Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych

Rozwiązywanie równań potęgowych

rozwiązywanie równań potęgowych

Przykładami równań potęgowych może być:

$x^{\frac {2}{3}}=9$,

$7x^{4}=2{\sqrt {7}}$,

$x+x^{\frac {1}{2}}=12$.

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie $x^{\frac {3}{2}}={\sqrt {3}}$ i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $x^{\frac {3}{2}}={\sqrt {3}},D=\mathbb {R} _{+}\cup \{0\}$

2. Przekształcamy pierwiastek na potęgę:

   $x^{\frac {3}{2}}=3^{\frac {1}{2}}$

3. Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi ${\frac {2}{3}}$:

   $\left(x^{\frac {3}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}=\left(3^{\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}$

4. Czyli:

   $x=3^{\frac {1}{3}}$

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie $x^{\frac {2}{5}}+3x^{\frac {1}{5}}=28$:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $x^{\frac {2}{5}}+3x^{\frac {1}{5}}=28,~D=\mathbb {R} _{+}\cup \{0\}$

2. Podstawmy: $x^{\frac {1}{5}}=t,~t\geq 0$ i otrzymujemy równanie kwadratowe:

   $t^{2}+3t-28=0$

3. Czyli:

   $t_{1}=-7,~\notin D$

   $t_{2}=4,~\in D$

4. Otrzymujemy:

   $x^{\frac {1}{5}}=t_{2}=4$

   $x=4^{5}=1024$

Spójrzmy na jeszcze inny przykład: ${\sqrt {4x+5}}-{\sqrt {2x-6}}=3$.

1. Ustalamy dziedzinę:

   $4x+5\geq 0\land 2x-6\geq 0\iff x\geq -{\frac {5}{4}}\land x\geq {\frac {6}{2}}\iff x\geq 3$

   Czyli: $D=\left[3;+\infty \right)$

2. Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:

   ${\begin{aligned}({\sqrt {4x+5}}-{\sqrt {2x-6}})^{2}&=9\\4x+5-2{\sqrt {(4x+5)(2x-6)}}+2x-6&=9\\-2{\sqrt {8x^{2}-14x-30}}&=-6x+10\quad {\Big /}:(-2)\\{\sqrt {8x^{2}-14x-30}}&=3x-5\end{aligned}}$

3. Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:

   $x\in \left[3;+\infty \right)\land 8x^{2}-14x-30\geq 0\land 3x-5\geq 0$

   $\iff x\in \left[3;+\infty \right)\land x\in \left(-\infty ;-{\frac {4}{5}}\right]\cup \left[{\frac {1}{3}};+\infty ;\right)\land x\geq {\frac {5}{3}}$

   $\iff x\in \left[3;+\infty \right)$

4. I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:

   $8x^{2}-14x-30=(3x-5)^{2}$

   $8x^{2}-14x-30=9x^{2}-30x+25$

   $-x^{2}+16x-55=0$

5. Czyli:

   $x_{1}=5,~\in \left[3;+\infty \right)$

   $x_{1}=11,~\in \left[3;+\infty \right)$

6. Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.

Rozwiązywanie nierówności potęgowych

Przykładem nierówności potęgowej może być:

$x^{2}>x^{-3}$

$x^{\frac {1}{2}}-3x^{\frac {1}{4}}+1>0$

$3x^{\frac {1}{6}}>x^{\frac {1}{4}}$

Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:

1. Ustalamy dziedzinę.
2. Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę.
3. Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
   1. ${\frac {a}{b}}>0\iff ab>0$
   2. ${\frac {a}{b}}<0\iff ab<0$
4. Udzielamy odpowiedzi.

Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez $x^{k}$, gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ $x^{k}$ zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność $x^{-4}>x^{-3}$.

Możemy to zrobić w standardowy sposób:

1. Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:

   $x^{-4}>x^{-3},~D=\mathbb {R} \backslash \{0\}$

   ${\frac {1}{x^{4}}}>{\frac {1}{x^{3}}}$

2. Przenosimy wszystko na lewą stronę:

   ${\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {1}{x^{3}}}>0$

3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

   ${\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {x}{x^{4}}}>0$

   ${\frac {1-x}{x^{4}}}>0\iff x^{4}(1-x)>0$

   $-x^{4}(x-1)>0$

4. Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:

   $x_{1}=0$ o krotności 4

   $x_{2}=1$ o krotności 1

   

5. Rozwiązaniem nierówności jest $x\in (-\infty ;0)\cup (0;1)$

Nierówność $x^{-4}>x^{-3}$ możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny $D=\mathbb {R} \backslash \{0\}$) wymnażając obie strony przez $x^{4}$, ponieważ $x^{4}>0$ dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:

${\frac {1}{x^{4}}}>{\frac {1}{x^{3}}}$ $/\cdot x^{4}$

$1>x$

Uwzględniając dziedzinę $D=\mathbb {R} \backslash \{0\}$ otrzymujemy, że $x\in (-\infty ;0)\cup (0;1)$. Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.

Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np. $x^{5}$ (wykładnik nieparzysty), ponieważ $x^{5}$ może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez $x^{5}$ nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.

Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez $x^{4}$ (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy $x^{4}=0$, czyli gdy $x=0$. Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np. $x+5\geq 10$ przechodzi na $0\geq 0$ (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy $x^{4}=0$), a także która z liczb $x\neq 0$ spełnia wymnożoną nierówność (wtedy $x^{4}\neq 0$). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.

Na szczęście w powyższym przykładzie $D=\mathbb {R} \backslash \{0\}$, czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.