Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Definicja

ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy stały jest iloraz. Zobaczmy to na kilku przykładach:

$(a_{n}) = (1, 2, 4, 8, 16, \dots)$
$(b_{n}) = (2, 6, 18, 54, 162, \dots)$
$(c_{n}) = (100, 20, 4, \frac{4}{5}, \frac{4}{25}, \dots)$
$(d_{n}) = (10, 100, 1000, 10000, 100000, \dots)$

Popatrzmy na ciąg $(a_{n})$ . Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \frac{16}{8} = \dots = 2$ . Podobnie w ciągu $(b_{n})$ mamy $\frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = \dots = 3$ . Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ jest stałe.

definicja ciągu geometrycznego

DEFINICJA

Ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

iloraz ciągu

Iloraz $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

q = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

(iloraz ciągu)

Jak stąd wynika, musi być $q \neq 0$ w przeciwnym wypadku $a_{2} = a_{3} = 0$ i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

a_{n + 1} = a_{n} \cdot q

...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny

wzór ogólny ciągu geometrycznego

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element $a_{1}$ , a także iloraz q i wiemy, że zachodzi $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$ . Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

$a_{1}$
$a_{2} = a_{1} \cdot q$
$a_{3} = a_{2} \cdot q = (a_{1} \cdot q) \cdot q = a_{1} \cdot q^{2}$
$a_{4} = a_{3} \cdot q = (a_{1} \cdot q^{2}) \cdot q = a_{1} \cdot q^{3}$
$a_{5} = a_{4} \cdot q = (a_{1} \cdot q^{3}) \cdot q = a_{1} \cdot q^{4}$
...

Widzimy, że $a_{n}$ jest postaci $a_{1} \cdot q^{p e w n a l i c z b a}$ , a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ także zachodzi:

a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}

TWIERDZENIE

Niech (a_n) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli:
1) $a_{1} > 0 \land q > 1$ , to (a_n) jest ciągiem rosnącym;
2) $a_{1} > 0 \land q \in (0, 1)$ , to (a_n) jest ciągiem malejącym;
3) $a_{1} < 0 \land q > 1$ , to (a_n) jest ciągiem malejącym;
4) $a_{1} < 0 \land q \in (0, 1)$ , to (a_n) jest ciągiem rosnącym;
5) $q < 0$ , to (a_n) nie jest ciągiem monotonicznym.

« Ciąg arytmetyczny

Spis treści

Suma częściowa ciągu »