Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Inne własności funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dla funkcji możemy określić zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia, a także zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna.

Różnowartościowość funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ta różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości.

Przykład 1. Funkcja jest różnowartościowa, co łatwo zauważyć na wykresie. Żadne dwa punkty należące do wykresu, nie są na tej samej wysokości (nie mają takiej samej współrzędnej y).

Wykres y=x.png

Różnowartościowość tej funkcji wynika także z tego, że jest to funkcja rosnąca.

Przykład 2. Poniższa funkcja także jest różnowartościowa.

Funkcja różnowartościowa.png

Zauważmy, że jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca, to jest także różnowartościowa.

Przykład 3. Poniższa funkcja nie jest różnowartościowa. Możemy zauważyć, że dla argumentów oraz przyjmuje ona taką samą wartość równą 1.

Wykres y=x^2.png

Nieróżnowartościowość funkcji jest związana z istnieniem ekstremum, w którym funkcja zmienia swą monotoniczność z malejącej na rosnącą.

Parzystość i nieparzystość funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcję f nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi .

Przykład 1. Funkcja jest parzysta, ponieważ i , zatem spełnia warunki określone w definicji.

Zobaczmy teraz na wykres:

Wykres y=x^2.png

Zauważmy, że funkcja jest parzysta jeśli jest symetryczna względem osi OY.

Przykład 2. Funkcja jest parzysta, ze względu na to, że zachodzi . Poza tym widzimy symetrię na wykresie funkcji.

Wykres y=abs(x).png

Definicja
DEFINICJA

Funkcję f nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi równość .

Funkcja nieparzysta jest symetryczna względem punktu (0,0).


Przykład 3. Funkcja jest nieparzysta, ponieważ

Wykres y=3x.png

Przykład 4. Funkcja jest nieparzysta.

Wykres y=x^3.png

Zachodzi .

Okresowość[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcję f nazywamy okresową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczby x+T oraz x-T również należą do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi . Liczba T nazywana jest okresem tej funkcji, a najmniejsza istniejąca taka liczba to okres podstawowy.

Przykład 5.

Poniższa funkcja jest okresowa:

Funkcja okresowa.png

Okres podstawowy tej funkcji wynosi 2, ponieważ .


Przykład 6.

Funkcja jest funkcją okresową. Okres tej funkcji wynosi .

Wykres sin w radianach.png