Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Zadania z rozwiązaniami
Miejsca zerowe
[edytuj]- Wyznaczanie miejsc zerowych.
- (R) Wyznaczanie wartości parametru, aby funkcja miała określoną ilość miejsc zerowych.
- (R) Wyznaczanie wartości parametru, aby funkcja miała pierwiastki spełniające dane warunki.
- Zad. (miejsca zerowe, delta)
- Znajdź miejsca zerowe funkcji
Dane: a=2, b=3, c=-2
Znalezienie miejsc zerowych jest tym samym, co rozwiązanie równania , czyli .
Obliczamy wartość , po czym obliczamy wartości pierwiastków x1 i x2. W tym przypadku , a pierwiastkami są liczby .
- Zad. (parametr, liczba miejsc zerowych)
- Wyznacz wartości współczynnika b, dla których funkcja posiada conajmniej jedno miejsce zerowe.
Określmy warunek z zadania: dla delty mniejszej niż 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych, dla pozostałych wartości posiada jedno lub dwa miejsca. Musi zachodzić więc .
Po podstawieniu, otrzymujemy nierówność .
Po narysowaniu uproszczonego wykresu, uzyskujemy rozwiązanie , to które spełnia warunek zadania.
Postać kanoniczna i wykresy funkcji
[edytuj]- Rysowanie wykresu.
x2+5x-6=0
Właściwości funkcji
[edytuj]- Zbiór wartości - wykres.
- Przedziały monotoniczności - wykres.
- Wyznaczanie wzoru funkcji z wykresu.
- Punkt przecięcia z osią OY.
- Określ zbiór wartości dla funkcji w danym przedziale.
- Znajdź minimum i maksimum funkcji w danym przedziale.
- (R) Szkicowanie wykresu funkcji.
Wierzchołek paraboli
[edytuj]- Wierzchołek paraboli.
- Najmniejsza (największa) wartość funkcji (R - z parametrem).
- Zadania optymalizacyjne.
- (R) Parametr.
Równania
[edytuj]- Znajdowanie rozwiązań równania.
- (R) Określanie liczby rozwiązań równania w zależności od wartości parametru.
- (R) Określanie liczby rozwiązań równania z wartością bezwzględną.
- (R) Układ równań.
- (R) Wyznaczanie wartości parametru, dla którego zbiorem rozwiązań jest R / dziedziną funkcji jest R
- Zad. (R)(liczba rozwiązań, wart. bezwzględna)
- Określ liczbę rozwiązań równania w zależności od wartości parametru m.
Zadanie należy rozwiązać graficznie, dlatego też zaczniemy od rysowania funkcji f(x)=|x2-2x-1|, znajdujemy miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli (p, q). Miejscami zerowymi są , natomiast wierzchołkiem paraboli jest W(1, -2). Rysujemy wykres, odbijając wartości ujemne na dodatnią oś Y (wierzchołek będzie w punkcie (1, 2) po odbiciu).
Aby odczytać, ile funkcja ma w danym przedziale rozwiązań, możemy poprowadzić w dowolnym miejscu prostą równoległą do osi Ox, będzie to y=m. W danym miejscu ma tyle rozwiązań, ile razy się przecina z wykresem (np. prosta pokrywająca się z osią Ox, y=0 (dla m=0) ma 2 rozwiązania).
Otrzymujemy: dla m<0 jest 0 rozwiązań, dla są 2 rozwiązania, dla m=2 są 3 rozwiązania, dla są 4 rozwiązania.
- Zad. (R)(parametr dla dziedziny R)
- Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, .
Na dziedzinę wpływają następujące rzeczy: mianownik ułamka musi być różny od zera, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne. Razem daje to warunek:
Znajdujemy wartości m, dla których zachodzi powyższa nierówność - jak w zwykłej nierówności kwadratowej z parametrem.
Nierówności
[edytuj]F(x)=pierwiastek x^2+(k+2)x+2x+1
Wzory Viete'a
[edytuj]- (R) Obliczanie wyrażeń zawierających pierwiastki równania.
- Zad. (R)(przekształcenia wzorów Vietea)
- Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji , gdzie x1 i x2 są dwoma miejscami zerowymi funkcji .
Próbujemy przekształcić postać funkcji g(m), aby zawierała w sobie bezpośrednio wzory Viete'a:
Określamy dziedzinę funkcji g, biorąc pod uwagę mianownik m2+3m-4 = (m-1)(m+4) (branie tylko m+4 ze skróconej wersji byłoby błędem),