Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja potęgowa i jej własności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja potęgowa[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem .

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Dziedzina funkcji potęgowej:

  1. Jeśli , to
  2. Jeśli , to
  3. Jeśli :
    • dla , to
    • dla , to
Informacja Bardziej formalne oznaczenie zbioru C (liczb całkowitych) to , natomiast W (liczb wymiernych) to

Wykres[edytuj]

O wykładniku równym zero[edytuj]

Funpot-wykr0.png

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że . Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia jest nieokreślona.

O wykładniku dodatnim parzystym[edytuj]

Funpot-wykr1.png

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

  1. Miejsce zerowe funkcji:
  2. Wartości dodatnie:
  3. Wartości ujemne: , funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
  4. Ekstrema:
    Minimum: dla
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  5. Monotoniczność:
    Rośnie dla
    Maleje dla
  6. Funkcja nie jest różnowartościowa
  7. Funkcja jest parzysta
  8. Funkcja nie jest nieparzysta


O wykładniku dodatnim nieparzystym[edytuj]

Funpot-wykr2.png

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

  1. Miejsce zerowe funkcji:
  2. Wartości dodatnie:
  3. Wartości ujemne:
  4. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  5. Monotoniczność:
    Rośnie dla
  6. Funkcja jest różnowartościowa
  7. Funkcja nie jest parzysta
  8. Funkcja jest nieparzysta

O wykładniku ujemnym parzystym[edytuj]

Funpot-wykr3.png

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

Własności:

  1. Miejsce zerowe funkcji: brak
  2. Wartości dodatnie:
  3. Wartości ujemne:
  4. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  5. Monotoniczność:
    Rośnie dla
    Maleje dla
  6. Funkcja nie jest różnowartościowa
  7. Funkcja jest parzysta
  8. Funkcja nie jest nieparzysta
  9. Asymptoty: i

O wykładniku ujemnym nieparzystym[edytuj]

Funpot-wykr4.png

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

Własności:

  1. Miejsce zerowe funkcji: brak
  2. Wartości dodatnie:
  3. Wartości ujemne:
  4. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  5. Monotoniczność:
    Maleje w przedziale i przedziale
  6. Funkcja jest różnowartościowa
  7. Funkcja nie jest parzysta
  8. Funkcja jest nieparzysta
  9. Asymptoty: i