Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Monotoniczność funkcji

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Monotoniczność funkcji oznacza, że funkcja jest:

  • rosnąca
  • malejąca
  • nierosnąca
  • niemalejąca
  • stała.

Monotoniczność funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja jest rosnąca w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów i należących do zbioru A i wynika .

Inaczej mówiąc wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Analogicznie definiujemy funkcję niemalejącą w zbiorze , tylko nierówność nie jest ostra. Zachodzi wtedy:

, dla

Zauważmy, że gdy nierówność jest rosnąca, to jest również niemalejąca, ale nie musi być odwrotnie.

Definicja
DEFINICJA

Funkcja jest malejąca w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów i należących do zbioru A i wynika .

Czyli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Podobnie możemy określić funkcję nierosnącą w zbiorze . Mamy wtedy:

, dla

Gdy nierówność jest malejąca, to jest również nierosnąca, ale nie musi zajść odwrotnie.


Przykład 1. Przyjrzyjmy się funkcji .

Wykres y=x^2.png

Możemy powiedzieć o tej funkcji, że:

  • jest rosnąca dla
  • jest malejąca dla


Przykład 2.

Określmy monotoniczność funkcji na podstawie jej poniższego wykresu. Funkcja ta jest określona dla (czyli ).

Wykres funkcji 1.png

Z wykresu widzimy, że funkcja ta:

  • rośnie w przedziałach oraz
  • maleje w przedziałach oraz


Przykład 3.

Spójrzmy teraz na najprostszy przykład. Jest to funkcja liniowa . Wykres tej funkcji będzie wyglądał tak:

Wykres y=(4-x) div 2.png

Widać od razu, że funkcja ta jest malejąca dla wszystkich .

Przykład 4.

Poniższy wykres przedstawia funkcję niemalejącą.

Funkcja niemalejąca.png

Nazwa bierze się stąd, że wraz ze wzrostem argumentów nie maleją wartości funkcji, czyli dla coraz wyższych x , gdzie jest dowolną liczbą mniejszą od x.


Przykład 5.

Poniżej przedstawiono wykres funkcji nierosnącej.

Funkcja nierosnąca.png

Widzimy z wykresu, że wraz ze wzrostem argumentów nie rosną wartości funkcji.

Przykład 6.

Udowodnij na podstawie definicji, że funkcja jest rosnąca.

Funkcję liniową miałeś okazję poznać już w gimnazjum. Wiesz więc od razu, że jeśli współczynnik kierunkowy jest większy od zera to funkcja jest rosnąca. Jednak w zadaniu mam skorzystać z definicji funkcji rosnącej. Czytamy, że funkcja jest rosnąca, gdy dla dowolnego zachodzi .

Wykresfunkcji.jpg

Weźmy więc dowolne i rozwiązmy nierówność .

Z założenia mamy, że , czyli wartość w nawiasie jest zawsze ujemna. Iloczyn liczby dodatniej (2) i dowolnej liczby ujemnej jest ujemny. Czyli nierówność spełniona jest zawsze, co należało dowieść.