Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozwiązywanie równań wykładniczych[edytuj]

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładami równań wykładniczych mogą być:



Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

  1. Ustalamy dziedzinę.
  2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
  3. Rozwiązujemy równanie.
  4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
  5. Podajemy odpowiedź.


Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Sprowadzamy do tej samej podstawy:
  3. Z równości potęg wynika równość wykładników:
  4. Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
  5. Możemy sprawdzić rozwiązanie:
  6. Zatem

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
  2. Podstawiamy
  3. Otrzymujemy:
  4. Ponieważ :
  5. lub
  6. lub
  7. lub
  8. Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych[edytuj]

Przykładami nierówności wykładniczych są:




W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
  3. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
    dla
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian.
    dla
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny.
  4. Rozwiązujemy otrzymane równanie.
  5. Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie , możemy je przekształcić na równanie , ponieważ . Natomiast , ponieważ .


Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność . W tym celu:

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Sprowadzamy do tych samych podstaw:
  3. Ponieważ , wykorzystujemy prawo :
  4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  5. Z własności , wynika że:
    , krotność 2 i o krotności 1.
    Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png
  6. Czyli