Matematyka dla liceum/Trygonometria/Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej

funkcja trygonometryczna, kąt skierowany

DEFINICJA Kąt skierowany - jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku; pierwsza półprosta - ramię początkowe, druga półprosta - ramię końcowe.

Przykład kąta skierowanego

Ramieniem początkowym kąta $\alpha$ jest półprosta wyróżniona na niebiesko, a ramieniem końcowym półprosta koloru czerwonego.

płaszczyzna zorientowana

DEFINICJA Płaszczyzna zorientowana - jest to taka płaszczyzna na której określono bieg dodatni dla każdego okręgu.

Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.	Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu ${\overrightarrow {AOB}}$ na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans

DEFINICJA funkcji trygonometrycznych dla kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej. Sinusem kąta skierowanego $\alpha$ nazywamy stosunek rzędnej (y) do promienia (r) $\sin \alpha ={y \over r}={y \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ Cosinusem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek odciętej (x) do promienia (r) $\cos \alpha ={x \over r}={x \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ Tangensem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek rzędnej (y) do odciętej (x) $\mathrm {tg} \,\alpha ={y \over x}$ Cotangensem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek odciętej (x) do rzędnej (y) $\mathrm {ctg} \,\alpha ={x \over y}$     lub    $\mathrm {ctg} \,\alpha ={1 \over {\mathrm {tg} \,\alpha }}$ Secansem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek promienia (r) do odciętej (x) $\sec \alpha ={r \over x}$     lub     $\sec \alpha ={1 \over \cos \alpha }$ Cosecansem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek promienia (r) do rzędnej (y) $\csc \alpha ={r \over y}$     lub     $\csc \alpha ={1 \over \sin \alpha }$

Przykład 1.

Niech ramię początkowe kąta $\alpha$ pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt $P(3,1)$. Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu $P(3,1)$:

• $\sin \alpha ={y \over r}={1 \over {\sqrt {1^{2}+3^{2}}}}={1 \over {\sqrt {10}}}={{\sqrt {10}} \over 10}$
• $\cos \alpha ={x \over r}={3 \over {\sqrt {1^{2}+3^{2}}}}={3 \over {\sqrt {10}}}={3{\sqrt {10}} \over 10}$
• $\mathrm {tg} \,\alpha ={y \over x}={1 \over 3}$
• $\mathrm {ctg} \,\alpha ={x \over y}={3 \over 1}=3$

położenie standardowe, kąt w położeniu standardowym

Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Kąt $\alpha$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P(-3,4)$. Wyznaczmy $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\mathrm {tg} \,\alpha$, $\mathrm {ctg} \,\alpha$.

• $\sin \alpha ={4 \over {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}}={4 \over {\sqrt {25}}}={4 \over 5}$
• $\cos \alpha ={-3 \over {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}}={-3 \over {\sqrt {25}}}=-{3 \over 5}$
• $\mathrm {tg} \,\alpha ={4 \over -3}=-{4 \over 3}$
• $\mathrm {ctg} \,\alpha ={-3 \over 4}=-{3 \over 4}$

Przykład 3.

Kąt $\alpha$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P(-2,-4)$. Obliczmy $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\mathrm {tg} \,\alpha$, $\mathrm {ctg} \,\alpha$.

• $\sin \alpha ={-4 \over {\sqrt {(-2)^{2}+(-4)^{2}}}}=-{2{\sqrt {5}} \over 5}$
• $\cos \alpha ={-2 \over {\sqrt {(-2)^{2}+(-4)^{2}}}}=-{{\sqrt {5}} \over 5}$
• $\mathrm {tg} \,\alpha ={-4 \over -2}=2$
• $\mathrm {ctg} \,\alpha ={-2 \over -4}={1 \over 2}$