Matematyka dla liceum/Trygonometria/Miara łukowa kąta

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara łukowa kąta[edytuj]

miara łukowa, radian

Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił . Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do :

ponieważ , otrzymujemy:

zatem:

Jak łatwo zauważyć wartość nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta . W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt jest wyrażony w stopniach, w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast pisze się po prostu .

Radian definition.png

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku L, tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi . Wówczas wykorzystując zależność otrzymujemy zależność:

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:


Definicja
DEFINICJA

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi , który wyznacza ten łuk:

Jednostką miary łukowej jest radian.

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi , a w radianach . Zatem:

Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:

(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).

Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:

Możemy go otrzymać przekształcając poprzedni wzór.

Przykład 1 Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową

a)
b)
c)

Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:
-
-
czyli:
II sposób, wykorzystując wzór:
b)
c)

Przykład 2 Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową

a)
b)
b)

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:
-
-
zatem:
II sposób, wykorzystując wzór:
b)
c)