Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Działania arytmetyczne

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania


Potęgi i pierwiastki[edytuj]

Potęga o wykładniku całkowitym[edytuj]

Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

Definicja
DEFINICJA

Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę

Pamiętajmy o tym, że nie ma sensu liczbowego.[1]

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.

Definicja
DEFINICJA

Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi :

.

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to:

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:




Pierwiastkowanie[edytuj]

Spójrzmy na definicję:

Definicja
DEFINICJA

Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i oznaczany przez to liczba , która spełnia zależność .

W liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

  • jeśli , to np. , ponieważ ;
  • ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza ;
  • n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np. , , , itd.

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby , czyli:

, ponieważ ,
, ponieważ ,
, ponieważ .

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako zamiast .

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:

dla a nieujemnego i nieparzystego n

Na przykład:

,
,
.

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, oraz a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla n parzystego i zachodzą poniższe własności:

  • , ale
  • .

Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.

Dla n nieparzystego i dowolnego zachodzi[2]:

Zobaczmy na przykłady:

, ale także , ponieważ ;
, ale ;
, a także ();
, ale .

Potęga o wykładniku wymiernym[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Potęgę o podstawie i wykładniku określamy wzorem:

Popatrzmy na kilka przykładów:

  • ,
  • ,
  • .

Nie wiemy, co oznacza , czy też . Co prawda , ale wartość pozostawimy niezdefiniowaną.

Definicja
DEFINICJA

Potęgę o podstawie i wykładniku wymiernym określamy wzorem:

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

  • ,

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

  • ,
  • ,
  • .

Działania na liczbach rzeczywistych[edytuj]

Kolejność wykonywania działań[edytuj]

Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie,
  2. mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:
.
Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):
.

Przykład 2.

Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:
.
Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:
najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):
,
następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:
i w końcu wyciągamy pierwiastek:
.
Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

Przykład 4.

Wzory skróconego mnożenia[edytuj]

Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

  • (kwadrat sumy),
  • (kwadrat różnicy),
  • (różnica kwadratów),
  • (sześcian sumy),
  • (sześcian różnicy),
  • (suma sześcianów),
  • (różnica sześcianów).

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

  • ,
  • ,
  • ,

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

.

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

.

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

Różne prawa działań[edytuj]

Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

Czyli np. , podobnie też . Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ czy też .

Jednakże dla odejmowania spełnione jest następujące prawo:

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

  • ,
  • ,

czyli na przykład:

, ponieważ
, a także
.

Podobnie dla mnożenia:

, ponieważ
i .

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

  • , dosyć duża różnica.
  • , różnica jeszcze większa.

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

  • jeśli , to (skreśliliśmy c),
  • jeśli i , to (także skreśliliśmy c)

Przykłady:

  • Jeśli , to .
  • Jeśli , to .

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

  • prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
  • prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:
  • prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:
  • prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:

Zobaczmy na kilka przykładów:

,
podobnie:
,
a także:

Ważną obserwacją jest na przykład:

,
,
.

Ze względu na tę własność, mianowicie , liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ np.

,
,
.

Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi , jednak , np. . Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:

.

Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.

Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna spełniająca warunek:

.

Liczbą odwrotną do 2 będzie , do -10 będzie , do będzie , a do będzie .

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:

wtedy i tylko wtedy, gdy ,

np. jedynie wtedy, gdy .

Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.


Przypisy


  1. W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także (zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie.
  2. Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.