Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Dziedzina funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Własności funkcji[edytuj]

Dla każdej funkcji możemy podać jej własności. Są nimi:

  • dziedzina funkcji
  • zbiór wartości funkcji
  • miejsca zerowe funkcji
  • zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia
  • zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna
  • monotoniczność
  • najmniejsza i największa wartość funkcji
  • różnowartościowość
  • parzystość
  • nieparzystość
  • okresowość
  • wartości funkcji

Dziedzina funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja ta jest określona.

Dziedzinę funkcji f najczęściej oznaczamy przez .

Wyznaczanie dziedziny funkcji[edytuj]

Podczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:

  • dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
  • liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
  • liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią

Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:

Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:

  1. Jest to po prostu ułamek , dlatego mianownik (czyli b) ma być różny od zera
  2. Zauważamy, że . Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ułamek lub pierwiastek, lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku
  3. Patrzymy na mianownik. Mamy . Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy „nigdy cholero nie dziel przez zero!”), musimy założyć, że , czyli .
  4. Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie x, które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy , zatem dziedziną będzie .

Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany

I znowu banał...

  1. Mamy ułamek , gdzie a może być dowolne, a b różne od zera
  2. Patrzymy na licznik a. I znowu mamy . Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na c:
    • No i mamy . Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku ) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x i po prostym przekształceniu otrzymujemy
  3. Teraz patrzymy na mianownik , który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własność mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie . I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
    Zatem , , . Ponadto, aby wyrażenie miało sens, x nie może być liczbą ujemną, zatem .
  4. I podsumowujemy: , , , , . Zatem .

Suma przedziałów (1).png


Przykład 1. Określmy dziedzinę funkcji . Wyrażenie ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy , ponieważ gdyby x było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że .

Przykład 2. Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest równy 0, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:

z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:

Czyli .

Przykład 3. Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli , a wtedy .

Przykład 4. Mianownik musi być różny od zera, wobec czego . Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze ), więc nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy .