Wstęp do fizyki cząstek elementarnych/Zasady zachowania wynikające z zasad niezmienniczości

Zasady zachowania wynikające z zasad niezmienniczości

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przedstawimy tutaj różnego rodzaju symetrię równań opisujących dany układ równań. Rozpatrywać będziemy transformacje dyskretne, a także i ciągłe.

Wprowadzenie do operatorów translacji

Gdy na układ nie działają żadne siły zewnętrzne, to pęd i energia całkowita nie zmieniają się w czasie, zatem rozpatrzmy przesunięcie funkcji skalarnej ψ zależącej od wektora wodzącego ${\vec {r}}\;$.

$\psi ({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})=\psi ({\vec {r}})+\delta {\vec {r}}{{\partial \psi ({\vec {r}})} \over {\partial {\vec {r}}}}=\left(\underbrace {1+\delta {\vec {r}}{{\partial } \over {\partial {\vec {r}}}}} _{D}\right)\psi ({\vec {r}})=D\psi ;\;$

(3.1)

Jeżeli układ będzie się składał z superpozycji nieskończenie małych superpozycjii, to całkowite przesunięcie przesuniemy poprzez wzór $\Delta {\vec {r}}=n\delta {\vec {r}}\;$, wtedy całkowity operator przesunięcia piszemy poprzez:

$D=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{{i\Delta {\vec {r}}{\vec {p}}} \over {n\hbar }}\right)=e^{i\Delta {\vec {r}}{\vec {p}}/\hbar }\;$

(3.2)

Wprowadzenie do operatorów obrotów

Operator obrotu przy infinitezymalnym obrocie, tzn. skończony obrót jest sumą poszczególnych infitezymalnych obrotów $\Delta \phi =n\delta \phi \;$, co na tej podstawie otrzymujemy:

$R=1+\delta \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}=1+{{\Delta \phi } \over {n}}{{\partial } \over {\partial \phi }}=1+{{\Delta \phi } \over {-in\hbar }}\left(-i\hbar {{\partial } \over {\partial \phi }}\right)=1+i{{\Delta \phi } \over {n\hbar }}{\hat {J}}_{z}\;$

(3.3)

I wiedząc coś o operatorze momentu pędu (MK-6.56) całkowity operator obrotu o skończony kąt jest to iloczyn poszczególnych infinitezymalnych przesunięć, wtedy możemy pisać:

$R=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{{i\Delta \phi J_{z}} \over {n\hbar }}\right)^{n}=e^{i\Delta \phi {\hat {J}}_{z}/\hbar }\;$

(3.4)

Parzystość funkcji falowych (inwersja)

Transformacja dyskretna, którą jest inwersja przestrzeni mamy przekształcenia ${\vec {r}}\rightarrow -{\vec {r}}\;$. Z tą operacją wiąże się operator parzystości, którego działanie na funkcję $\psi ({\vec {r}})\;$, piszemy jako:

${\hat {P}}\psi ({\vec {r}})=\psi (-{\vec {r}})\;$

(3.5)

Wartość własna operatora parzystości odpowiada wartość bezwzględna z jedynki, czyli P=±1. W układzie kulistym transformacji ${\vec {r}}\rightarrow -{\vec {r}}\;$ jest równoważna transforfmacji θ→π+θ i φ→π-θ, co daje nam w rezultacie $e^{im\theta }\rightarrow e^{im(\pi +\theta )}=e^{im\pi }e^{im\theta }=(-1)^{m}e^{im\theta }\;$, ale dalej funkcję $P_{l}^{m}(cos\phi )\;$ możemy napisać w sposób: $P_{l}^{m}(cos\phi )\rightarrow P_{l}^{m}(cos(\pi -\phi ))=(-1)^{l+m}P_{l}^{m}(\cos \phi )\;$. Zatem po działaniu operatorem parzystości na harmoniki sferyczne, otrzymujemy:

$Y_{l}^{m}(\phi ,\theta )\rightarrow Y_{l}^{m}(\pi -\phi ,\pi +\theta )=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\phi ,\theta )\;$

(3.6)

Harmoniki sferyczne mają parzystość (-1)^l, co na to wychodzi, że stany s, d, g, ... mają parzystość dodatnią, a stany p, f, h, ... mają parzystość ujemną. Przy przejściach elektrycznych dipolowych zmiana parzystości podlega regule Δl=±1. Aby parzystość układu atom plus foton była zachowana to parzystość fotonu powinna być równa -1. Parzystość jest liczbą kwantową multiplikatywną, tzn. spełnia parzystość ψ=θ_aθ_b.... W przypadku oddziaływań oddziaływania silnego i elektromagnetycznego liczba kwantowa parzystości jest zachowana. Przykładem reakcji z oddziaływaniem silnym jest p+p→π⁺+p+n, aby parzystość takiego układu reakcyjnego była spełniona pionowi przepisuje się parzystość wewnętrzną i jest ona równa -1, czyli P_π=-1. Parzystość protonu i neutronu przepisuje się liczbę P_n,p=-1. Przykładem reakcji, w których produkowane są cząstki dziwne zawierające kwark dziwny i antydziwny, które są w reakcji produkowane stowarzyszono, tzn. w reakcji p+p→K⁺+Λ+p produkowane są cząstki oczywiście o dziwności S=-1, a także o dziwności S=-1. Względna zmiana parzystości w stosunku do nukleonu jest równa minus jeden.

Właściwości pionu (spin i parzystość) naładowanego π^± i obojętnego π⁰

Będziemy tutaj badali spin i parzystość i przekroje czynne, w której występują piony naładowane i obojętne w różnego rodzaju typu reakcjach.

Spin pionów naładowanych w reakcjach

Weźmy reakcję, która jest odwracalna, w których spin pionu wyznaczono z pomiaru przekroju czynnego reakcji:

$p+p\leftrightarrow \pi ^{+}+d\;$

(3.7)

Jeśli będziemy rozważać reakcję (3.7) z reakcją w wprost i reakcją odwrotną przy tej samej energii w układzie środka masy, wtedy elementy macierzowe naszej reakcji |M_if|²=|M_if|², co na tej podstawie przekrój czynny na zachodzenie reakcji wprost i odwrotnej w układzie środka masy jest:

$\sigma _{pp\rightarrow \pi ^{+}d}\sim (2s_{\pi }+1)(2s_{d}+1)p_{\pi }^{2}\;$

(3.8)

$\sigma _{\pi ^{+}d\rightarrow pp}\sim {{1} \over {2}}(2s_{p}+1)^{2}p_{p}^{2}\;$

(3.9)

W reakcji odwrotnej (3.7), którego przekrój czynny jest (3.9) występuje czynnyk ${{1} \over {2}}\;$, bo dwa protony w układzie środka masy są nierozróżnialne. Na podstawie tego okazało się, że spin dla pionu naładowanego jest równy zero s_π=0. Jeżeli będziemy rozpatrywać piony obojętne , wtedy rozpad tego pionu następuje na dwa fotonu γ jest:

$\pi ^{0}\rightarrow 2\gamma \;$

(3.10)

Całkowity spin reakcji (3.11) pozostaje niezmieniony.

Parzystość pionów naładowanych w reakcjach

Rozpatrzmy reakcję z pionem naładowanym ujemnie z jądrem tarczą deuteronu d, w której powstają dwa neutrony, tzn.:

$\pi ^{-}+d\rightarrow n+n\;$

(3.11)

Spin deuteronu wynosi s_d wynosi jeden, a pionu s_π=0, to całkowity moment pędu tej reakcji (3.11) w stanie początkowym dla substratów wynosi jeden. Funkcją falową stanu danej cząstki piszemy w jako ψ=φ(x,y,z)α(spin). I oznaczmy zetową współrzędną skierowaną do góry lub do dołu całkowitego momentu pędu, wtedy jednocząstkowe kombinacje stanów neutronów zetowe określamy:

$\alpha (1,1)=\uparrow \uparrow \;$

(3.12)

$\alpha (1,0)={{1} \over {\sqrt {2}}}\left(\uparrow \downarrow +\downarrow \uparrow \right)\;$

(3.13)

$\alpha (1,-1)=\downarrow \downarrow \;$

(3.14)

$\alpha (0,0)={{1} \over {\sqrt {2}}}\left(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow \right)\;$

(3.15)

Spin całkowity w reakcji w (3.11) jest równy S=0,1, zatem z kombinacji (3.12), (3.13), (3.14) i (3.15) zetowe współrzędne spinów wynoszą S_z=-1,0,+1. Stan (3.15) jest singletem, tzn. ona zmienia znak przy zamianie funkcji falowych, czyli jest antysymetryczny.

Parzystości pionów obojętnych w reakcjach

Aby wyznaczyć parzystość pionu obojętnego rozpatrzmy reakcję π⁰→2γ. Niech ${\vec {k}},-{\vec {k}}\;$, to będą wektory pędu fotonów, a niech ${\mathfrak {(}}e)_{1},{\mathfrak {e}}\;$, to będą wektory polaryzacji, czyli wektorami natężenia pola elektrycznego. Liczba kwantowa moment pędu w reacji napisanej na poczatku tego rozdziału jest równa J=0, a stan końcowy przedstawia dwa identyczne bozony. Funkcje falowe tych bozonów możemy przedstawić w dwojaki sposób: $\psi _{1}(2\gamma )=A({\mathfrak {e}}_{1}\times {\mathfrak {\epsilon }})\sim \cos \phi \;$, $\psi _{2}(2\gamma )=B({\mathfrak {e}}_{1}\times {\mathfrak {e}}_{2})\cdot {\vec {k}}\sim \sin \phi \;$, gdzie A i B są opewnymi stałym i, a φ jest to wielkość skalarna, która jest parzysta względem inwersji przestrzennej. Prawdopodobieństwa dla kąta pomiędzy płaszczyznami polaryzacji przedstawiamy jako funkcję proporcjonalną do kwadratu sinusa z φ, czyli I(φ)~sin²φ. Czasami rozpatruje się reakcje, w których następuje wewnętrzna konwersja każdego fotonu, typu:

$\pi ^{0}\rightarrow (e^{+}+e^{-})+(e^{+}+e^{-})\;$

(3.16)

Częstość takich polaryzacji jest w reakcji rozpadu pionu nienaładowanego π⁰→2γ jest z oczywistych względów jest α²≈10^-4.

Spin i parzystość cząstek zapisujemy w sposób: J^p, i jeśli 0^- mówimy, że cząstki są cząstkami opisujących funkcjami psełdoskalarnymi, bo jest opisywana funkcją o właściwościach transfomacyjnych, które mają właściwości psełdoskalara. Natomiast cząstki o spinie i parzystości J=0⁺ jest cząstką skalarną, a J^p=1^- opisuje cząstki wektorowe, a J^p=1⁺ opisuje cząstki o funkcjach falowych psełdowektorowych.

Doświadczenia sprawdzające parzystość cząstek i ich antycząstek

Wewnętrzna parzystość fermionu jest kwestą umowy, a jego względna wartość jest ściśle określona. Produkcja fermion-antyfermion jest dobrze określona, zatem wewnętrzna parzystość fermion-antyfermion powinna być dobrze określona i być wielkością, którą można dobrze zmierzyć. Według kwantowej teorii Diraca fermion i antyfermion powinny mieć dobrze określone przeciwne parzystości, co zostało potwierdzone przez Wu i Shaknowa dla przypadku pozytonium e⁺e^-. Odległość pomiędzy tymi dwoma cząstkami powinna być dwukrotnie mniejsza niż w stanie elektronowym opisywanych według modelu Bohra, ze względu na czynnik 2 występujący w masie zredukowanej. Stan podstawowy naszego układu ¹S₀ jest singletem spinowym, ten stan ulega rozpadowi na dwa fotony γ.

(Rys. 3.1) Doświadczenie zastosowujące metodę Wu i Shaknova (1950) z licznika S2 fotonu padają na kostkę rozpraszającą i wyniku czego część promieniowania pada na źródło ⁶⁴Cu, które potem padają na licznik S1 pod kątem φ względem osi zetowej.

Doświadczenie jakie przeprowadzili Wu i Shaknow w 1950 jest taki, że z S1 i S2, w którym znajduje się licznik antracenowy, są tam mierzone częstości koincydencji kwantów γ, które są rozpraszane w blokach glinu względem kąta azymutalnego φ. Z teorii przewidywana anizotropia jest funkcją kąta biegunowego rozpraszania i dochodzi do maksimum dla kąta φ=81^o. Pomiary dały wartości jako stosunek częstości dla kąta 90 stopni przez współczynnik częstości dla kąta zerowego i dały wyniki doświadczeń dały wartość 2,04±0,08. Co jest bliskie przewidywaniu teoretycznym, który wynosi 2,00, co dowodzi prostopadłe ustawienie polaryzacji kwantów γ, co stąd wynika, że fermiony i antyfermiony mają przeciwnie ustawienia parzystości.

Złamanie zasady zachowania parzystości w doświadczeniach

(Rys. 3.2) a) Neutrino lewoskrętne,b) neutrino w wyniku inwersji przestrzennej (a) przechodzi w neutrino prawoskrętne (RH), które nie istnieje we wszechświecie.

Oddziaływania silne i elektromagnetyczne zachowują parzystość, natomiast słabe już nie. Złamanie symetrii w oddziaływaniach słabych można pokazać na przykładzie neutrina,. który ma spin 1/2. Weźmy sobie neutrino, który ma skrętność lewoskrętną, jeżeli przy odbiciu aksjalnym wektor pędu neutrina zmienia się na przeciwny, a σ już nie, co otrzymujemy neutrino lewoskrętne, co w przyrodzie nie znajduje się. W doświadczeniach, w których bada się oddziaływania silne i elektromagnetyczne również obserwuje się efekty naruszenia parzystości, ale to występowanie w skali jest niezwykle małe. Hamiltonian układu dla danego przypadku piszemy jako:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{silne}+{\hat {H}}_{elektromagnetyczne}+{\hat {H}}_{slabe}\;$

(3.17)

W oddziaływaniach jądrowych stosunek oddziaływań słabych do silnych jest 10^-7, co można zilustrować na przykładzie ¹⁹F*→¹⁹F+γ(110keV), co w stanie początkowym parzystość jest ujemna, a w stanie końcowym parzystość jest dodatnia, ale spin pozostaje ten sam, w którym następuje mieszanie stanów o różnej parzystości. Asymetria co do wektora polaryzacji jest w naszym przypadku Δ=-(18±9)⋅10^-5. Innym przykładem złamania parzystości jest rozpad α stanu ¹⁶O^* o energii 8,87 MeV (¹⁶O^*→¹²C+α). Spin w tym rozpadzie pozostaje zachowany, a parzystość już nie, ona zmienia się z wielkości ujemnej do dodatniej. Szerokość dla tego rozpadu jest Γ_a=(1,0±0,3)⋅10^-10eV, co jest zgodne z przewidywaniami, jeśli będziemy to porównywać z rozpadem elektromagnetycznym ¹⁶O^*→¹⁶O+γ, jest rzędu 3⋅10^-3 eV.

Zasada zachowania w przypadku sprzężenia ładunkowego

Sprzężenie ładunkowe zmienia znak ładunku i momentu magnetycznego na przeciwny mając te same współrzędne (bez inwersji). W elektrodynamice Maxwella sprzężenie ładunkowe wiąże się zmienianiem ładunku (gęstości objętościowej ładunku), natężenia prądu (gęstości natężenia prądu). W relatywistycznej mechanice kwantowej zmiana ładunku wiąże się, ze zmianą cząstki w antycząstkę, tzn. np. E^-→e⁺. Dla biarionów i leptonów zmiana ładunku na przeciwny wiąże się ze zmianą liczby leptonowej i barionowej. W oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych są niezmiennicze względem transformacji sprzężenia ładunkowego. Dla przypadku, gdy mamy zderzenia protonu i antyprotonu przekroje czynne na produkcję dodatnio i ujemnie naładowanych mezonów w reakcjach:

$p+{\overline {p}}\rightarrow \pi ^{+}+\pi ^{-}+\cdots \rightarrow K^{+}+K^{-}+\cdots \;$

(3.18)

zauważono mniej niż 1% naruszenia sprzężenia ładunkowego. Operatorem sprzężenia ładunkowego możemy działać tylko na obojętne bozony, jeśli dokonalibyśmy sprzężenia ładunkowego na funkcję falową dodatniego pionu to w takim razie otrzymalibyśmy by: C|π⁺>→|π^->≠±|π⁺>, Stąd dochodzimy do wniosku, że stanu naładowanych pionów nie mogą być funkcjami własnymi sprzężenia ładunkowego, natomiast stan własny pionu obojętnego już tak, bo zachodzi:

$C|\pi ^{0}\rangle =\pm 1|\pi ^{0}\rangle \;$

(3.19)

(Rys. 3.3) Transformacja parzystości P i sprzężenia ładunkowego P oraz operacja parzystości i sprzężenia ładunkowego

Aby ustalić znak w ostatnim działaniu musimy stwierdzić, że ładunki zmieniają znak pod wpływem sprzężenia ładunkowego C, zatem foton ma własność sprzężenia ładunkowego równej C=-1. Podobnie jak parzystość, sprężenie ładunkowe jest wielkością multiplikatywną, zatem dla n fotonów parzystość ładunkowa jest:

$C=(-1)^{n}\;$

(3.20)

Pion ujemny rozpada się na dwa fotony, tzn. π⁰→2γ, zatem w naszym przypadku dodatnie sprzężenie ładunkowe równe jest C=1, stąd rozpad na trzy fotony jest zabroniony, ze względu na sprtzężenie ładunkowe, doświadczalnie stosunek, na rozpady na trzy fotony i na dwa fotony jest mniejszy niż 3⋅10^-8. Weźmy sobie rozpad mezonu η:

$\eta \rightarrow \pi ^{0}+e^{+}+e^{-}\;$

(3.21)

to wtedy taki rozpad, w stosunku, gdy η rozpadnie się na cokolwiek jest mniejsze niż 4⋅10^-5. Działanie sprzężenia ładunkowego przeprowadza neutrino lewoskrętne ν na prawoskrętne, które jest nieobserwowalne w przyrodzie, bo mamy wtedy do czynienia z oddziaływaniami słabymi. Jeśli jednak to ostanie neutrino podziałamy jeszcze sprzężeniem ładunkowym to otrzymamy neutrino prawoskrętne obserwowalne w przyrodzie, natomiast gdy podziałamy neutrino lewoskrętne jednocześnie operatorem parzystości i sprzężenia ładunkowego, to otrzymamy potem antyneutrino obserwowalne w przyrodzie, co na tej podstawie możemy powiedzieć:

$CP|\nu _{L}\rangle \rightarrow |{\tilde {\nu }}_{R}\rangle \;$

(3.22)

Niezmienniczość względem zachowania, a zachowalność ładunku elektrycznego

Przyjmuje się, że zasada zachowania ładunku jest ściśle zachowana, ale przyjmijmy taki proces, w którym nie jest spełniona, wtedy ograniczenie na stosunek $n\rightarrow p+\nu _{e}+{\tilde {\nu }}_{e}\;$ przez $n\rightarrow p+e^{-}+{\tilde {\nu }}_{e}\;$ jest mniejszy niż 9⋅10^-24. Stąd wniosek, że zasada zachowania ładunku prawdopodobnie jest spełniona. Załóżmy proces, w którym jest stwarzany ładunek, potrzeba na to energii W, i wtedy energia potencjalna tego ładunku w tym potencjale jest równa Qφ. Jeśli przeniesiemy ten ładunek w inne miejsce, co za tym idzie zmiana energii potencjalnej o wartość Q(φ-φ^'). Jeżeli ten ładunek unicestwiamy, trzeba oddać oddać pracę W, zatem z zasady zachowania energii mamy W-W+Q(φ-φ^'), stąd na podstawie zasady zachowania energii ładunek nie może powstać z niczego dostarczając punktowi energię W. Liczba falowa opisująca falę o pędzie ${\vec {p}}\;$ i energii E wiedząc, że $p=\left({\vec {p}},i{{E} \over {c}}\right)\;$ i $x=({\vec {x}},it)\;$, jest równa:

$\psi =e^{i{{1} \over {\hbar }}({\vec {p}}{\vec {x}}-{{E} \over {c}}t)}=e^{i{{px} \over {\hbar }}}\;$

(3.23)

Uwzględniając czteropotencjał A funkcję (3.23) piszemy jako funkcję eksponencjalną zależną od pędu i czteropotencjału:

$\psi =e^{i{{px-eA} \over {\hbar }}}\;$

(3.24)

Ale jeszcze na dodatek, jeśli dokonamy transformacji $p\rightarrow p+{{\partial \theta } \over {\partial x}}\;$ i $A\rightarrow A+{{\partial \theta } \over {\partial x}}\;$, wtedy funkcję falową (3.24), która nie zależy od θ, piszemy w postaci:

$\psi =e^{i{{\left(p+e{{\partial \theta } \over {\partial x}}\right)x-e\left(A+{{\partial \theta } \over {\partial x}}\right)} \over {\hbar }}}=e^{i{{px-eA} \over {\hbar }}}\;$

(3.25)

Weźmy sobie pochodną kowariantną, która zależy od czteropoptencjału wiedząc, że zachodzi A=(A,icρ), wtedy możemy zdefiniować pochodną kowariantną zależną od czteropotencjału, w sposób:

$D={{\partial } \over {\partial x}}-i{{e} \over {\hbar }}A\;$

(3.26)

Kwantowa liczba izospinowa, a symetria izospinowa

W roku 1932 Heisenberg zauważył, że neutron i proton, to jest w zasadzie jedna cząstka, różniące się stanem. Istnieją dwa różne stany tej samej cząstki dla omawianego nukleonu, dla protonu izospin wynosi 1/2, a dla neutronu -1/2. Ładunek nukleonu jest pisany poprzez:

${{Q} \over {e}}={{1} \over {2}}+I_{3}\;$

(3.27)

Izospin jest liczbą kwantową, która jest wielkością zachowalną. Oddziaływania silne zależą od spinu cząstki, a od izospinu już nie. Izospin I można sobie wyobrazić jako wektor w przestrzeni trójwymiarowej o składowych I₁, I₂, I₃. Oddziaływania elektromagnetyczne nie jest zachowany izospin I. Przestawmy sobie przykład:

$\pi ^{+}=u{\overline {d}}\;$

(3.28)

w którym izospin wynosi I₃=+1, ale już dla

$\pi ^{-}=d{\underline {u}}\;$

(3.29)

w którym izospin jest napisany liczbą I₃=-1, dla dla pionu obojętnego:

$\pi ^{0}={{1} \over {\sqrt {2}}}\left(d{\overline {d}}-u{\overline {u}}\right)\;$

(3.30)

w którym izospin wynosi I₃=0. Masa pionu dodatnio naładowanego wynosi 140 MeV, a według symetrii względem sprzężenia ładunkowego C mamy taką samą masę dla pionu ujemnie naładowanego. Dla pionu obojętnego masa jego jest równa 135 MeV. Trzem stanom pionów (naładowanego,obojętnego) można przyporządkować tryplet I=1, co odpowiadają im zetowe współrzędne izospinów I₃=+1,0,-1.

Układ dwóch nukleonów oraz układ pion i nukleon, a zasada zachowania izospinu

Stany izospinowe opisujemy tym samym sposobem, co w przypadku funkcji falowych zależnych od współrzędnych przestrzennych, w n naszym przypadku funkcja falowa izospinu jest zapisywana:

$\chi (1,1)=p(1)p(2)\;$

(3.31)

$\chi (1,0)={{1} \over {\sqrt {2}}}[p(1)p(2)+n(1)p(2)]\;$

(3.32)

$\chi (1,-1)=n(1)n(2)\;$

(3.33)

$\chi (0,0)={{1} \over {\sqrt {2}}}[p(1)n(2)-n(1)p(2)]\;$

(3.34)

Stany (3.31), (3.32) i (3.33) są to stanu trypletu I=1, a (3.35) jest to stan singletu I=0 asymetrycznym ze względu na zamianę miejsc 1↔2. Całkowitą funkcję falową układu cząstek piszemy jako funkcję falową przestrzenną, spinową i izospinową, który zapisujemy mając na celu, że orbitalny i spinowy moment pędu możemy skwantować niezależnie, ale w sposób nierelatywistyczny.

$\psi (pelna)=\phi (przestrzen)\alpha (spin)\chi (izospin)\;$

(3.35)

Funkcja falowa φ(przestrzen) odpowiedzialna za symetrie ma symetrię (-1)^l. W deuteronie funkcja φ znajduje się w stanie l=0 z niewielką domieszką l=2, stąd wynika, że φ(przestrzen) jest funkcją asymetryczną, stąd aby zapewnić asymetrię funkcji ψ to funkcja izospinowa musi być asymetryczna. Możemy rozpatrywać reakcje p+p→d+π⁺ i p+n→d+π⁰. W tej pierwszej reakcji izospin w stanie początkowym wynosi I=1, a w stanie końcowym deuteron ma izospin równy zero, a naładowany pion powinien mieć izospin równy I=1, czyli izospin jest zachowany. Rozpatrzmy tą drugą reakcję, wtedy izospin w stanie początkowym jest I=0 lub 1, a w stanie końcowym deuteron ma izospin równy zero, a obojętny pion ma izospin równy zero. w tej reakcji stan I=0 występuje z 50%, a stan I=1 też z 50% nastawieniem. Zatem iloraz przekroju czynnego drugiej reakcji przez przez przekrój czynny pierwszej reakcji jest równy połowie jedynki. Zasada zachowania izospinu z oczywistych względów dla cząstek rozróżnialnych w oddziaływaniach silnych. Rozpatrzmy reakcje π⁺+p→π⁺+p oraz π^-+n→π^-+n. Mają trzecią składową izospinu I₃ równą ±3/2, który jest opisywany z amplitudą I=3/2. Rozpatrzmy dodatkowo procesy, które przepiszemy π^-+p→π^-+p, π^-+p→π⁰+n, π⁺+n→π⁺+n, π⁺+n→π⁰+p mają izospin I₃=±1/2, i je można opisywać za pomocą amplitud I=1/2 lub I=3/2. Wagi z jakimi występują te dwa typy amplitud jest dany przez współczynniki Clebscha-Gordona:

Pion	Nukleon	$I={{3} \over {2}}\;$				$I={{1} \over {2}}\;$
		$I_{3}={{3} \over {2}}\;$	${{1} \over {2}}\;$	$-{{1} \over {2}}\;$	$-{{3} \over {2}}\;$	${{1} \over {2}}\;$	$-{{1} \over {2}}\;$
π+	p	1
π+	n		${\sqrt {{1} \over {3}}}$			${\sqrt {{2} \over {3}}}\;$
π0	p		${\sqrt {{2} \over {3}}}$			$-{\sqrt {{1} \over {3}}}\;$
π0	n			${\sqrt {{2} \over {3}}}$			${\sqrt {{1} \over {3}}}\;$
π-	p			${\sqrt {{1} \over {3}}}$			$-{\sqrt {{2} \over {3}}}\;$
π-	n				1

Dalej rozważmy sytuację rozpraszania elastycznego (i) π⁺+p→π⁺+p, (ii) π^-+p→π^-+p i reakcję wymiany ładunkowej (iii) π^-+p→π⁰+n, wiemy, że przekrój czynny jest równy kwadratowi modułu elemntu macierzowego reprezentującego stan początkowy (oznaczenie i) i stan końcowy (oznaczenie f), gdzie H jest operatorem izospinowym równym H₁, co on reprezentuje stan poczatkowy i końcowy z izospinem I=1/2, a H₃, gdy reprezentuje stan I=3/2. Na podstawie zasady zachowania izospinu wnioskujemy, że nie istnieje operator przechodzący stan początkowy ze stanem końcowym o innym izospinie. Połóżmy:

$M_{1}=\langle \psi _{f}\left({{1} \over {2}}\right)|H_{1}|\psi _{i}\left({{1} \over {2}}\right)\rangle \;$

(3.36)

$M_{3}=\langle \psi _{f}\left({{3} \over {2}}\right)|H_{1}|\psi _{i}\left({{3} \over {2}}\right)\rangle \;$

(3.37)

W pierwszym stanie (i) stan występuje ze spinem I=3/2 i I₃=+3/2, czyli σ_if=K|M₃|², którym w tym naszym przypadku K jest pewną stałą. W przypadku (ii) mamy:

$|\psi _{i}\rangle =|\psi _{f}\rangle ={\sqrt {{1} \over {3}}}|\chi \left({{3} \over {2}},-{{1} \over {2}}\right)\rangle -{\sqrt {{2} \over {3}}}|\chi \left({{1} \over {2}},-{{1} \over {2}}\right)\rangle \;$

(3.38)

wtedy $\sigma _{b}=K|\langle \psi _{f}|H_{1}+H_{3}|\psi _{i}\rangle |\psi _{i}\rangle ^{2}=K|{{1} \over {3}}M_{3}+{{2} \over {3}}M_{1}|^{2}\;$. Dla stanu (iii) możemy napisać funkcje falowe reprezentujące stan początkowy i końcowy:

$|\psi _{i}\rangle ={\sqrt {{1} \over {3}}}|\chi ({{3} \over {2}},-{{1} \over {2}})\rangle -{\sqrt {{2} \over {3}}}|\chi ({{1} \over {2}},-{{1} \over {2}}\rangle \;$

(3.39)

$|\psi _{f}\rangle ={\sqrt {{2} \over {3}}}|\chi ({{3} \over {2}},-{{1} \over {2}})\rangle -{\sqrt {{1} \over {3}}}|\chi ({{1} \over {2}},-{{1} \over {2}}\rangle \;$

(3.40)

wtedy przekrój czynny na zajście (iii) jest $\sigma _{c}=K\left|{\sqrt {{2} \over {9}}}M_{3}-{\sqrt {{2} \over {9}}}M_{1}\right|^{2}\;$.

Zasada zachowania izospinu, dziwności i hiperładunku

Mając Q jako ładunek cząstki Q, wtedy go możemy przedstawić w zależności od izospinu, liczby barionowej i dziwności, wiedząc, że Y=B+S jest hiperładunkiem, w sposób:

${{Q} \over {e}}=I_{3}+{{B+S} \over {2}}=I_{3}+{{Y} \over {2}}\;$

(3.41)

Przedstawimy teraz tablekę przedstawiającą, czy są spełnione zasady zachowania poszczególnych wielkości w oddziaływaniach silnych, elektromagnetycznych i słabych:

Wielkość zachowana	Oddziaływania w przyrodzie (bez grawitacyjnego)
	silne		słabe
czteropęd	tak	tak	tak
ładunek
liczba barionowa
liczba leptonowa
P	tak	tak	nie
C	tak	tak	nie
CP (lub T)	tak	tak	łamana
CPT	tak	tak	tak
I (izospin)	tak	nie	nie