Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Działania arytmetyczne

Potęgi i pierwiastki

Potęga o wykładniku całkowitym

potęga, potęga o wykładniku całkowitym

Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

potęga, potęga o wykładniku naturalnym

Definicja

DEFINICJA Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę ${\begin{matrix}a^{n}=&\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\mbox{ czynnik}}{\acute {\mbox{o}}}{\mbox{w}}}&{\mbox{ dla }}n>0\\a^{n}=&1&{\mbox{ dla }}n=0\ {\mbox{ i }}a\neq 0\end{matrix}}$

Pamiętajmy o tym, że $0^{0}$ nie ma sensu liczbowego.

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

• $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8$
• $3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$
• $5^{0}=1\,$

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.

potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Definicja

DEFINICJA Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi $a^{n}$: $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}{\mbox{ dla }}a\in \mathbb {R} \backslash \{0\}\ {\mbox{ i }}n\in \mathbb {N_{+}}$.

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

• $3^{-3}={\frac {1}{3^{3}}}={\frac {1}{27}}$
• $2^{-2}={\frac {1}{2^{2}}}={\frac {1}{4}}$
• $\left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}={\frac {1}{\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}}={\frac {1}{\frac {1}{27}}}=27$
• $(-2)^{-4}={\frac {1}{(-2)^{4}}}={\frac {1}{16}}$

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:

własności potęg, własności potęg o wykładniku wymiernym

Twierdzenie

TWIERDZENIE Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to: $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$ ${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ $\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\cdot m}$ $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$ $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:

• $3^{-3}\cdot 3^{3}=3^{-3+3}=3^{0}=1$

• ${\frac {(-7)^{-100}}{(-7)^{-98}}}=(-7)^{-100-(-98)}=(-7)^{-2}={\frac {1}{(-7)^{2}}}={\frac {1}{49}}$

• $\left(10^{2}\right)^{3}=10^{2\cdot 3}=10^{6}=1000000$

• $(-5)^{5}\cdot (-2)^{3}=(-5)^{2}\cdot (-5)^{3}\cdot (-2)^{3}=25\cdot ((-5)^{3}\cdot (-2)^{3})=25\cdot ((-5)\cdot (-2))^{3}=25\cdot 10^{3}=25000$

Pierwiastkowanie

pierwiastek arytmetyczny

Spójrzmy na definicję:

Definicja

DEFINICJA Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i $n\in N,n\geq 2$ oznaczany przez ${\sqrt[{n}]{a}}$ to liczba $b\geq 0$, która spełnia zależność $b^{n}=a$.

W ${\sqrt[{n}]{a}}$ liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

• jeśli $b={\sqrt[{n}]{a}}$, to $b^{n}=a\$ np. $4={\sqrt[{3}]{64}}$, ponieważ $4^{3}=64$;
• ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza ${\sqrt[{4}]{-81}}$;
• n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np. ${\sqrt[{2}]{a}}$, ${\sqrt[{3}]{a}}$, ${\sqrt[{4}]{a}}$, ${\sqrt[{5}]{a}}$ itd.

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby $b^{n}=a$, czyli:

${\sqrt {9}}=3$, ponieważ $3^{2}=9$,

${\sqrt[{3}]{125}}=5$, ponieważ $5^{3}=125$,

${\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {2}{3}}$, ponieważ $\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}$.

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako ${\sqrt {a}}$ zamiast ${\sqrt[{2}]{a}}$.

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:

${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}$ dla a nieujemnego i nieparzystego n

Na przykład:

${\sqrt[{3}]{-27}}=-{\sqrt[{3}]{27}}=-3$,

${\sqrt[{5}]{-32}}=-{\sqrt[{5}]{32}}=-2$,

${\sqrt[{3}]{-125}}=-{\sqrt[{3}]{125}}=-5$.

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

własności pierwiastka arytmetycznego

Twierdzenie

TWIERDZENIE Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, oraz a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to: ${\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$, ${\sqrt[{n}]{a \over b}}={{\sqrt[{n}]{a}} \over {\sqrt[{n}]{b}}}{\mbox{ dla }}b>0$, ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a}}$, $\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{p}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}$.

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

• ${\sqrt {36\cdot 49}}={\sqrt {36}}\cdot {\sqrt {49}}={\sqrt {6^{2}}}\cdot {\sqrt {7^{2}}}=6\cdot 7=42$,
• ${\sqrt[{3}]{\frac {8}{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{8}}{\sqrt[{3}]{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{2^{3}}}{\sqrt[{3}]{5^{3}}}}={\frac {2}{5}}$,
• ${\sqrt[{3}]{27^{4}}}={\sqrt[{3}]{27}}^{4}={\sqrt[{3}]{3^{3}}}^{4}=3^{4}=81$,
• ${\sqrt {\sqrt[{3}]{64}}}={\sqrt[{2\cdot 3}]{64}}={\sqrt[{3\cdot 2}]{64}}={\sqrt[{3}]{\sqrt {64}}}={\sqrt[{3}]{8}}={\sqrt[{3}]{2^{3}}}=2$.

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla n parzystego i $a\geq 0$ zachodzą poniższe własności:

• ${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a$, ale
• ${\sqrt[{n}]{(-a)^{n}}}=a$.

Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.

Dla n nieparzystego i dowolnego $a\in \mathbb {R}$ zachodzi:

• ${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a$

Zobaczmy na przykłady:

${\sqrt {5^{2}}}=5$, ale także ${\sqrt {(-5)^{2}}}=5$, ponieważ $(-5)^{2}=25=5^{2}$;

${\sqrt[{3}]{2^{3}}}=2$, ale ${\sqrt[{3}]{(-2)^{3}}}=-2\neq 2$;

${\sqrt[{4}]{8^{4}}}=8$, a także ${\sqrt[{4}]{(-8)^{4}}}=8$ ($8^{4}=(-8)^{4}$);

${\sqrt[{5}]{7^{5}}}=7$, ale ${\sqrt[{5}]{(-7)^{5}}}=-7\neq 7$.

Potęga o wykładniku wymiernym

potęga, potęga o wykładniku wymiernym

Definicja

DEFINICJA Potęgę o podstawie $a\geq 0$ i wykładniku $\mathbf {1 \over n}$ określamy wzorem: $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}{\mbox{ dla }}n\in \mathbb {N} \backslash \{0,1\}{\mbox{ i }}a\geq 0$

Popatrzmy na kilka przykładów:

• $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$,
• $25^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{25}}={\sqrt[{2\cdot 2}]{25}}={\sqrt {\sqrt {25}}}={\sqrt {5}}$,
• $27^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{27}}=3$.

Nie wiemy, co oznacza $(-9)^{\tfrac {1}{2}}$, czy też $(-27)^{\tfrac {1}{3}}$. Co prawda ${\sqrt[{3}]{-27}}=-3$, ale wartość $(-27)^{\tfrac {1}{3}}$ pozostawimy niezdefiniowaną.

Definicja

DEFINICJA Potęgę o podstawie $a\geq 0$ i wykładniku wymiernym określamy wzorem: $a^{\frac {m}{n}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}{\mbox{ dla }}a\geq 0,~n\in \mathbb {N} \backslash \{0,1\}{\mbox{ i }}m\in \mathbb {N_{+}} .$ $a^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{a^{\frac {m}{n}}}}{\mbox{ dla }}a\geq 0,~n\in \mathbb {N} \backslash \{0,1\}{\mbox{ i }}m\in \mathbb {N_{+}} .$

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

• $4^{\tfrac {3}{2}}={\sqrt {4}}^{3}=2^{3}=8$,
• $81^{\tfrac {3}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}^{3}=3^{3}=27$
• $27^{\tfrac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{27}}^{2}=3^{2}=9$

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

własności potęg, własności potęg o wykładniku wymiernym

Twierdzenie

TWIERDZENIE Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to: $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$, ${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$, $\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\cdot m}$, $(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$, $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$.

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

• $5^{30{,}5}\cdot 5^{-28{,}5}=5^{30{,}5-28{,}5}=5^{2}=25$,
• ${\frac {16^{3{,}75}}{16^{4}}}=16^{3{,}75-4}=16^{-0{,}25}={\frac {1}{16^{0{,}25}}}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{16}}}={\frac {1}{2}}$,
• $2^{{\sqrt {2}}-1}\cdot 2^{3-{\sqrt {2}}}=2^{{\sqrt {2}}-1+3-{\sqrt {2}}}=2^{2}=4$.

Działania na liczbach rzeczywistych

Kolejność wykonywania działań

kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

1. potęgowanie lub pierwiastkowanie,
2. mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

$2+2-3-20:4\cdot 5$

Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:

$2+2-3-20:4\cdot 5=2+2-3-5\cdot 5=2+2-3-25$.

Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):

$2+2-3-25=4-3-25=1-25=-24$.

Przykład 2.

$2^{3}+3^{2}+{\sqrt {-1+5^{2}-16:4\cdot 6:3}}$

Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:

$2^{3}+3^{2}+{\sqrt {-1+5^{2}-16:4\cdot 6:3}}=8+9+{\sqrt {-1+25-16:4\cdot 6:3}}$.

Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:

najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):

$8+9+{\sqrt {-1+25-16:4\cdot 6:3}}=$

$=8+9+{\sqrt {-1+25-4\cdot 6:3}}=$

$=8+9+{\sqrt {-1+25-24:3}}=$

$=8+9+{\sqrt {-1+25-8}}$,

następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:

$8+9+{\sqrt {-1+25-8}}=8+9+{\sqrt {24-8}}=8+9+{\sqrt {16}}$

i w końcu wyciągamy pierwiastek:

$8+9+{\sqrt {16}}=8+9+4$.

Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

$8+9+4=17+4=21$

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

$2^{3+2}-{\sqrt {2^{3-2}:2\cdot {\frac {9}{4}}}}=2^{5}-{\sqrt {2^{1}:2\cdot {\frac {9}{4}}}}=32-{\sqrt {\frac {9}{4}}}=32-{\frac {3}{2}}=30{,}5$

Przykład 4.

${\sqrt {(4^{2}+6^{2}):(2:13)}}+2={\sqrt {(16+36):{\frac {2}{13}}}}+2={\sqrt {52\cdot {\frac {13}{2}}}}+2=13{\sqrt {2}}+2$

Wzory skróconego mnożenia

wzory skróconego mnożenia, kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów, różnica sześcianów

Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ (kwadrat sumy),
• $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ (kwadrat różnicy),
• $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ (różnica kwadratów),
• $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ (sześcian sumy),
• $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ (sześcian różnicy),
• $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ (suma sześcianów),
• $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ (różnica sześcianów).

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

• $(3+5)^{2}=3^{2}+2\cdot 3\cdot 5+5^{2}=9+30+25=64$,
• $9^{3}-8^{3}=(9-8)(9^{2}+9\cdot 8+8^{2})=1\cdot (81+72+64)=217$,
• $(4+3)^{3}=4^{3}+3\cdot 4^{2}\cdot 3+3\cdot 4\cdot 3^{2}+3^{3}=64+144+108+27=343$,

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

$4^{3}-3\cdot 4^{2}\cdot 5+3\cdot 4\cdot 5^{2}-5^{3}$.

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

$4^{3}-3\cdot 4^{2}\cdot 5+3\cdot 4\cdot 5^{2}-5^{3}=(4-5)^{3}=-1$.

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

Różne prawa działań

działania, prawo przemienności, prawo łączności, prawo redukcji (skreśleń), prawo rozdzielności, element neutralny, liczba przeciwna, liczba odwrotna

Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

• $a+b=b+a$
• $a\cdot b=b\cdot a$

Czyli np. $10+20=20+10$, podobnie też $5\cdot 6=6\cdot 5$. Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ $5-6=-1\neq 6-5=1$ czy też $6:2=3\neq 2:6={\frac {1}{3}}$.

Jednakże dla odejmowania spełnione jest następujące prawo:

$a-b=a+(-b)=-b+a$

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

• $(a+b)+c=a+(b+c)$,
• $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$,

czyli na przykład:

$(2+3)+4=2+(3+4)$, ponieważ

$(2+3)+4=5+4=9$, a także

$2+(3+4)=2+7=9$.

Podobnie dla mnożenia:

$(3\cdot 5)\cdot 2=3\cdot (5\cdot 2)$, ponieważ

$(3\cdot 5)\cdot 2=15\cdot 2=30$

i $3\cdot (5\cdot 2)=3\cdot 10=30$.

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

• $(8-5)-2=3-2=1\neq 8-(5-2)=8-3=5$, dosyć duża różnica.
• $(12:2):3=6:3=2\neq 12:(2:3)=12:{\frac {2}{3}}=12\cdot {\frac {3}{2}}=18$, różnica jeszcze większa.

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

• jeśli $a+c=b+c$, to $a=b$ (skreśliliśmy c),
• jeśli $a\cdot c=b\cdot c$ i $c\neq 0$, to $a=b$ (także skreśliliśmy c)

Przykłady:

• Jeśli $a+10=20+10$, to $a=20$.
• Jeśli $a\cdot 3=4\cdot 3$, to $a=4$.

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

• prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

• prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:

  $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$

• prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:

  ${\frac {(a+b)}{c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$

• prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:

  ${\frac {(a-b)}{c}}={\frac {a}{c}}-{\frac {b}{c}}$

Zobaczmy na kilka przykładów:

$5\cdot (2+3)=5\cdot 2+5\cdot 3=10+15=25$,

podobnie:

$(25-10):5=25:5-10:5=5-2=3$,

a także:

$15\cdot 28=15\cdot (30-2)=15\cdot 30-15\cdot 2=450-30=420$

Ważną obserwacją jest na przykład:

$10+0=0+10=10$,

$-5+0=-5$,

$0+3{\frac {1}{2}}=3{\frac {1}{2}}$.

Ze względu na tę własność, mianowicie $a+0=0+a=a$, liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ $a\cdot 1=1\cdot a=a$ np.

$10\cdot 1=10$,

$1\cdot 4=4$,

$-3\cdot 1=-3$.

Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi $a:1=a$, jednak $a:1\neq 1:a$, np. $5:1\neq 1:5={\frac {1}{5}}$. Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:

$a+(-a)=0$.

Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.

Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna $\mathbf {\frac {1}{a}}$ spełniająca warunek:

$a\cdot {\frac {1}{a}}=1$.

Liczbą odwrotną do 2 będzie ${\frac {1}{2}}$, do -10 będzie $-{\frac {1}{10}}$, do ${\frac {3}{7}}$ będzie ${\frac {7}{3}}$, a do $-\pi$ będzie $-{\frac {1}{\pi }}$.

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:

$(a\cdot b=0)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a=0{\mbox{ lub }}b=0$,

np. $2\cdot a=0$ jedynie wtedy, gdy $a=0$.

Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.

Przypisy

---