Matematyka dla liceum/Trygonometria/Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne

wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego.

$\sin(-\alpha )=-\sin(\alpha )$ $\cos(-\alpha )=\cos(\alpha )$ $tg(-\alpha )=-tg(\alpha )$ $ctg(-\alpha )=-ctg(\alpha )$	$\sin(90-\alpha )=\cos(\alpha )$ $\cos(90-\alpha )=\sin(\alpha )$ $tg(90-\alpha )=ctg(\alpha )$ $ctg(90-\alpha )=tg(\alpha )$	$\sin(90+\alpha )=\cos(\alpha )$ $\cos(90+\alpha )=-\sin(\alpha )$ $tg(90+\alpha )=-ctg(\alpha )$ $ctg(90+\alpha )=-tg(\alpha )$
$\sin(180-\alpha )=\sin(\alpha )$ $\cos(180-\alpha )=-\cos(\alpha )$ $tg(180-\alpha )=-tg(\alpha )$ $ctg(180-\alpha )=-ctg(\alpha )$	$\sin(180+\alpha )=-\sin(\alpha )$ $\cos(180+\alpha )=-\cos(\alpha )$ $tg(180+\alpha )=tg(\alpha )$ $ctg(180+\alpha )=ctg(\alpha )$	$\sin(270-\alpha )=-\cos(\alpha )$ $\cos(270-\alpha )=-\sin(\alpha )$ $tg(270-\alpha )=ctg(\alpha )$ $ctg(270-\alpha )=tg(\alpha )$
$\sin(270+\alpha )=-\cos(\alpha )$ $\cos(270+\alpha )=\sin(\alpha )$ $tg(270+\alpha )=-ctg(\alpha )$ $ctg(270+\alpha )=-tg(\alpha )$	$\sin(360-\alpha )=-\sin(\alpha )$ $\cos(360-\alpha )=\cos(\alpha )$ $tg(360-\alpha )=-tg(\alpha )$ $ctg(360-\alpha )=-ctg(\alpha )$

Na szczęście nie trzeba uczyć się na pamięć powyższej tabeli. Wystarczy przyswoić sobie dwa zdroworozsądkowe fakty z niej wynikające:

• gdy we wzorze redukcyjnym występuje liczba 90 lub 270 to funkcja sinus zmienia się w cosinus i na odwrót, a tangens w cotangens i na odwrót;
• o pojawieniu się znaku minus decyduje funkcja po lewej stronie, gdy w danej ćwiartce dana funkcja jest ujemna, to dopisujemy znak minus np.:
  • $cos(270+\alpha )=sin(\alpha )$ – ponieważ cosinus w IV ćwiartce $(270+\alpha )$ jest dodatni,
  • $cos(90+\alpha )=-sin(\alpha )$ – ponieważ cosinus w II ćwiartce $(90+\alpha )$ jest ujemny,
  • $tg(180-\alpha )=-tg(\alpha )$ – ponieważ tangens w II ćwiartce $(180-\alpha )$ jest ujemny.

Łatwo zapamiętać, gdzie pojawia się znak minus, używając „praktycznej poezji matematycznej”:

W pierwszej ćwiartce same plusy
W drugiej tylko sinus
W trzeciej tangens i cotangens
A w czwartej cosinus