Potęga o wykładniku całkowitym
[edytuj]
potęga, potęga o wykładniku całkowitym
Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.
potęga, potęga o wykładniku naturalnym
|
DEFINICJA
Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę
![{\displaystyle {\begin{matrix}a^{n}=&\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\mbox{ czynnik}}{\acute {\mbox{o}}}{\mbox{w}}}&{\mbox{ dla }}n>0\\a^{n}=&1&{\mbox{ dla }}n=0\ {\mbox{ i }}a\neq 0\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ae6d9c402dff38122a08d8c21dffe9e6b7888b)
|
Pamiętajmy o tym, że
nie ma sensu liczbowego.[1]
Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:
![{\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f605f52d30299d8589254e58ed8dfa90c2e012)
![{\displaystyle 3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259752c72e7728675004edcacb5af5975945c85f)
![{\displaystyle 5^{0}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35ea590af3dc88a77b0ef8a10a34bd483e7fe40)
Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.
Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.
potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:
![{\displaystyle 3^{-3}={\frac {1}{3^{3}}}={\frac {1}{27}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902b00ca58481dc538708f240c834d58df4be479)
![{\displaystyle 2^{-2}={\frac {1}{2^{2}}}={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a738351be065022ac9b75ccee021a0a7bd2197)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}={\frac {1}{\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}}={\frac {1}{\frac {1}{27}}}=27}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f112d56ec5ae92b1005c25b8a708f4d622f89044)
![{\displaystyle (-2)^{-4}={\frac {1}{(-2)^{4}}}={\frac {1}{16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba7df33badbc5fba40eb6b233cdbf0a673c05b8)
Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:
własności potęg, własności potęg o wykładniku wymiernym
Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:
![{\displaystyle 3^{-3}\cdot 3^{3}=3^{-3+3}=3^{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8f8ae0e1b9472192320f0ade4a699cf0d85a92)
![{\displaystyle {\frac {(-7)^{-100}}{(-7)^{-98}}}=(-7)^{-100-(-98)}=(-7)^{-2}={\frac {1}{(-7)^{2}}}={\frac {1}{49}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fb9cf8a9068d93e9a82e08b7d8f6d8982b6eb5)
![{\displaystyle \left(10^{2}\right)^{3}=10^{2\cdot 3}=10^{6}=1000000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b28d361076872613ec999f1e36426f248a87196)
![{\displaystyle (-5)^{5}\cdot (-2)^{3}=(-5)^{2}\cdot (-5)^{3}\cdot (-2)^{3}=25\cdot ((-5)^{3}\cdot (-2)^{3})=25\cdot ((-5)\cdot (-2))^{3}=25\cdot 10^{3}=25000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0350f8f90696f805bb4c0d4f3c026b0a6dcd65)
pierwiastek arytmetyczny
Spójrzmy na definicję:
W
liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.
Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:
- jeśli
, to
np.
, ponieważ
;
- ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza
;
- n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np.
,
,
,
itd.
Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby
, czyli:
, ponieważ
,
, ponieważ
,
, ponieważ
.
Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako
zamiast
.
Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:
dla a nieujemnego i nieparzystego n
Na przykład:
,
,
.
W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.
Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty
w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych,
co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.
W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.
własności pierwiastka arytmetycznego
Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:
,
,
,
.
Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.
Zauważmy, że dla n parzystego i
zachodzą poniższe własności:
, ale
.
Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.
Dla n nieparzystego i dowolnego
zachodzi[2]:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac4d6692e40c78859274a2b5c34e8cc8f5d3bc6)
Zobaczmy na przykłady:
, ale także
, ponieważ
;
, ale
;
, a także
(
);
, ale
.
Potęga o wykładniku wymiernym
[edytuj]
potęga, potęga o wykładniku wymiernym
Popatrzmy na kilka przykładów:
,
,
.
Nie wiemy, co oznacza
, czy też
. Co prawda
, ale wartość
pozostawimy niezdefiniowaną.
I znowu popatrzmy na kilka przykładów:
,
![{\displaystyle 81^{\tfrac {3}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}^{3}=3^{3}=27}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4169ba6e00c84d853169f72c01f92179963a95)
![{\displaystyle 27^{\tfrac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{27}}^{2}=3^{2}=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a3ba41b6950af74dbb35f8f6f8ee3c4a021643)
Dla potęg zachodzą poniższe własności:
własności potęg, własności potęg o wykładniku wymiernym
Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:
,
,
.
Działania na liczbach rzeczywistych
[edytuj]
Kolejność wykonywania działań
[edytuj]
kolejność wykonywania działań
Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:
- potęgowanie lub pierwiastkowanie,
- mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
- dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).
Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.
Przykład 1.
- Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:
.
- Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):
.
Przykład 2.
- Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:
.
- Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:
- najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):
![{\displaystyle 8+9+{\sqrt {-1+25-16:4\cdot 6:3}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e94c2e9b84325d0681dbfd2b5005982a5c9e51)
![{\displaystyle =8+9+{\sqrt {-1+25-4\cdot 6:3}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7c76e1f0dce5ffe51773ae99fbee8187a352f5)
![{\displaystyle =8+9+{\sqrt {-1+25-24:3}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec91423dde223c5cf68215d042f734809bd77419)
,
- następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:
![{\displaystyle 8+9+{\sqrt {-1+25-8}}=8+9+{\sqrt {24-8}}=8+9+{\sqrt {16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1e2232abaab6f14e837e63736d300704b9dd93)
- i w końcu wyciągamy pierwiastek:
.
- Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:
![{\displaystyle 8+9+4=17+4=21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05869fefb081e641ea4fc61cf48da33f1def4ef5)
Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.
Przykład 3.
![{\displaystyle 2^{3+2}-{\sqrt {2^{3-2}:2\cdot {\frac {9}{4}}}}=2^{5}-{\sqrt {2^{1}:2\cdot {\frac {9}{4}}}}=32-{\sqrt {\frac {9}{4}}}=32-{\frac {3}{2}}=30{,}5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4899cc31e65fc874b79a0ac547e9ccc75079394a)
Przykład 4.
![{\displaystyle {\sqrt {(4^{2}+6^{2}):(2:13)}}+2={\sqrt {(16+36):{\frac {2}{13}}}}+2={\sqrt {52\cdot {\frac {13}{2}}}}+2=13{\sqrt {2}}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935e75922189b6a75b05250b2f7108ff61ee3e03)
Wzory skróconego mnożenia
[edytuj]
wzory skróconego mnożenia, kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów, różnica sześcianów
Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:
(kwadrat sumy),
(kwadrat różnicy),
(różnica kwadratów),
(sześcian sumy),
(sześcian różnicy),
(suma sześcianów),
(różnica sześcianów).
Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:
,
,
,
choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:
.
Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:
.
Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.
działania, prawo przemienności, prawo łączności, prawo redukcji (skreśleń), prawo rozdzielności, element neutralny, liczba przeciwna, liczba odwrotna
Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:
![{\displaystyle a+b=b+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3)
![{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4b7dede7493e0231b3ad6ff9b54f4eae954108)
Czyli np.
, podobnie też
. Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ
czy też
.
Jednakże dla odejmowania spełnione jest następujące prawo:
Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:
,
,
czyli na przykład:
, ponieważ
, a także
.
Podobnie dla mnożenia:
, ponieważ
![{\displaystyle (3\cdot 5)\cdot 2=15\cdot 2=30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81519d4beefe94d6ad17f5227bcc2f8a5b0f788)
- i
.
Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:
, dosyć duża różnica.
, różnica jeszcze większa.
Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):
- jeśli
, to
(skreśliliśmy c),
- jeśli
i
, to
(także skreśliliśmy c)
Przykłady:
- Jeśli
, to
.
- Jeśli
, to
.
Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:
- prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
![{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8827e12f09f1ab8a5f3d7783b7357bd4cc398db7)
- prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:
![{\displaystyle a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac37476313d595b386aa7893862e270211cc17f2)
- prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:
![{\displaystyle {\frac {(a+b)}{c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e9488d648b9d3f5cfedee83b294da7e36e85fb)
- prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:
![{\displaystyle {\frac {(a-b)}{c}}={\frac {a}{c}}-{\frac {b}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5d7911d4121cb6ac5ebe512e120ce59777795d)
Zobaczmy na kilka przykładów:
,
- podobnie:
,
- a także:
![{\displaystyle 15\cdot 28=15\cdot (30-2)=15\cdot 30-15\cdot 2=450-30=420}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20bd561f24076fe80a9c9700097b741dcca56a22)
Ważną obserwacją jest na przykład:
,
,
.
Ze względu na tę własność, mianowicie
, liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.
Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ
np.
,
,
.
Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi
, jednak
, np.
. Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.
Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.
Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:
.
Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.
Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna
spełniająca warunek:
.
Liczbą odwrotną do 2 będzie
, do -10 będzie
, do
będzie
, a do
będzie
.
Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:
wtedy i tylko wtedy, gdy
,
np.
jedynie wtedy, gdy
.
Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.
Przypisy
- ↑ W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także
(zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie.
- ↑ Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.