Matematyka dla liceum/Trygonometria/Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego[edytuj]

Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej[edytuj]

funkcja trygonometryczna, kąt skierowany
Definicja
DEFINICJA

Kąt skierowany - jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku; pierwsza półprosta - ramię początkowe, druga półprosta - ramię końcowe.

Przykład kąta skierowanego

Positive angle; alfa; blue-red.svg

Ramieniem początkowym kąta jest półprosta wyróżniona na niebiesko, a ramieniem końcowym półprosta koloru czerwonego.


płaszczyzna zorientowana
Definicja
DEFINICJA

Płaszczyzna zorientowana - jest to taka płaszczyzna na której określono bieg dodatni dla każdego okręgu.

XOY plus.png
XOY minus.png
Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.
Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

Kat skier AOB LK.png Kat skier AOB LK va.png

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego[edytuj]

sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans
Definicja
DEFINICJA

funkcji trygonometrycznych dla kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej.

Kat skier w ukladzie oxy.png

Sinusem kąta skierowanego nazywamy stosunek rzędnej (y) do promienia (r)

Cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek odciętej (x) do promienia (r)

Tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek rzędnej (y) do odciętej (x)

Cotangensem kąta ostrego nazywamy stosunek odciętej (x) do rzędnej (y)

    lub    
Secansem kąta ostrego nazywamy stosunek promienia (r) do odciętej (x)
    lub    
Cosecansem kąta ostrego nazywamy stosunek promienia (r) do rzędnej (y)
    lub    

Przykład 1.

Kąt w położeniu standardowym, P(3,1).png

Niech ramię początkowe kąta pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt . Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu :

położenie standardowe, kąt w położeniu standardowym

Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Kąt w położeniu standardowym, P(-3,4).png

Kąt znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt . Wyznaczmy , , , .

Przykład 3.

Kąt w położeniu standardowym, P(-2,-4).png

Kąt znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt . Obliczmy , , , .