Potęga o wykładniku całkowitym
[edytuj]
potęga, potęga o wykładniku całkowitym
Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.
potęga, potęga o wykładniku naturalnym
|
DEFINICJA
Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę

|
Pamiętajmy o tym, że
nie ma sensu liczbowego.[1]
Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:



Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.
Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.
potęga o wykładniku całkowitym ujemnym
Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:




Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:
własności potęg, własności potęg o wykładniku wymiernym
Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:




pierwiastek arytmetyczny
Spójrzmy na definicję:
W
liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.
Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:
- jeśli
, to
np.
, ponieważ
;
- ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza
;
- n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np.
,
,
,
itd.
Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby
, czyli:
, ponieważ
,
, ponieważ
,
, ponieważ
.
Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako
zamiast
.
Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:
dla a nieujemnego i nieparzystego n
Na przykład:
,
,
.
W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.
Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty
w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych,
co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.
W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.
własności pierwiastka arytmetycznego
Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:
,
,
,
.
Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.
Zauważmy, że dla n parzystego i
zachodzą poniższe własności:
, ale
.
Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.
Dla n nieparzystego i dowolnego
zachodzi[2]:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac4d6692e40c78859274a2b5c34e8cc8f5d3bc6)
Zobaczmy na przykłady:
, ale także
, ponieważ
;
, ale
;
, a także
(
);
, ale
.
Potęga o wykładniku wymiernym
[edytuj]
potęga, potęga o wykładniku wymiernym
Popatrzmy na kilka przykładów:
,
,
.
Nie wiemy, co oznacza
, czy też
. Co prawda
, ale wartość
pozostawimy niezdefiniowaną.
I znowu popatrzmy na kilka przykładów:
,
![{\displaystyle 81^{\tfrac {3}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}^{3}=3^{3}=27}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4169ba6e00c84d853169f72c01f92179963a95)
![{\displaystyle 27^{\tfrac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{27}}^{2}=3^{2}=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a3ba41b6950af74dbb35f8f6f8ee3c4a021643)
Dla potęg zachodzą poniższe własności:
własności potęg, własności potęg o wykładniku wymiernym
Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:
,
,
.
Działania na liczbach rzeczywistych
[edytuj]
Kolejność wykonywania działań
[edytuj]
kolejność wykonywania działań
Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:
- potęgowanie lub pierwiastkowanie,
- mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
- dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).
Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.
Przykład 1.
- Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:
.
- Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):
.
Przykład 2.
- Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:
.
- Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:
- najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):



,
- następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:

- i w końcu wyciągamy pierwiastek:
.
- Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.
Przykład 3.

Przykład 4.

Wzory skróconego mnożenia
[edytuj]
wzory skróconego mnożenia, kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów, różnica sześcianów
Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:
(kwadrat sumy),
(kwadrat różnicy),
(różnica kwadratów),
(sześcian sumy),
(sześcian różnicy),
(suma sześcianów),
(różnica sześcianów).
Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:
,
,
,
choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:
.
Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:
.
Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.
działania, prawo przemienności, prawo łączności, prawo redukcji (skreśleń), prawo rozdzielności, element neutralny, liczba przeciwna, liczba odwrotna
Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:


Czyli np.
, podobnie też
. Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ
czy też
.
Jednakże dla odejmowania spełnione jest następujące prawo:
Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:
,
,
czyli na przykład:
, ponieważ
, a także
.
Podobnie dla mnożenia:
, ponieważ

- i
.
Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:
, dosyć duża różnica.
, różnica jeszcze większa.
Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):
- jeśli
, to
(skreśliliśmy c),
- jeśli
i
, to
(także skreśliliśmy c)
Przykłady:
- Jeśli
, to
.
- Jeśli
, to
.
Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:
- prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:

- prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:

- prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:

- prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:

Zobaczmy na kilka przykładów:
,
- podobnie:
,
- a także:

Ważną obserwacją jest na przykład:
,
,
.
Ze względu na tę własność, mianowicie
, liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.
Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ
np.
,
,
.
Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi
, jednak
, np.
. Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.
Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.
Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:
.
Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.
Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna
spełniająca warunek:
.
Liczbą odwrotną do 2 będzie
, do -10 będzie
, do
będzie
, a do
będzie
.
Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:
wtedy i tylko wtedy, gdy
,
np.
jedynie wtedy, gdy
.
Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.
Przypisy
- ↑ W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także
(zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie.
- ↑ Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.