Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Pojęcie zbioru

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pojęcie zbioru[edytuj]

W poprzednim rozdziale tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

  • zbiór książek,
  • zbiór ciasteczek,
  • zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez , składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,
„Matematyka dla liceum”,
„C++ w 24 godziny”,
„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi . Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez a, wówczas możemy napisać , ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek K. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez j, wówczas zapiszemy , ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

Zawieranie i równość zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, kiedy każdy element należący do zbioru A należy także do zbioru B. Piszemy to w ten sposób: lub . Zawieranie zbiorów nazywane jest także inkluzją. Zapis ten możemy czytać w różny sposób:

  • „Zbiór A zawiera się w zbiorze B”
  • „Zbiór A jest podzbiorem zbioru B”
  • „Zbiór B zawiera zbiór A”

Przykład.

Oznaczmy jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

Ponieważ wszystkie elementy w powtarzają się także w , więc zbiór . Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór jest podzbiorem . Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w znajdują się także w np. . Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów, , co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji.

Definicja
DEFINICJA

Dwa zbiory A i Brówne, jeśli każdy element należący do zbioru A należy do zbioru B (czyli ), a także każdy element w B należy do zbioru A (czyli ). Tak więc:

Przykład.

Jeśli i , to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B - . Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A - . Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

Definiowanie zbiorów[edytuj]

Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.

Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

  • słownie:
    zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.
  • wypisując wszystkie elementy:
    ,
  • używając zapisu:

Zapis czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8. Podobnie zapis możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład możemy zapisać jako i obydwa będą oznaczały to samo.

Przykład.

Oznaczmy jako zbiór dodatnich dzielników 15. Wypiszmy z tego zbioru wszystkie elementy parzyste, tworząc z nich zbiór X.

Ponieważ , więc nie znajdziemy w nim żadnego elementu parzystego, w związku z tym zbiór X jest zbiorem pustym:
.