ciąg arytmetyczny, definicja ciągu arytmetycznego
Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:
![{\displaystyle (a_{n})=(1,2,3,4,5,6,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/174a2d87f59a893b348966bd29faac153ac646ff)
![{\displaystyle (b_{n})=(2,4,6,8,10,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ed1e37332e8ab258c2235f48973177372aa0d9)
![{\displaystyle (c_{n})=(3,13,23,33,43,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d735f5b20c733bde64ec2dc0f63ce702db0bf1b)
![{\displaystyle (d_{n})=(15,10,5,0,-5,-10,-15,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbf969315e5136daa820dd0f9059ee353ec3c64)
Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu
o 10. W
już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.
|
DEFINICJA
Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.
|
Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.
Czy
będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ
i
, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.
różnica ciągu
Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że
to pewien wyraz,
to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica
będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:
![{\displaystyle r=a_{n+1}-a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd1afdd99808930d3caa8d9bdd5f5cddfcc15ee)
(różnica ciągu)
wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Powróćmy do ciągu
. Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz
, a różnica ciągu wynosi
. Ponieważ
, więc
, podobnie
,
itd. Więc zrobimy tak:
![{\displaystyle c_{1}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2277e1fa744fa635a6c22df618a6f0a32ea5f9a1)
![{\displaystyle c_{2}=c_{1}+10=3+10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b55b38bae4a6c3545dae561903cdb0c7fffd70)
![{\displaystyle c_{3}=c_{2}+10=(3+10)+10=3+2\cdot 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9979131fb22af626ea48005dbc37f72e3d1ad6)
![{\displaystyle c_{4}=c_{3}+10=(3+2\cdot 10)+10=3+3\cdot 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce45d105e5baae6aece9c4578679a7e6373ee46d)
![{\displaystyle c_{5}=c_{4}+10=(3+3\cdot 10)+10=3+4\cdot 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0cd573e7155acfdf75ff5bb244b6465f47684f3)
![{\displaystyle c_{6}=c_{5}+10=(3+4\cdot 10)+10=3+5\cdot 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa18bd5552a032039e520e34c71cfece8de8c154)
- ...
Widzimy to? Każdy wyraz jest postaci 3 + ileś · 10, a to "ileś" dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór
.
Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu
, gdzie wiemy ile wynosi
i znamy różnicę ciągu
. Czyli:
jest dane
![{\displaystyle a_{2}=a_{1}+r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866f26b194b097bec6164ca996657e2341fc70f1)
![{\displaystyle a_{3}=a_{2}+r=(a_{1}+r)+r=a_{1}+2r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3818ba64676eb938230519a34f2ee433365edd80)
![{\displaystyle a_{4}=a_{3}+r=(a_{1}+2r)+r=a_{1}+3r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bde1603ddca8097e1b7b2357221f469966e263f1)
- ...
Prawie to samo... Czyli widzimy, że:
![{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0756d831895940fa6a533e4d3b56ae14ea3f4092)
(wzór ogólny ciągu arytmetycznego)
Wiemy, że
oraz
. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy:
Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy:
Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego
zachodzi:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}\quad {\mbox{dla}}\quad n\in \mathbb {N} _{+}\setminus \{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ec80be9e91c23a7bff4648692b2f213d613acf)
Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.
O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:
- ciąg jest rosnący, gdy różnica
,
- ciąg jest stały, gdy różnica
,
- ciąg jest malejący, gdy różnica
.
Łatwo to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla
ciąg jest rosnący.
Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:
|
DEFINICJA
jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy:
|
Załóżmy więc, że
oraz:
, zbadajmy różnicę
:
Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c–b jest dodatnia (b<c). Zatem
, co oznacza, że ciąg jest rosnący.