ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy stały jest iloraz. Zobaczmy to na kilku przykładach:
![{\displaystyle (a_{n})=(1,2,4,8,16,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcef77d34c6b3bd86c431f9c989e809c9c3f8792)
![{\displaystyle (b_{n})=(2,6,18,54,162,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aeeb3466fac5ce172af46820c8cf882bd221834)
![{\displaystyle (c_{n})=(100,20,4,{\frac {4}{5}},{\frac {4}{25}},\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055c352773f5f60bd21e91f0e20818f0fcd87376)
![{\displaystyle (d_{n})=(10,100,1000,10000,100000,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934e8e2dd7154d03449a04775861a1e611556072)
Popatrzmy na ciąg
. Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście
. Podobnie w ciągu
mamy
. Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym
jest stałe.
definicja ciągu geometrycznego
|
DEFINICJA
Ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.
|
iloraz ciągu
Iloraz
nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:
![{\displaystyle q={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bcfc02c9c011429c9512a61bbb7f0b3cf98370)
(iloraz ciągu)
Jak stąd wynika, musi być
w przeciwnym wypadku
i powyższy wzór nie daje się zastosować.
Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:
...
Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.
wzór ogólny ciągu geometrycznego
Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element
, a także iloraz q i wiemy, że zachodzi
. Wypiszmy wyrazy tego ciągu:
![{\displaystyle a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07)
![{\displaystyle a_{2}=a_{1}\cdot q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f76bd69e882807cc6c2f49e87d293d5f609d346)
![{\displaystyle a_{3}=a_{2}\cdot q=(a_{1}\cdot q)\cdot q=a_{1}\cdot q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435712783aede0081f541429a78284a1111781bd)
![{\displaystyle a_{4}=a_{3}\cdot q=(a_{1}\cdot q^{2})\cdot q=a_{1}\cdot q^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ffe078afdbdc35ffc34ba52fb644e5deee8733)
![{\displaystyle a_{5}=a_{4}\cdot q=(a_{1}\cdot q^{3})\cdot q=a_{1}\cdot q^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44065fecbb9d544ad90ae8cae6688a1c51d3d4d)
- ...
Widzimy, że
jest postaci
, a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:
![{\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d661c6435667c7a4e56549f178a4cdf91f270dd4)
(wzór ogólny ciągu geometrycznego)
W ciągu geometrycznym
także zachodzi:
![{\displaystyle a_{n}^{2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536995daf417a8dc1b8c8e709b41afadbb073260)