Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.
Przykładami równań wykładniczych mogą być:
Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:
Ustalamy dziedzinę.
Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
Rozwiązujemy równanie.
Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
Podajemy odpowiedź.
Przykład 1
Chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób:
Ustalamy dziedzinę:
Sprowadzamy do tej samej podstawy:
Z równości potęg wynika równość wykładników:
Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
Możemy sprawdzić rozwiązanie:
Zatem
Przykład 2
Jeśli chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób:
W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:
Ustalić dziedzinę
Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
dla
analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian.
dla
analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny.
Rozwiązujemy otrzymane równanie.
Udzielamy odpowiedzi.
Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie , możemy je przekształcić na równanie , ponieważ . Natomiast , ponieważ .
Przykład 1
Chcemy rozwiązać nierówność . W tym celu:
Ustalamy dziedzinę:
Sprowadzamy do tych samych podstaw:
Ponieważ , wykorzystujemy prawo :
Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika: