nie jest powszechne, por. Hamilton – ang. /'hæmɪltən/, po polsku /'hamilton/.

Skocz do biogramu (lista chronologiczna):

Euklides z Aleksandrii • Sūnzĭ vel Sun Tzu • Aryabhata • Leonardo z Pizy vel Fibonacci • Qín Jiǔsháo • Claude Gaspar Bachet de Méziriac • Pierre Fermat • Leonhard Euler • Joseph Louis Lagrange • Paolo Ruffini • Carl Friedrich Gauss • Augustin Louis Cauchy • Niels Henrik Abel • William Rowan Hamilton • Évariste Galois • George Boole • Arthur Cayley • Leopold Kronecker • Richard Dedekind • Peter Sylow • Camille Jordan • Sophus Lie • Felix Klein • Georg Frobenius • Giovanni Frattini • William Burnside • Otto Hölder

« Słowniczek rzeczowy

Spis treści

Spis symboli »

[1] Przykładowo rozróżnienie /h/ i /x/ jest w polskim dość historyczne i regionalne, ale jest tu uwzględnione jako opcja. Poza tym samogłoski nosowe /õ ẽ ã/ są potraktowane jako samodzielne fonemy, a polskie „ż” jest zapisywane jak angielskie: /ʒ/.

[2] rzykładowo zastępowanie angielskiego /ɪ/ polskim /ɨ/ nie jest powszechne, por. Hamilton – ang. /'hæmɪltən/, po polsku /'hamilton/.

[uwaga 1]

[uwaga 2]