Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych
Przejdź do nawigacji
Przejdź do wyszukiwania
Rozwiązywanie równań wykładniczych[edytuj]
równania wykładnicze, rozwiązywanie równań wykładniczych
Przykładami równań wykładniczych mogą być:
Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:
- Ustalamy dziedzinę.
- Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
- Rozwiązujemy równanie.
- Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
- Podajemy odpowiedź.
Przykład 1
Chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób:
- Ustalamy dziedzinę:
- Sprowadzamy do tej samej podstawy:
- Z równości potęg wynika równość wykładników:
- Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
- Możemy sprawdzić rozwiązanie:
-
- Zatem
Przykład 2
Jeśli chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób:
- Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
- Podstawiamy
- Otrzymujemy:
- Ponieważ :
- lub
- lub
- lub
- Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.
Rozwiązywanie nierówności wykładniczych[edytuj]
nierówności wykładnicze, rozwiązywanie nierówności wykładniczych
Przykładami nierówności wykładniczych są:
W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:
- Ustalić dziedzinę
- Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
- Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
- dla
- analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
- W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian.
- dla
- analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
- W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny.
- dla
- Rozwiązujemy otrzymane równanie.
- Udzielamy odpowiedzi.
Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie , możemy je przekształcić na równanie , ponieważ . Natomiast , ponieważ .
Przykład 1
Chcemy rozwiązać nierówność . W tym celu:
- Ustalamy dziedzinę:
- Sprowadzamy do tych samych podstaw:
- Ponieważ , wykorzystujemy prawo :
- Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
- Z własności , wynika że:
- Czyli