wzory Viete'a
Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.
Dowód
Wzory Viete'a są nieodłączną częścią równań i nierówności z parametrem. Tutaj jednak skupimy się na ich innym zastosowaniu.
- Przykład 1. Nie rozwiązując równania, znajdź miejsca zerowe funkcji
![{\displaystyle y=x^{2}+5x+6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aca1e2c53003fc3beea156eb75cddf4ec9523e4)
Wzory Viete'a stanowią pewne ułatwienie w wyszukiwaniu pierwiastków. Podstawmy wartości a,b,c do wzorów:
Teraz zadajemy sobie pytanie: "Sumą jakich liczb jest liczba -5, a iloczynem liczba 6?". Odpowiedź nasuwa nam się sama - liczb -2 i -3.
Rozwiązaniami są więc
i
Oczywiście trudniej nam odgadnąć takie rozwiązanie w pamięci. Warto także wspomnieć, że taka metoda odgadywania rozwiązań jest możliwa tylko w wypadku całkowitych pierwiastków o małej wartości. Niemniej skraca nam to czas ich szukania.
- Przykład 2. Przekształć podane wyrażenia tak, aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a oraz zastosuj je, aby uzyskać:
a)Kwadrat sumy pierwiastków
b)Sumę kwadratów pierwiastków
c)Sumę odwrotności kwadratów pierwiastków
d)Kwadrat różnicy pierwiastków
e)Sumę sześcianów pierwiastków
- a) Kwadrat sumy pierwiastków wygląda następująco:
Podane wyrażenie nie wymaga żadnych przekształceń aby zastosować wzory Viete'a. Po podstawieniu ich wygląda następująco:
- b) Suma kwadratów pierwiastków wygląda następująco:
W takiej postaci nie da się skorzystać ze wzorów Viete'a (musi być bowiem suma albo iloczyn pierwiastków). Musimy podane wyrażenie więc przekształcić. Spróbujmy zrobić coś takiego:
Jednak po podniesieniu takiego wyrażenia do kwadratu otrzymamy
co nie jest równoważne z pierwotną postacią. Pojawia nam się nowy element
. Więc żeby otrzymać wyrażenie równoważne musimy go odjąć. Otrzymamy w ten sposób:
Po podniesieniu do kwadratu i odjęciu podanej wartości otrzymamy wyrażenie równoważne pierwotnemu. Co więcej - możemy już korzystać ze wzorów Viete'a! Zapiszmy je więc:
- c) Suma odwrotności kwadratów pierwiastków wygląda tak:
![{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{x_{2}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb955125e21d7f3507f458a741b81bb0aa0a2270)
Nie można dodać takich wyrażeń ponieważ jest różny mianownik. Spróbujmy więc sprowadzić do wspólnego (wymnóżmy licznik i mianownik w pierwszym wyrażeniu przez
)
Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem, jednak wymnóżmy przez
:
Dodajmy teraz powstałe wyrażenia:
Możemy już korzystać ze wzorów Viete'a. Podstawmy wartości:
- d) Kwadrat różnicy:
![{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6397679eab2c158e969626d198b1a02080cbc02)
Podstawiamy wartości ze wzorów Viete'a:
- e) Suma sześcianów:
![{\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff8f835a37d28ffc2e55831165121746e3610ed)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:
Podstawiamy wzory Viete'a i otrzymujemy: