Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Rozwiązywanie równań i nierówności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj


Równania[edytuj]

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np. . Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład, ? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

zatem będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania rozwiązaniem będzie lub , ponieważ:

i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie , ponieważ:

i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu , bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie i chcemy pokazać, że nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

,
.

Jeśli , to:

,

ale

,

a więc:

.

Równanie nie jest spełnione, zatem nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość , to równanie zostałoby spełnione przez , a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

Przekształcanie równań[edytuj]

Aby ładnie [1], a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

  1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
  2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. , to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

, czyli

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

  • jeśli , to ,
  • jeśli , to ,
  • jeśli , to .

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

  • - obustronnie mnożymy przez 2
  • - obustronnie dzielimy przez 3
  • - obustronnie mnożymy przez .

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

  • (1)
  • (2)
  • (3)
  • (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

- obustronnie dzielimy przez 2
, które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

Teraz zrobimy (3):

Pozostał ostatni przykład:

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą[edytuj]

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

  • 2x > 3 (1)
  • 5x - 2 < 2 (2)
  • (3)
  • (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla będziemy mieli:
(nie zmieniamy znaku na przeciwny, 2 nie jest ujemne)
ale dla będzie:
(musimy zmienić znak na przeciwny, -2 jest ujemne)

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

I został ostatni przykład (4):

Przypisy


  1. zdaniem niektórych