Przejdź do zawartości

Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Inne własności funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Dla funkcji możemy określić zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia, a także zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna.

Różnowartościowość funkcji

[edytuj]
różnowartościowość, funkcja różnowartościowa
Definicja DEFINICJA

Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ta różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości.

Przykład 1. Funkcja jest różnowartościowa, co łatwo zauważyć na wykresie. Żadne dwa punkty należące do wykresu, nie są na tej samej wysokości (nie mają takiej samej współrzędnej y).

Różnowartościowość tej funkcji wynika także z tego, że jest to funkcja rosnąca.

Przykład 2. Poniższa funkcja także jest różnowartościowa.

Zauważmy, że jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca, to jest także różnowartościowa.

Przykład 3. Poniższa funkcja nie jest różnowartościowa. Możemy zauważyć, że dla argumentów oraz przyjmuje ona taką samą wartość równą 1.

Nieróżnowartościowość funkcji jest związana z istnieniem ekstremum, w którym funkcja zmienia swą monotoniczność z malejącej na rosnącą.

Parzystość i nieparzystość funkcji

[edytuj]
parzystość funkcji, funkcja parzysta
Definicja DEFINICJA

Funkcję f nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi .

Przykład 1. Funkcja jest parzysta, ponieważ i , zatem spełnia warunki określone w definicji.

Zobaczmy teraz na wykres:

Zauważmy, że funkcja jest parzysta jeśli jest symetryczna względem osi OY.

Przykład 2. Funkcja jest parzysta, ze względu na to, że zachodzi . Poza tym widzimy symetrię na wykresie funkcji.

nieparzystość funkcji, funkcja nieparzysta
Definicja DEFINICJA

Funkcję f nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi równość .

Funkcja nieparzysta jest symetryczna względem punktu (0,0).


Przykład 3. Funkcja jest nieparzysta, ponieważ

Przykład 4. Funkcja jest nieparzysta.

Zachodzi .

Okresowość

[edytuj]
okresowość funkcji
Definicja DEFINICJA

Funkcję f nazywamy okresową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczby x+T oraz x-T również należą do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi . Liczba T nazywana jest okresem tej funkcji, a najmniejsza istniejąca taka liczba to okres podstawowy.

Przykład 5.

Poniższa funkcja jest okresowa:

Okres podstawowy tej funkcji wynosi 2, ponieważ .


Przykład 6.

Funkcja jest funkcją okresową. Okres tej funkcji wynosi .