Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg geometryczny[edytuj]

Definicja[edytuj]

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy iloraz jest stały. Zobaczmy to na kilku przykładach:

Popatrzmy na ciąg . Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście . Podobnie w ciągu mamy . Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym jest stałe.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

Iloraz nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

(iloraz ciągu)

Jak stąd wynika, musi być w przeciwnym wypadku i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny[edytuj]

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element , a także iloraz q i wiemy, że zachodzi . Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

  • ...

Widzimy, że jest postaci , a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym także zachodzi:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Niech (an) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli:
1) , to (an) jest ciągiem rosnącym;
2) , to (an) jest ciągiem malejącym;
3) , to (an) jest ciągiem malejącym;
4) , to (an) jest ciągiem rosnącym;
5) , to (an) nie jest ciągiem monotonicznym.