Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja wykładnicza i jej własności

Funkcja wykładnicza

funkcja wykładnicza, własności funkcji wykładniczej

DEFINICJA Funkcja wykładnicza jest to funkcja określona wzorem $f(x)=a^x$ dla $a>0$ i $a\ne 1$.

Przykładem funkcji wykładniczej może być:

• $y=2^x$
• $y={\left(2\frac{1}{2}\right)}^x$
• $y=10^{2x}$, co jest równoznaczne $y=(10^2{)}^x=100^x$

Wykres i własności

Patrząc na funkcję $y=2^x$ i $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami $y=3^x$ i $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ (kolor granatowy), a także $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ i $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ (kolor zielony). Możemy przypuszczać, że wykresy $f(x)=a^x$, a także $g(x)={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest: $f(x)=a^x=(a^{-1}{)}^{-x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^{-x}=g(-x)$.

Własności:

1. $D=R$
2. $ZW=R_{+}$, czyli $a^x>0$
3. Wykres funkcji $y=a^x$ jest symetryczny względem osi OY do wykresu funkcji $y={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$
4. Funkcja nie posiada miejsc zerowych
5. Funkcja przecina oś OY w punkcie $(0;1)$, ponieważ ${\mathrm{\forall }}_{a\ne 0}{a}^0=1$
6. Funkcja jest różnowartościowa
7. Dla $a\in (1;+\mathrm{\infty })$ funkcja jest rosnąca
8. Dla $a\in (0;1)$ funkcja jest malejąca