Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Definicja

ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy stały jest iloraz. Zobaczmy to na kilku przykładach:

• $(a_{n})=(1,2,4,8,16,\dots )$
• $(b_{n})=(2,6,18,54,162,\dots )$
• $(c_{n})=(100,20,4,{\frac {4}{5}},{\frac {4}{25}},\dots )$
• $(d_{n})=(10,100,1000,10000,100000,\dots )$

Popatrzmy na ciąg $(a_{n})$. Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście ${\frac {2}{1}}={\frac {4}{2}}={\frac {8}{4}}={\frac {16}{8}}=\dots =2$. Podobnie w ciągu $(b_{n})$ mamy ${\frac {6}{2}}={\frac {18}{6}}={\frac {54}{18}}=\dots =3$. Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym ${a_{n+1} \over a_{n}}$ jest stałe.

definicja ciągu geometrycznego

Definicja

DEFINICJA Ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

iloraz ciągu

Iloraz ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

$q={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$

(iloraz ciągu)

Jak stąd wynika, musi być $q\neq 0$ w przeciwnym wypadku $a_{2}=a_{3}=0$ i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

$a_{n+1}=a_{n}\cdot q$...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny

wzór ogólny ciągu geometrycznego

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element $a_{1}$, a także iloraz q i wiemy, że zachodzi $a_{n+1}=a_{n}\cdot q$. Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

• $a_{1}$
• $a_{2}=a_{1}\cdot q$
• $a_{3}=a_{2}\cdot q=(a_{1}\cdot q)\cdot q=a_{1}\cdot q^{2}$
• $a_{4}=a_{3}\cdot q=(a_{1}\cdot q^{2})\cdot q=a_{1}\cdot q^{3}$
• $a_{5}=a_{4}\cdot q=(a_{1}\cdot q^{3})\cdot q=a_{1}\cdot q^{4}$
• ...

Widzimy, że $a_{n}$ jest postaci $a_{1}\cdot q^{pewna\ liczba}$, a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ także zachodzi:

$a_{n}^{2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$

Twierdzenie

TWIERDZENIE Niech (an) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli: 1) $a_{1}>0\land q>1$, to (an) jest ciągiem rosnącym; 2) $a_{1}>0\land q\in (0,1)$, to (an) jest ciągiem malejącym; 3) $a_{1}<0\land q>1$, to (an) jest ciągiem malejącym; 4) $a_{1}<0\land q\in (0,1)$, to (an) jest ciągiem rosnącym; 5) $q<0$, to (an) nie jest ciągiem monotonicznym.