Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Działania na zbiorach

działania na zbiorach

Suma zbiorów

suma zbiorów, definicja sumy zbiorów

DEFINICJA Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: $A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}\;$.

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

diagram Venna

Przykład.

Jeżeli $A=\{1,2,5\}\;$ i $B=\{1,3,4\}\;$, to $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\;$. Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Iloczyn zbiorów

iloczyn zbiorów, definicja iloczynu zbiorów

DEFINICJA Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak: $A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}\;$. Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Przykład.

Jeśli $A=\{1,2,5\}\;$ i $B=\{1,3,4\}\;$, to $A\cap B=\{1\}\;$. Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Różnica zbiorów

różnica zbiorów, definicja różnicy zbiorów

DEFINICJA Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak: $A\backslash B=\{x:x\in A\land x\notin B\}\;$. Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też $A-B\;$.

Jeśli $A=\{1,2,5\}\;$ i $B=\{1,3,4\}\;$, to $A\backslash B=\{2,5\}\;$. Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Dopełnienie zbioru

dopełnienie zbioru, definicja dopełnienia zbiorów

DEFINICJA Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako $A'\;$ lub $A^{c}\;$. Dopełnienie możemy zapisać tak: $A'=\{x:x\in U\land x\notin A\}\;$.

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A: $A'=U\backslash A\;$. Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Przykład.

Jeśli $A=\{1,2,3\}\;$, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór $A'=\{4,5,6,7,8,\dots \}\;$.

Przykład.

Jeśli $A=\{2,3,5,6\}\;$, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór $A'=\{1,4,7,8,9\}\;$, ponieważ:

$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\;$

$A=\{2,3,5,6\}\;$

$A'=U\backslash A=\{1,4,7,8,9\}\;$

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana

własności działań na zbiorach, I prawo De Morgana na zbiorach, II prawo De Morgana na zbiorach

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

• $(A\cup B)'=A'\cap B'\;$ -- I prawo De Morgana
• $(A\cap B)'=A'\cup B'\;$ -- II prawo De Morgana
• $A\cup B=B\cup A\;$ -- przemienność dodawania zbiorów
• $A\cap B=B\cap A\;$ -- przemienność mnożenia zbiorów
• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\;$ -- łączność dodawania zbiorów
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\;$ -- łączność mnożenia zbiorów
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\;$ -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\;$ -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania

Przykład.

Mamy zbiór $A=\{1,2,3,4\}\;$, $B=\{1,3,5\}\;$, $C=\{3,5,9\}\;$. Obliczyć $D=A\cap (B\cup C)\;$:

$D=A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)=\;$

$=(\{1,2,3,4\}\cap \{1,3,5\})\cup (\{1,2,3,4\}\cap \{3,5,9\})=\;$

$=\{1,3\}\cup \{3\}=\{1,3\}\;$

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)