Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny

Definicja

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

• $(a_{n})=(1,2,3,4,5,6,\dots )$$(a_{n})=(1,2,3,4,5,6,\dots )$
• $(b_{n})=(2,4,6,8,10,\dots )$$(b_{n})=(2,4,6,8,10,\dots )$
• $(c_{n})=(3,13,23,33,43,\dots )$$(c_{n})=(3,13,23,33,43,\dots )$
• $(d_{n})=(15,10,5,0,-5,-10,-15,\dots )$$(d_{n})=(15,10,5,0,-5,-10,-15,\dots )$

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu $(c_{n})$$(c_{n})$ o 10. W $(a_{n})$$(a_{n})$ już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

DEFINICJA Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy $(a_{n})=(1,3,5,7,10,12,...)$$(a_{n})=(1,3,5,7,10,12,...)$ będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ $a_{2}-a_{1}=3-1=2$$a_{2}-a_{1}=3-1=2$ i $a_{5}-a_{4}=10-7=3$$a_{5}-a_{4}=10-7=3$, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że $a_{n+1}$$a_{n+1}$ to pewien wyraz, $a_{n}$$a_{n}$ to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica $a_{n+1}-a_{n}$$a_{n+1}-a_{n}$ będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

$r=a_{n+1}-a_{n}$$r=a_{n+1}-a_{n}$

(1)

Wzór ogólny

Powróćmy do ciągu $(c_{n})=(3,13,23,33,43,\dots )$$(c_{n})=(3,13,23,33,43,\dots )$. Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz $c_{1}=3$$c_{1}=3$, a różnica ciągu wynosi $r=23-13=10$$r=23-13=10$. Ponieważ $r=c_{2}-c_{1}=10$$r=c_{2}-c_{1}=10$, więc $c_{2}=c_{1}+10$$c_{2}=c_{1}+10$, podobnie $c_{3}-c_{2}=10\implies c_{3}=c_{2}+10$$c_{3}-c_{2}=10\implies c_{3}=c_{2}+10$, $c_{4}-c_{3}=10\implies c_{4}=c_{3}+10$$c_{4}-c_{3}=10\implies c_{4}=c_{3}+10$ itd. Więc zrobimy tak:

$c_{1}=3$$c_{1}=3$

$c_{2}=c_{1}+10=3+10$$c_{2}=c_{1}+10=3+10$

$c_{3}=c_{2}+10=(3+10)+10=3+2\cdot 10$$c_{3}=c_{2}+10=(3+10)+10=3+2\cdot 10$

$c_{4}=c_{3}+10=(3+2\cdot 10)+10=3+3\cdot 10$$c_{4}=c_{3}+10=(3+2\cdot 10)+10=3+3\cdot 10$

$c_{5}=c_{4}+10=(3+3\cdot 10)+10=3+4\cdot 10$$c_{5}=c_{4}+10=(3+3\cdot 10)+10=3+4\cdot 10$

$c_{6}=c_{5}+10=(3+4\cdot 10)+10=3+5\cdot 10$$c_{6}=c_{5}+10=(3+4\cdot 10)+10=3+5\cdot 10$

...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postaci 3 + ileś · 10, a to "ileś" dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór $c_{n}=3+(n-1)\cdot 10$$c_{n}=3+(n-1)\cdot 10$.

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu $(a_{n})$$(a_{n})$, gdzie wiemy ile wynosi $a_{1}$$a_{1}$ i znamy różnicę ciągu $r$$r$. Czyli:

$a_{1}$$a_{1}$ jest dane

$a_{2}=a_{1}+r$$a_{2}=a_{1}+r$

$a_{3}=a_{2}+r=(a_{1}+r)+r=a_{1}+2r$$a_{3}=a_{2}+r=(a_{1}+r)+r=a_{1}+2r$

$a_{4}=a_{3}+r=(a_{1}+2r)+r=a_{1}+3r$$a_{4}=a_{3}+r=(a_{1}+2r)+r=a_{1}+3r$

...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$

(2)

Wiemy, że $a_{n-1}=a_{1}+(n-2)r$$a_{n-1}=a_{1}+(n-2)r$ oraz $a_{n+1}=a_{1}+nr$$a_{n+1}=a_{1}+nr$. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy: $a_{1}+nr+a_{1}+(n-2)r=2a_{1}+nr+nr-2r=2a_{1}+2nr-2r$$a_{1}+nr+a_{1}+(n-2)r=2a_{1}+nr+nr-2r=2a_{1}+2nr-2r$ Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy: $2(a_{1}+nr-r)=2(a_{1}+r[n-1])=2a_{n}$$2(a_{1}+nr-r)=2(a_{1}+r[n-1])=2a_{n}$

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$$(a_{n})$ zachodzi:

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}\quad {\mbox{dla}}\quad n\in \mathbb {N} _{+}\setminus \{1\}$$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}\quad {\mbox{dla}}\quad n\in \mathbb {N} _{+}\setminus \{1\}$

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

• ciąg jest rosnący, gdy różnica $r>0$$r>0$,
• ciąg jest stały, gdy różnica $r=0$$r=0$,
• ciąg jest malejący, gdy różnica $r<0$$r<0$.

Łatwo to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla $r>0$$r>0$ ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:

DEFINICJA $({a_{n}})$$({a_{n}})$ jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy: $\forall _{{b,c}\in N}b<c\iff a_{b}<a_{c}$$\forall _{{b,c}\in N}b<c\iff a_{b}<a_{c}$

Załóżmy więc, że $\,r>0$$\,r>0$ oraz: $\,b<c$$\,b<c$, zbadajmy różnicę $\,a_{c}-a_{b}$$\,a_{c}-a_{b}$: $\,a_{c}-a_{b}=\;a_{1}+(c-1)r-(a_{1}+(b-1)r)\;=a_{1}+cr-r-a_{1}-br+r=cr-br=r(c-b)$$\,a_{c}-a_{b}=\;a_{1}+(c-1)r-(a_{1}+(b-1)r)\;=a_{1}+cr-r-a_{1}-br+r=cr-br=r(c-b)$

Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c–b jest dodatnia (b<c). Zatem $a_{c}-a_{b}>0\,$$a_{c}-a_{b}>0\,$, co oznacza, że ciąg jest rosnący.