Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych

Rozwiązywanie równań wykładniczych

Przykładami równań wykładniczych mogą być: $3^{x}=27$$3^{x}=27$
$\left(2{\frac {1}{5}}\right)^{x-2}=15$$\left(2{\frac {1}{5}}\right)^{x-2}=15$
$\left({\frac {1}{2}}\right)^{{\frac {1}{2}}x}=2^{x+2}$$\left({\frac {1}{2}}\right)^{{\frac {1}{2}}x}=2^{x+2}$
$2^{2x}-5\cdot 2^{x}-10=0$$2^{2x}-5\cdot 2^{x}-10=0$

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

1. Ustalamy dziedzinę.
2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
3. Rozwiązujemy równanie.
4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
5. Podajemy odpowiedź.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie $\left({\frac {1}{4}}\right)^{{\frac {1}{2}}x-1}=16^{x+3}$$\left({\frac {1}{4}}\right)^{{\frac {1}{2}}x-1}=16^{x+3}$, możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $\left({\frac {1}{4}}\right)^{{\frac {1}{2}}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb {R}$$\left({\frac {1}{4}}\right)^{{\frac {1}{2}}x-1}=16^{x+3},~D=\mathbb {R}$

2. Sprowadzamy do tej samej podstawy:
3. ${\begin{aligned}(4^{-1})^{{\frac {1}{2}}x-1}&=(4^{2})^{x+3}\\4^{-{\frac {1}{2}}x+1}&=4^{2x+6}\end{aligned}}$${\begin{aligned}(4^{-1})^{{\frac {1}{2}}x-1}&=(4^{2})^{x+3}\\4^{-{\frac {1}{2}}x+1}&=4^{2x+6}\end{aligned}}$
4. Z równości potęg wynika równość wykładników:
5. ${\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}x+1&=2x+6\\-2{\frac {1}{2}}x&=5\quad {\Big /}:(-2{\frac {1}{2}})\\x&=-2,~\in D\end{aligned}}$${\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}x+1&=2x+6\\-2{\frac {1}{2}}x&=5\quad {\Big /}:(-2{\frac {1}{2}})\\x&=-2,~\in D\end{aligned}}$
6. Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
7. Możemy sprawdzić rozwiązanie:
8. $L=\left({\frac {1}{4}}\right)^{{\frac {1}{2}}x-1}=\left({\frac {1}{4}}\right)^{{\frac {1}{2}}(-2)-1}=\left({\frac {1}{4}}\right)^{-2}=16$$L=\left({\frac {1}{4}}\right)^{{\frac {1}{2}}x-1}=\left({\frac {1}{4}}\right)^{{\frac {1}{2}}(-2)-1}=\left({\frac {1}{4}}\right)^{-2}=16$

   $P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16\$$P=16^{x+3}=16^{-2+3}=16\$

   Zatem $L=P\$$L=P\$

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie $2^{x}+2^{7-x}=24\!$$2^{x}+2^{7-x}=24\!$, możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
2. $2^{x}+2^{7-x}=24,~D=\mathbb {R}$$2^{x}+2^{7-x}=24,~D=\mathbb {R}$
3. $2^{x}+{\frac {2^{7}}{2^{x}}}=24$$2^{x}+{\frac {2^{7}}{2^{x}}}=24$
4. Podstawiamy $2^{x}=t,t\in \mathbb {R} _{+}$$2^{x}=t,t\in \mathbb {R} _{+}$
5. $t+{\frac {128}{t}}=24$$t+{\frac {128}{t}}=24$ $/\cdot t$$/\cdot t$
6. $t^{2}-24t+128=0\$$t^{2}-24t+128=0\$
7. Otrzymujemy:
8. $t_{1}=8=2^{3},~\in \mathbb {R} _{+}$$t_{1}=8=2^{3},~\in \mathbb {R} _{+}$
9. $t_{2}=16=2^{4},~\in \mathbb {R} _{+}$$t_{2}=16=2^{4},~\in \mathbb {R} _{+}$
10. Ponieważ $2^{x}=t\$$2^{x}=t\$:
11. $2^{x}=t_{1}\$$2^{x}=t_{1}\$ lub $2^{x}=t_{2}\$$2^{x}=t_{2}\$
12. $2^{x}=2^{3}\$$2^{x}=2^{3}\$ lub $2^{x}=2^{4}\$$2^{x}=2^{4}\$
13. $x=3\$$x=3\$ lub $x=4\$$x=4\$
14. Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

Przykładami nierówności wykładniczych są:

$2^{x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{2-x{\frac {1}{2}}}$$2^{x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{2-x{\frac {1}{2}}}$

$3^{x^{2}-2}<3{\sqrt {3}}$$3^{x^{2}-2}<3{\sqrt {3}}$

$\left({\frac {1}{9}}\right)^{x}>3^{4-{\frac {1}{2}}x}$$\left({\frac {1}{9}}\right)^{x}>3^{4-{\frac {1}{2}}x}$

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

1. Ustalić dziedzinę
2. Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
3. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:

   dla $a\in (1;+\infty )$$a\in (1;+\infty )$

   $a^{n}>a^{m}\iff n>m$$a^{n}>a^{m}\iff n>m$

   $a^{n}<a^{m}\iff n<m$$a^{n}<a^{m}\iff n<m$

   analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

   W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian.

   dla $a\in (0;1)$$a\in (0;1)$

   $a^{n}>a^{m}\iff n<m$$a^{n}>a^{m}\iff n<m$

   $a^{n}<a^{m}\iff n>m$$a^{n}<a^{m}\iff n>m$

   analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

   W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny.

4. Rozwiązujemy otrzymane równanie.
5. Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie $2^{2x-1}\geq 2^{3-x}$$2^{2x-1}\geq 2^{3-x}$, możemy je przekształcić na równanie $2x-1\geq 3-x\$$2x-1\geq 3-x\$, ponieważ $a=2\in (1;+\infty )$$a=2\in (1;+\infty )$. Natomiast $\left({\frac {1}{2}}\right)^{2x-1}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{3-x}\iff 2x-1<3-x$$\left({\frac {1}{2}}\right)^{2x-1}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{3-x}\iff 2x-1<3-x$, ponieważ $a={\frac {1}{2}}\in (0;1)$$a={\frac {1}{2}}\in (0;1)$.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność $\left({\frac {1}{4}}\right)^{x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2x}{x+1}}$$\left({\frac {1}{4}}\right)^{x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2x}{x+1}}$. W tym celu:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $\left({\frac {1}{4}}\right)^{x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2x}{x+1}},~D=\mathbb {R} \backslash \{-1\}$$\left({\frac {1}{4}}\right)^{x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2x}{x+1}},~D=\mathbb {R} \backslash \{-1\}$

2. Sprowadzamy do tych samych podstaw:

   $\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]^{x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2x}{x+1}}$$\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]^{x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2x}{x+1}}$

   $\left({\frac {1}{2}}\right)^{2x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2x}{x+1}}$$\left({\frac {1}{2}}\right)^{2x}>\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2x}{x+1}}$

3. Ponieważ $a={\frac {1}{2}}$$a={\frac {1}{2}}$, wykorzystujemy prawo $a^{n}>a^{m}\iff n<m$$a^{n}>a^{m}\iff n<m$:

   $2x<{\frac {2x}{x+1}}$$2x<{\frac {2x}{x+1}}$

4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

   $2x-{\frac {2x}{x+1}}<0$$2x-{\frac {2x}{x+1}}<0$

   ${\frac {2x^{2}}{x+1}}<0$${\frac {2x^{2}}{x+1}}<0$

5. Z własności ${\frac {a}{b}}<0\iff ab<0$${\frac {a}{b}}<0\iff ab<0$, wynika że:

   $2x^{2}(x+1)<0\Rightarrow x_{1}=0$$2x^{2}(x+1)<0\Rightarrow x_{1}=0$, krotność 2 i $x_{2}=-1\!$$x_{2}=-1\!$ o krotności 1.

   

6. Czyli $x\in (-\infty ;-1)$$x\in (-\infty ;-1)$