Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania kwadratowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania


Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy    o współczynnikach rzeczywistych, .

1. Jeżeli , to trójmian ten ma 2 miejsca zerowe, które oblicza się ze wzorów:

2. Jeżeli , to trójmian ma jedno miejsce zerowe, poprzednie wzory sprowadzają się do:

3. Jeżeli , to trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód (informacje dodatkowe)

Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:

Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę nieujemną). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni (). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:

1. Gdy , to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).
2. Gdy , wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:
    / Pierwiastkujemy obustronnie
Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to druga współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (ponieważ by parabola miała jedno miejsce wspólne z osią OX to wierzchołek musi leżeć na tejże osi OX).
3. Gdy , otrzymujemy:
   / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z  
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:
Przypadek 1: dla - opuszczamy moduł bez zmiany znaku.
Przypadek 2: dla - opuszczamy moduł ze zmianą znaku:
więc, dla rozwiązaniami są     oraz   .

Równania kwadratowe - w skrócie[edytuj]

Wzory na miejsca zerowe
  • dla    2 miejsca zerowe:  ,
  • dla     1 miejsce zerowe:   ,
  • dla     miejsca zerowe nie istnieją.
Metoda wyłączania wspólnego czynnika
  • równanie postaci np.  
  • przekształcamy do   , po czym rozwiązujemy:   x=0   oraz   (x+1) = 0.
Wzory skróconego mnożenia
  • np.  
  • np.  
Równanie dwukwadratowe
  • równanie postaci    rozwiązujemy metodą podstawiania,
  • przy założeniu     rozwiązujemy  ,
  • uzyskane pierwiastki  ,  które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Przykłady - równania kwadratowe[edytuj]

Rozwiąż równania:

  • Przykład 1.
  • Przykład 2.
  • Przykład 3.
  • Przykład 4.
  • Przykład 5.
  • Przykład 6.
  • Przykład 7. (równanie dwukwadratowe)
  • Przykład 8.
  • Przykład 9. (równanie z modułem)

  • Przykład 1

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą:  .

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

Równanie ma więc dwa rozwiązania:   i  .


  • Przykład 2

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie  .  Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian    na postać iloczynową:

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są:  2 oraz -2.


  • Przykład 3

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

Przyrównujemy w myślach     i   ...

Otrzymujemy:

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).


  • Przykład 4

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

Rozwiązaniami tego równania są liczby   


  • Przykład 5

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

Powyższe równanie zachodzi gdy:
  lub  

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.

Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.


  • Przykład 6

Policzmy deltę:

Wystarczy zauważyć, że    - równanie nie ma więc rozwiązań.


  • Przykład 7

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki     oraz   .

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ Zauważmy, że samo równanie     jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy  

Równanie ma dwa rozwiązania: i (patrz na przykład nr 2).

Po obliczeniu pierwiastków i dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia można dodać warunek . Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.


  • Przykład 8 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób. Mianowicie -

Gdybyśmy chcieli to równanie "zwinąć" zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia (nie patrząc na wyraz wolny), to widać, że wyszłoby wyrażenie: Co teraz zrobić, aby równość zaszła? Wystarczy, że odejmiemy ", czyli w tym przypadku 9,do tego odejmujemy jeszcze nasze "prawdziwe" 7.

Teraz po kolei liczymy:

    / Pierwiastkujemy obustronnie

Korzystamy z własności:   ,  po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)


  • Przykład 9 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy i drugi, gdy .

1 przypadek dla

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:
Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie. Ważne: na końcu porównujemy rozwiązania z założeniem .

Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia , więc nie jest rozwiązaniem.

2 przypadek: dla

Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku w części pod modułem.
Teraz nie spełnia naszego założenia , odrzucamy go więc.

Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania:    i  .