Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Najmniejsza i największa wartość funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Najmniejsza i największa wartość funkcji[edytuj]

najmniejsza wartość funkcji, największa wartość funkcji
Definicja
DEFINICJA

Funkcja przyjmuje wartość największą dla pewnego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zachodzi nierówność .

Definicja
DEFINICJA

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla pewnego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zachodzi nierówność .

Przykład 1. Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą (dla ).

Wykres y=x^2.png

Funkcja ta nie przyjmuje wartości największej, jednak w pewnym przedziale np. możemy taką znaleźć. W przedziale A będzie to dla , natomiast najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale będzie , dla .

Przykład 2.

Największa wartości funkcji wynosi dla

Wykres y=2-sqrt(2-2x).png

Wartością najmniejszą w przedziale będzie . Nie możemy określić wartości największej w tym przedziale ze względu na to, że funkcja ta jest rosnąca w przedziale B i przedział jest lewostronnie otwarty. Możemy iść ciągle po wzdłuż tej funkcji, coraz wyżej i wyżej, lecz nigdy nie dojdziemy do 1.

Przykład 3.

Spójrzmy na poniższą funkcję, określoną dla :

Wykres funkcji 1.png

Przyjmuje ona zarówno wartość największa i najmniejszą. Funkcja ta przyjmuje wartość największą dla . Natomiast wartością najmniejszą tej funkcji jest dla .

ekstremum funkcji

Zwróćmy uwagę, że funkcja ta posiada pewne ala dwie „górki” i jedną „dolinę” położoną między nimi. Wszystkie te „górki” posiadają pewien „szczyt”, czyli miejsce, które jest położone najwyżej, natomiast „dolina” miejsce, które jest położone najniżej. Takie miejsca nazywane są ekstremami funkcji. Formalnie ekstremum funkcji definiuje się jako punkt, w którym funkcja zmienia swoją monotoniczność np. z rosnącej na malejącą.

Przykład 4.

Funkcja posiada zarówno wartość najwyższą jak i najniższą. Wartością najniższą jest dla . Wartością najwyższą jest także i także dla .

Wykres y=10.png

W dowolnym niepustym przedziale (nawet otwartym), wartością najwyższa i najniższą będzie także 10.

Przykład 5.

Wykres y=0.4x-1.png

Widzimy, że funkcja ta niestety nie przyjmuje wartości największej ani najmniejszej, ale na przykład możemy wziąć sobie przedział , wówczas wartością największą będzie 1 (dla ), a najmniejszą -1 (dla ).