Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Zasady zachowania wynikające z zasad niezmienniczości

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
Wstęp do fizyki cząstek elementarnych
Zasady zachowania wynikające z zasad niezmienniczości

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przedstawimy tutaj różnego rodzaju symetrię równań opisujących dany układ równań. Rozpatrywać będziemy transformacje dyskretne, a także i ciągłe.

Wprowadzenie do operatorów translacji[edytuj]

Gdy na układ nie działają żadne siły zewnętrzne, to pęd i energia całkowita nie zmieniają się w czasie, zatem rozpatrzmy przesunięcie funkcji skalarnej ψ zależącej od wektora wodzącego .

(3.1)

Jeżeli układ będzie się składał z superpozycji nieskończenie małych superpozycjii, to całkowite przesunięcie przesuniemy poprzez wzór , wtedy całkowity operator przesunięcia piszemy poprzez:

(3.2)

Wprowadzenie do operatorów obrotów[edytuj]

Operator obrotu przy infinitezymalnym obrocie, tzn. skończony obrót jest sumą poszczególnych infitezymalnych obrotów , co na tej podstawie otrzymujemy:

(3.3)

I wiedząc coś o operatorze momentu pędu (MK-6.56) całkowity operator obrotu o skończony kąt jest to iloczyn poszczególnych infinitezymalnych przesunięć, wtedy możemy pisać:

(3.4)

Parzystość funkcji falowych (inwersja)[edytuj]

Transformacja dyskretna, którą jest inwersja przestrzeni mamy przekształcenia . Z tą operacją wiąże się operator parzystości, którego działanie na funkcję piszemy jako:

(3.5)

Wartość własna operatora parzystości odpowiada wartość bezwzględna z jedynki, czyli P=±1. W układzie kulistym transformacji jest równoważna transforfmacji θ→π+θ i φ→π-θ, co daje nam w rezultacie , ale dalej funkcję możemy napisać w sposób: . Zatem po działaniu operatorem parzystości na harmoniki sferyczne, otrzymujemy:

(3.6)

Harmoniki sferyczne mają parzystość (-1)l, co na to wychodzi, że stany s, d, g, ... mają parzystość dodatnią, a stany p, f, h, ... mają parzystość ujemną. Przy przejściach elektrycznych dipolowych zmiana parzystości podlega regule Δl=±1. Aby parzystość układu atom plus foton była zachowana to parzystość fotonu powinna być równa -1. Parzystość jest liczbą kwantową multiplikatywną, tzn. spełnia parzystość ψ=θaθb.... W przypadku oddziaływań oddziaływania silnego i elektromagnetycznego liczba kwantowa parzystości jest zachowana. Przykładem reakcji z oddziaływaniem silnym jest p+p→π++p+n, aby parzystość takiego układu reakcyjnego była spełniona pionowi przepisuje się parzystość wewnętrzną i jest ona równa -1, czyli Pπ=-1. Parzystość protonu i neutronu przepisuje się liczbę Pn,p=-1. Przykładem reakcji, w których produkowane są cząstki dziwne zawierające kwark dziwny i antydziwny, które są w reakcji produkowane stowarzyszono, tzn. w reakcji p+p→K++Λ+p produkowane są cząstki oczywiście o dziwności S=-1, a także o dziwności S=-1. Względna zmiana parzystości w stosunku do nukleonu jest równa minus jeden.

Właściwości pionu (spin i parzystość) naładowanego π± i obojętnego π0[edytuj]

Będziemy tutaj badali spin i parzystość i przekroje czynne, w której występują piony naładowane i obojętne w różnego rodzaju typu reakcjach.

Spin pionów naładowanych w reakcjach[edytuj]

Weźmy reakcję, która jest odwracalna, w których spin pionu wyznaczono z pomiaru przekroju czynnego reakcji:

(3.7)

Jeśli będziemy rozważać reakcję (3.7) z reakcją w wprost i reakcją odwrotną przy tej samej energii w układzie środka masy, wtedy elementy macierzowe naszej reakcji |Mif|2=|Mif|2, co na tej podstawie przekrój czynny na zachodzenie reakcji wprost i odwrotnej w układzie środka masy jest:

(3.8)
(3.9)

W reakcji odwrotnej (3.7), którego przekrój czynny jest (3.9) występuje czynnyk bo dwa protony w układzie środka masy są nierozróżnialne. Na podstawie tego okazało się, że spin dla pionu naładowanego jest równy zero sπ=0. Jeżeli będziemy rozpatrywać piony obojętne , wtedy rozpad tego pionu następuje na dwa fotonu γ jest:

(3.10)

Całkowity spin reakcji (3.11) pozostaje niezmieniony.

Parzystość pionów naładowanych w reakcjach[edytuj]

Rozpatrzmy reakcję z pionem naładowanym ujemnie z jądrem tarczą deuteronu d, w której powstają dwa neutrony, tzn.:

(3.11)

Spin deuteronu wynosi sd wynosi jeden, a pionu sπ=0, to całkowity moment pędu tej reakcji (3.11) w stanie początkowym dla substratów wynosi jeden. Funkcją falową stanu danej cząstki piszemy w jako ψ=φ(x,y,z)α(spin). I oznaczmy zetową współrzędną skierowaną do góry lub do dołu całkowitego momentu pędu, wtedy jednocząstkowe kombinacje stanów neutronów zetowe określamy:

(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)

Spin całkowity w reakcji w (3.11) jest równy S=0,1, zatem z kombinacji (3.12), (3.13), (3.14) i (3.15) zetowe współrzędne spinów wynoszą Sz=-1,0,+1. Stan (3.15) jest singletem, tzn. ona zmienia znak przy zamianie funkcji falowych, czyli jest antysymetryczny.

Parzystości pionów obojętnych w reakcjach[edytuj]

Aby wyznaczyć parzystość pionu obojętnego rozpatrzmy reakcję π0→2γ. Niech niech to będą wektory pędu fotonów, a niech niech to będą wektory polaryzacji, czyli wektorami natężenia pola elektrycznego. Liczba kwantowa moment pędu w reacji napisanej na poczatku tego rozdziału jest równa J=0, a stan końcowy przedstawia dwa identyczne bozony. Funkcje falowe tych bozonów możemy przedstawić w dwojaki sposób: ,, gdzie A i B są opewnymi stałym i, a φ jest to wielkość skalarna, która jest parzysta względem inwersji przestrzennej. Prawdopodobieństwa dla kąta pomiędzy płaszczyznami polaryzacji przedstawiamy jako funkcję proporcjonalną do kwadratu sinusa z φ, czyli I(φ)~sin2φ. Czasami rozpatruje się reakcje, w których następuje wewnętrzna konwersja każdego fotonu, typu:

(3.16)

Częstość takich polaryzacji jest w reakcji rozpadu pionu nienaładowanego π0→2γ jest z oczywistych względów jest α2≈10-4.

Spin i parzystość cząstek zapisujemy w sposób: Jp, i jeśli 0- mówimy, że cząstki są cząstkami opisujących funkcjami psełdoskalarnymi, bo jest opisywana funkcją o właściwościach transfomacyjnych, które mają właściwości psełdoskalara. Natomiast cząstki o spinie i parzystości J=0+ jest cząstką skalarną, a Jp=1- opisuje cząstki wektorowe, a Jp=1+ opisuje cząstki o funkcjach falowych psełdowektorowych.

Doświadczenia sprawdzające parzystość cząstek i ich antycząstek[edytuj]

Wewnętrzna parzystość fermionu jest kwestą umowy, a jego względna wartość jest ściśle określona. Produkcja fermion-antyfermion jest dobrze określona, zatem wewnętrzna parzystość fermion-antyfermion powinna być dobrze określona i być wielkością, którą można dobrze zmierzyć. Według kwantowej teorii Diraca fermion i antyfermion powinny mieć dobrze określone przeciwne parzystości, co zostało potwierdzone przez Wu i Shaknowa dla przypadku pozytonium e+e-. Odległość pomiędzy tymi dwoma cząstkami powinna być dwukrotnie mniejsza niż w stanie elektronowym opisywanych według modelu Bohra, ze względu na czynnik 2 występujący w masie zredukowanej. Stan podstawowy naszego układu 1S0 jest singletem spinowym, ten stan ulega rozpadowi na dwa fotony γ.

(Rys. 3.1) Doświadczenie zastosowujące metodę Wu i Shaknova (1950) z licznika S2 fotonu padają na kostkę rozpraszającą i wyniku czego część promieniowania pada na źródło 64Cu, które potem padają na licznik S1 pod kątem φ względem osi zetowej.

Doświadczenie jakie przeprowadzili Wu i Shaknow w 1950 jest taki, że z S1 i S2, w którym znajduje się licznik antracenowy, są tam mierzone częstości koincydencji kwantów γ, które są rozpraszane w blokach glinu względem kąta azymutalnego φ. Z teorii przewidywana anizotropia jest funkcją kąta biegunowego rozpraszania i dochodzi do maksimum dla kąta φ=81o. Pomiary dały wartości jako stosunek częstości dla kąta 90 stopni przez współczynnik częstości dla kąta zerowego i dały wyniki doświadczeń dały wartość 2,04±0,08. Co jest bliskie przewidywaniu teoretycznym, który wynosi 2,00, co dowodzi prostopadłe ustawienie polaryzacji kwantów γ, co stąd wynika, że fermiony i antyfermiony mają przeciwnie ustawienia parzystości.

Złamanie zasady zachowania parzystości w doświadczeniach[edytuj]

(Rys. 3.2) a) Neutrino lewoskrętne,b) neutrino w wyniku inwersji przestrzennej (a) przechodzi w neutrino prawoskrętne (RH), które nie istnieje we wszechświecie.

Oddziaływania silne i elektromagnetyczne zachowują parzystość, natomiast słabe już nie. Złamanie symetrii w oddziaływaniach słabych można pokazać na przykładzie neutrina,. który ma spin 1/2. Weźmy sobie neutrino, który ma skrętność lewoskrętną, jeżeli przy odbiciu aksjalnym wektor pędu neutrina zmienia się na przeciwny, a σ już nie, co otrzymujemy neutrino lewoskrętne, co w przyrodzie nie znajduje się. W doświadczeniach, w których bada się oddziaływania silne i elektromagnetyczne również obserwuje się efekty naruszenia parzystości, ale to występowanie w skali jest niezwykle małe. Hamiltonian układu dla danego przypadku piszemy jako:

(3.17)

W oddziaływaniach jądrowych stosunek oddziaływań słabych do silnych jest 10-7, co można zilustrować na przykładzie 19F*→19F+γ(110keV), co w stanie początkowym parzystość jest ujemna, a w stanie końcowym parzystość jest dodatnia, ale spin pozostaje ten sam, w którym następuje mieszanie stanów o różnej parzystości. Asymetria co do wektora polaryzacji jest w naszym przypadku Δ=-(18±9)⋅10-5. Innym przykładem złamania parzystości jest rozpad α stanu 16O* o energii 8,87 MeV (16O*12C+α). Spin w tym rozpadzie pozostaje zachowany, a parzystość już nie, ona zmienia się z wielkości ujemnej do dodatniej. Szerokość dla tego rozpadu jest Γa=(1,0±0,3)⋅10-10eV, co jest zgodne z przewidywaniami, jeśli będziemy to porównywać z rozpadem elektromagnetycznym 16O*16O+γ, jest rzędu 3⋅10-3 eV.

Zasada zachowania w przypadku sprzężenia ładunkowego[edytuj]

Sprzężenie ładunkowe zmienia znak ładunku i momentu magnetycznego na przeciwny mając te same współrzędne (bez inwersji). W elektrodynamice Maxwella sprzężenie ładunkowe wiąże się zmienianiem ładunku (gęstości objętościowej ładunku), natężenia prądu (gęstości natężenia prądu). W relatywistycznej mechanice kwantowej zmiana ładunku wiąże się, ze zmianą cząstki w antycząstkę, tzn. np. E-→e+. Dla biarionów i leptonów zmiana ładunku na przeciwny wiąże się ze zmianą liczby leptonowej i barionowej. W oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych są niezmiennicze względem transformacji sprzężenia ładunkowego. Dla przypadku, gdy mamy zderzenia protonu i antyprotonu przekroje czynne na produkcję dodatnio i ujemnie naładowanych mezonów w reakcjach:

(3.18)

zauważono mniej niż 1% naruszenia sprzężenia ładunkowego. Operatorem sprzężenia ładunkowego możemy działać tylko na obojętne bozony, jeśli dokonalibyśmy sprzężenia ładunkowego na funkcję falową dodatniego pionu to w takim razie otrzymalibyśmy by: C|π+>→|π->≠±|π+>, Stąd dochodzimy do wniosku, że stanu naładowanych pionów nie mogą być funkcjami własnymi sprzężenia ładunkowego, natomiast stan własny pionu obojętnego już tak, bo zachodzi:

(3.19)
(Rys. 3.3) Transformacja parzystości P i sprzężenia ładunkowego P oraz operacja parzystości i sprzężenia ładunkowego

Aby ustalić znak w ostatnim działaniu musimy stwierdzić, że ładunki zmieniają znak pod wpływem sprzężenia ładunkowego C, zatem foton ma własność sprzężenia ładunkowego równej C=-1. Podobnie jak parzystość, sprężenie ładunkowe jest wielkością multiplikatywną, zatem dla n fotonów parzystość ładunkowa jest:

(3.20)

Pion ujemny rozpada się na dwa fotony, tzn. π0→2γ, zatem w naszym przypadku dodatnie sprzężenie ładunkowe równe jest C=1, stąd rozpad na trzy fotony jest zabroniony, ze względu na sprtzężenie ładunkowe, doświadczalnie stosunek, na rozpady na trzy fotony i na dwa fotony jest mniejszy niż 3⋅10-8. Weźmy sobie rozpad mezonu η:

(3.21)

to wtedy taki rozpad, w stosunku, gdy η rozpadnie się na cokolwiek jest mniejsze niż 4⋅10-5. Działanie sprzężenia ładunkowego przeprowadza neutrino lewoskrętne ν na prawoskrętne, które jest nieobserwowalne w przyrodzie, bo mamy wtedy do czynienia z oddziaływaniami słabymi. Jeśli jednak to ostanie neutrino podziałamy jeszcze sprzężeniem ładunkowym to otrzymamy neutrino prawoskrętne obserwowalne w przyrodzie, natomiast gdy podziałamy neutrino lewoskrętne jednocześnie operatorem parzystości i sprzężenia ładunkowego, to otrzymamy potem antyneutrino obserwowalne w przyrodzie, co na tej podstawie możemy powiedzieć:

(3.22)

Niezmienniczość względem zachowania, a zachowalność ładunku elektrycznego[edytuj]

Przyjmuje się, że zasada zachowania ładunku jest ściśle zachowana, ale przyjmijmy taki proces, w którym nie jest spełniona, wtedy ograniczenie na stosunek przez jest mniejszy niż 9⋅10-24. Stąd wniosek, że zasada zachowania ładunku prawdopodobnie jest spełnioa. Załóżmy proces, w którym jest stwarzany ładunek, potrzeba na to energii W, i wtedy energia potencjalna tego ładunku w tym potencjale jest równa Qφ. Jeśli przeniesiemy ten ładunek w inne miejsce, co za tym idzie zmiana energii potencjalnej o wartość Q(φ-φ'). Jeżeli ten ładunek unicestwiamy, trzeba oddać oddać pracę W, zatem z zasady zachowania energii mamy W-W+Q(φ-φ'), stąd na podstawie zasady zachowania energii ładunek nie może powstać z niczego dostarczając punktowi energię W. Liczba falowa opisująca falę o pędzie i energii E wiedząc, że i , jest równa:

(3.23)

Uwzględniając czteropotencjał A funkcję (3.23) piszemy jako funkcję eksponencjalną zależną od pędu i czteropotencjału:

(3.24)

Ale jeszcze na dodatek, jeśli dokonamy transformacji i , wtedy funkcję falową (3.24), która nie zależy od θ, piszemy w postaci:

(3.25)

Weźmy sobie pochodną kowariantną, która zależy od czteropoptencjału wiedząc, że zachodzi A=(A,icρ), wtedy możemy zdefiniować pochodną kowariantną zależną od czteropotencjału, w sposób:

(3.26)

Kwantowa liczba izospinowa, a symetria izospinowa[edytuj]

W roku 1932 Heisenberg zauważył, że neutron i proton, to jest w zasadzie jedna cząstka, różniące się stanem. Istnieją dwa różne stany tej samej cząstki dla omawianego nukleonu, dla protonu izospin wynosi 1/2, a dla neutronu -1/2. Ładunek nukleonu jest pisany poprzez:

(3.27)

Izospin jest liczbą kwantową, która jest wielkością zachowalną. Oddziaływania silne zależą od spinu cząstki, a od izospinu już nie. Izospin I można sobie wyobrazić jako wektor w przestrzeni trójwymiarowej o składowych I1, I2, I3. Oddziaływania elektromagnetyczne nie jest zachowany izospin I. Przestawmy sobie przykład:

(3.28)

w którym izospin wynosi I3=+1, ale już dla

(3.29)

w którym izospin jest napisany liczbą I3=-1, dla dla pionu obojętnego:

(3.30)

w którym izospin wynosi I3=0. Masa pionu dodatnio naładowanego wynosi 140 MeV, a według symetrii względem sprzężenia ładunkowego C mamy taką samą masę dla pionu ujemnie naładowanego. Dla pionu obojętnego masa jego jest równa 135 MeV. Trzem stanom pionów (naładowanego,obojętnego) można przyporządkować tryplet I=1, co odpowiadają im zetowe współrzędne izospinów I3=+1,0,-1.

Układ dwóch nukleonów oraz układ pion i nukleon, a zasada zachowania izospinu[edytuj]

Stany izospinowe opisujemy tym samym sposobem, co w przypadku funkcji falowych zależnych od współrzędnych przestrzennych, w n naszym przypadku funkcja falowa izospinu jest zapisywana:

(3.31)
(3.32)
(3.33)
(3.34)

Stany (3.31), (3.32) i (3.33) są to stanu trypletu I=1, a (3.35) jest to stan singletu I=0 asymetrycznym ze względu na zamianę miejsc 1↔2. Całkowitą funkcję falową układu cząstek piszemy jako funkcję falową przestrzenną, spinową i izospinową, który zapisujemy mając na celu, że orbitalny i spinowy moment pędu możemy skwantować niezależnie, ale w sposób nierelatywistyczny.

(3.35)

Funkcja falowa φ(przestrzen) odpowiedzialna za symetrie ma symetrię (-1)l. W deuteronie funkcja φ znajduje się w stanie l=0 z niewielką domieszką l=2, stąd wynika, że φ(przestrzen) jest funkcją asymetryczną, stąd aby zapewnić asymetrię funkcji ψ to funkcja izospinowa musi być asymetryczna. Możemy rozpatrywać reakcje p+p→d+π+ i p+n→d+π0. W tej pierwszej reakcji izospin w stanie początkowym wynosi I=1, a w stanie końcowym deuteron ma izospin równy zero, a naładowany pion powinien mieć izospin równy I=1, czyli izospin jest zachowany. Rozpatrzmy tą drugą reakcję, wtedy izospin w stanie początkowym jest I=0 lub 1, a w stanie końcowym deuteron ma izospin równy zero, a obojętny pion ma izospin równy zero. w tej reakcji stan I=0 występuje z 50%, a stan I=1 też z 50% nastawieniem. Zatem iloraz przekroju czynnego drugiej reakcji przez przez przekrój czynny pierwszej reakcji jest równy połowie jedynki. Zasada zachowania izospinu z oczywistych względów dla cząstek rozróżnialnych w oddziaływaniach silnych. Rozpatrzmy reakcje π++p→π++p oraz π-+n→π-+n. Mają trzecią składową izospinu I3 równą ±3/2, który jest opisywany z amplitudą I=3/2. Rozpatrzmy dodatkowo procesy, które przepiszemy π-+p→π-+p, π-+p→π0+n, π++n→π++n, π++n→π0+p mają izospin I3=±1/2, i je można opisywać za pomocą amplitud I=1/2 lub I=3/2. Wagi z jakimi występują te dwa typy amplitud jest dany przez współczynniki Clebscha-Gordona:

Pion
Nukleon
π+p1
π+n
π0p
π0n
π-p
π-n1

Dalej rozważmy sytuację rozpraszania elastycznego (i) π++p→π++p, (ii) π-+p→π-+p i reakcję wymiany ładunkowej (iii) π-+p→π0+n, wiemy, że przekrój czynny jest równy kwadratowi modułu elemntu macierzowego reprezentującego stan początkowy (oznaczenie i) i stan końcowy (oznaczenie f), gdzie H jest operatorem izospinowym równym H1, co on reprezentuje stan poczatkowy i końcowy z izospinem I=1/2, a H3, gdy reprezentuje stan I=3/2. Na podstawie zasady zachowania izospinu wnioskujemy, że nie istnieje operator przechodzący stan początkowy ze stanem końcowym o innym izospinie. Połóżmy:

(3.36)
(3.37)

W pierwszym stanie (i) stan występuje ze spinem I=3/2 i I3=+3/2, czyli σif=K|M3|2, którym w tym naszym przypadku K jest pewną stałą. W przypadku (ii) mamy:

(3.38)

wtedy . Dla stanu (iii) możemy napisać funkcje falowe reprezentujące stan początkowy i końcowy:

(3.39)
(3.40)

wtedy przekrój czynny na zajście (iii) jest

Zasada zachowania izospinu, dziwności i hiperładunku[edytuj]

Mając Q jako ładunek cząstki Q, wtedy go możemy przedstawić w zależności od izospinu, liczby barionowej i dziwności, wiedząc, że Y=B+S jest hiperładunkiem, w sposób:

(3.41)

Przedstawimy teraz tablekę przedstawiającą, czy są spełnione zasady zachowania poszczególnych wielkości w oddziaływaniach silnych, elektromagnetycznych i słabych:

Wielkość zachowana
Oddziaływania w przyrodzie (bez grawitacyjnego)
silne elektromagnetycznesłabe
czteropędtaktaktak
ładunek
liczba barionowa
liczba leptonowa
Ptaktaknie
Ctaktaknie
CP (lub T)taktakłamana
CPTtaktaktak
I (izospin)taknienie