Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja wykładnicza i jej własności

Funkcja wykładnicza

funkcja wykładnicza, własności funkcji wykładniczej

DEFINICJA Funkcja wykładnicza jest to funkcja określona wzorem $f(x)=a^{x}$ dla $a>0$ i $a\neq 1$.

Przykładem funkcji wykładniczej może być:

• $y=2^{x}$
• $y=\left(2{\frac {1}{2}}\right)^{x}$
• $y=10^{2x}$, co jest równoznaczne $y=(10^{2})^{x}=100^{x}$

Wykres i własności

Patrząc na funkcję $y=2^{x}$ i $y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}$ (kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami $y=3^{x}$ i $y=\left({\frac {1}{3}}\right)^{x}$ (kolor granatowy), a także $y=\left({\frac {3}{2}}\right)^{x}$ i $y=\left({\frac {2}{3}}\right)^{x}$ (kolor zielony). Możemy przypuszczać, że wykresy $f(x)=a^{x}$, a także $g(x)=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}$ są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest: $f(x)=a^{x}=(a^{-1})^{-x}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{-x}=g(-x)$.

Własności:

1. $D=R$
2. $ZW=R_{+}$, czyli $a^{x}>0$
3. Wykres funkcji $y=a^{x}$ jest symetryczny względem osi OY do wykresu funkcji $y=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}$
4. Funkcja nie posiada miejsc zerowych
5. Funkcja przecina oś OY w punkcie $(0;1)$, ponieważ $\forall _{a\neq 0}\ a^{0}=1$
6. Funkcja jest różnowartościowa
7. Dla $a\in (1;+\infty )$ funkcja jest rosnąca
8. Dla $a\in (0;1)$ funkcja jest malejąca