Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Dziedzina funkcji

Własności funkcji

własności funkcji, dziedzina funkcji, wyznaczanie dziedziny funkcji

Dla każdej funkcji możemy podać jej własności. Są nimi:

• dziedzina funkcji
• zbiór wartości funkcji
• miejsca zerowe funkcji
• zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia
• zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna
• monotoniczność
• najmniejsza i największa wartość funkcji
• różnowartościowość
• parzystość
• nieparzystość
• okresowość
• wartości funkcji

Dziedzina funkcji

DEFINICJA Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja ta jest określona.

Dziedzinę funkcji f najczęściej oznaczamy przez $D_{f}$.

Wyznaczanie dziedziny funkcji

Podczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:

• dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
• liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
• liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią

Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:

$f(x)={\frac {x^{2}}{x+2}}$

Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:

1. Jest to po prostu ułamek ${\frac {a}{b}}$, dlatego mianownik (czyli b) ma być różny od zera
2. Zauważamy, że $a=x^{2}$. Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ułamek lub pierwiastek, lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku $x\in \mathbb {R}$
3. Patrzymy na mianownik. Mamy $b=x+2$. Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy „nigdy cholero nie dziel przez zero!”), musimy założyć, że $b\neq 0$, czyli $x+2\neq 0\implies x\neq -2$.
4. Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie x, które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy $x\neq -2$, zatem dziedziną będzie $D_{f}=R\backslash \{-2\}$.

Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany

$f(x)={\frac {{\sqrt {x-3}}^{2}}{{\sqrt {x}}(x-4)(x-3)}}$

I znowu banał...

1. Mamy ułamek ${\frac {a}{b}}$, gdzie a może być dowolne, a b różne od zera
2. Patrzymy na licznik a. I znowu mamy $a=c^{2}$. Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na c:
   • No i mamy $c={\sqrt {x-3}}$. Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku $x-3$) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x $x-3\geq 0$ i po prostym przekształceniu otrzymujemy $x\geq 3$
3. Teraz patrzymy na mianownik $b=d\cdot e\cdot f$, który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własność mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie $d\cdot e\cdot f=0\iff d=0\lor e=0\lor f=0$. I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
   • $d=0\implies {\sqrt {x}}=0\implies x=0$
   • $e=0\implies x-3=0\implies x=3$
   • $f=0\implies x-4=0\implies x=4$

   Zatem $x\neq 0$, $x\neq 3$, $x\neq 4$. Ponadto, aby wyrażenie ${\sqrt {x}}$ miało sens, x nie może być liczbą ujemną, zatem $x\geq 0$.

4. I podsumowujemy: $x\geq 3$, $x\geq 0$, $x\neq 0$, $x\neq 3$, $x\neq 4$. Zatem $D_{f}=(3;+\infty )\backslash \{4\}$.

Przykład 1. Określmy dziedzinę funkcji $f(x)={\frac {1}{x}}$. Wyrażenie ${\frac {1}{x}}$ ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy $x\neq 0$, ponieważ gdyby x było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że $D_{f}=\mathbb {R} \backslash \{0\}$.

Przykład 2. $f(x)={\frac {3x+2}{(x-1)(x-2)}}$ Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest równy 0, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:

$(x-1)(x-2)=0$

z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:

$x-1=0{\mbox{ lub }}x-2=0$

$x=1{\mbox{ lub }}x=2$

Czyli $D_{f}=\mathbb {R} \backslash \{1,2\}$.

Przykład 3. $f(x)={\frac {2x+2}{\sqrt {x-2}}}$ Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli $x-2>0\Rightarrow x>2$, a wtedy $D_{f}=(2;+\infty )$.

Przykład 4. $f(x)={\frac {1}{x^{2}+4}}$ Mianownik musi być różny od zera, wobec czego $x^{2}+4\neq 0\Rightarrow x^{2}\neq -4$. Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze $x^{2}\geq 0$), więc $x^{2}$ nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy $D_{f}=\mathbb {R}$.