Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg arytmetyczny[edytuj]

Definicja[edytuj]

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu o 10. W już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ i , zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że to pewien wyraz, to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

(1)

Wzór ogólny[edytuj]

Powróćmy do ciągu . Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz , a różnica ciągu wynosi . Ponieważ , więc , podobnie , itd. Więc zrobimy tak:

...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postać 3 + ileś · 10, a to ileś dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór .

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu , gdzie wiemy ile wynosi i znamy różnicę ciągu . Czyli:

jest dane
...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

(2)

Wiemy, że oraz . Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy: Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy:

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego zachodzi:

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

  • ciąg jest rosnący, gdy różnica ,
  • ciąg jest stały, gdy różnica ,
  • ciąg jest malejący, gdy różnica .

Łatwo jest to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:

Definicja
DEFINICJA

jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy:

Załóżmy więc, że oraz: , zbadajmy różnicę :

Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c-b jest dodatnia(b<c). Zatem , co oznacza, że ciąg jest rosnący.