Ciąg arytmetyczny[edytuj]
ciąg arytmetyczny, definicja ciągu arytmetycznego
Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:




Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu
o 10. W
już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.
|
DEFINICJA
Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.
|
Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.
Czy
będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ
i
, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.
różnica ciągu
Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że
to pewien wyraz,
to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica
będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

(różnica ciągu)
Wzór ogólny[edytuj]
wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Powróćmy do ciągu
. Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz
, a różnica ciągu wynosi
. Ponieważ
, więc
, podobnie
,
itd. Więc zrobimy tak:






- ...
Widzimy to? Każdy wyraz jest postaci 3 + ileś · 10, a to "ileś" dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór
.
Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu
, gdzie wiemy ile wynosi
i znamy różnicę ciągu
. Czyli:
jest dane



- ...
Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

(wzór ogólny ciągu arytmetycznego)
Wiemy, że
oraz
. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy:
Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy:
Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego
zachodzi:

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.
O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:
- ciąg jest rosnący, gdy różnica
,
- ciąg jest stały, gdy różnica
,
- ciąg jest malejący, gdy różnica
.
Łatwo to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla
ciąg jest rosnący.
Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:
|
DEFINICJA
jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy:
|
Załóżmy więc, że
oraz:
, zbadajmy różnicę
:
Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c–b jest dodatnia (b<c). Zatem
, co oznacza, że ciąg jest rosnący.