Mechanika kwantowa/Postulat pierwszy mechaniki kwantowej

Postulat pierwszy mechaniki kwantowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Postulat pierwszy mechaniki kwantowej (Pos.  6.1)
Każdej mierzalnej wielkości fizycznej przyporządkowany jest operator hermitowski, czyli spełniającego warunek:

$({\hat {A}}\varphi ,\psi )=(\varphi ,{\hat {A}}\psi )\;$

(6.1)

Współrzędne położenia i pędu w reprezentacji klasycznej i kwantowej

Teraz przedstawimy każdej wielkości fizycznej w przedstawieniu klasycznej jej odpowiednik w przedstawieniu kwantowym (operatorowym). W mechanice klasycznej uogólnione współrzędne wielkości położeniowej są w postaci q_i, w układzie kartezjańskim są to współrzędne x,y,z. Reprezentacji operatorowej weźmiemy jej odpowiednik w mechanice kwantowej, zatem w reprezentacji kwantowej mamy:

$q_{i}\cdot \;$

(6.2)

W układach kartezjańskich są to operatory obrazujące współrzędne kartezjańskie w postaci x⋅, y⋅, z⋅. Zwykle będziemy się posługiwać układem kartezjańskim przy definiowaniu pewnych operatorów i dopiero będziemy je przenosić do innych izomorficznych układów współrzędnych, np. biegunowych, walcowych, kulistych czy też sferycznych lub innych. W reprezentacji klasycznej współrzędną i-ta wektora uogólnionego pędu jest przedstawiana:

$p_{i}={{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}$

(6.3)

• gdzie:

$L\;$ jest to lagrangian cząstki,

$q_{i}\;$ jest to uogólnione położenie cząstki,

${\dot {q}}_{i}\;$ jest to uogólniona prędkość cząstki,

$p_{i}\;$ jest to pęd uogólniony.

Zwykle uogólniony pęd jest równy zwykłemu pędowi znane z mechaniki klasycznej Newtona, co udowodnimy poniżej. Lagrangian cząstki w polu potencjalnym jest równy:

$L=T-U={{1} \over {2}}m{\vec {v}}^{2}-U({\vec {r}})\;$

(6.4)

a według szczególnej teorii względności jest równy:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-U({\vec {r}})\;$

(6.5)

Udowodnjmy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła lagrangian w mechanice Einsteina lagrangian (6.5) przechodzi w lagrangian w mechanice Newtona (6.4) z dokładnością do stałej:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-U({\vec {r}})\simeq -m_{0}c^{2}\left(1-{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)-U({\vec {r}})=-m_{0}c^{2}+m_{0}{{v^{2}} \over {2}}-U({\vec {r}})\;$

(6.6)

Lagrangian (6.4) z dokładnością do stałej jest w przybliżeniu równy lagrangianowi (6.5) na podstawie obliczeń (6.6) dla naszych prędkości. Możemy skorzystać ze wzoru (6.3) podstawiając do niego powyższy Lagrangian, otrzymujemy klasyczny newtonowski i einsteinowski pęd cząstki na podstawie definicji lagrangianu w mechanice Newtona (6.4) i mechanice Einteina (szczególna teorias względności) (6.5):

${\vec {p}}=m{\dot {\vec {r}}}=m{\vec {v}}\;$

(6.7)

• gdzie $m\;$ jest to masa cząstki w mechanice klasycznej Newtona, a $m\;$ jest to masa relatywistyczna w mechanice Einsteina równa $m=m_{0}\gamma \;$.

Udowodniliśmy, że gdy w Lagrangianie $L\;$ nie ma dodatkowych członów związanych prędkościami cząstki, to pęd uogólniony (6.3) we współrzędnych kartezjańskim jest równy pędowi klasycznemu Newtonowskiemu podanych w ostatnim wzorze, ale nie zawsze musi tak być, bo w Lagrangianie mogą pojawić się dodatkowe człony zawierające wektory prędkości, jak np. w mechanice Newtona:

$L={{1} \over {2}}m{\vec {v}}^{2}-q\varphi +q{\vec {v}}{\vec {A}}\;$

(6.8)

i w mechanice Einsteina w szczególnej teorii względności:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q{\vec {v}}{\vec {A}}\;$

(6.9)

Udowodnijmy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła lagrangian w mechanice Einsteina (6.9) przechodzi w lagrangian w mechanice Newtona (6.8) z dokładnością do stałej, co dowód jest podobny do tego z lagrangianami Newtona (6.4) i Einsteina (6.5) wcześniej przeprowadzonej na podstawie obliczeń (6.6). Wtedy możemy wykorzystać (6.3) do policzenia pędu uogólnionego korzystając (6.8) (mechanika Newtona) i (6.9) (mechanika Einsteina), mamy:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}={\vec {p}}_{kl}+q{\vec {A}}\;$

(6.10)

• gdzie ${\vec {p}}_{kl}=m{\vec {v}}\;$ jest to pęd klasyczny znany z teorii dynamiki Newtona i Einsteina.

Widzimy, że w nim pęd uogólniony jest suma pędu uogólnionego i iloczynu ładunku cząstki i potencjału wektorowego magnetycznego. Przedstawieniu operatorowym zamieniamy wszystkie współrzędne uogólnionego pędu (6.3) we współrzędnych kartezjańskich przez współrzędne operatora pędu w tym samym układzie, które te operatory są zdefiniowane w sposób:

${\hat {p}}_{i}=-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{i}}}\Rightarrow {\hat {p}}=-i\hbar \nabla$

(6.11)

Widzimy według wzoru (6.11) operator pędu nie jest liczbą, tylko zwykłym operatorem podobnym do operatora różniczkowania cząstkowego względem współrzędnych w prawoskrętnym układzie kartezjańskim. Operator pędu czasami jest zwany wektorem operatora pędu, czy też wektorem operatora pędu uogólnionego, a nawet operatorem pędu uogólnionego. Udowodnimy, że operator pędu jest rzeczywiście operatorem hermitowskim, najpierw udowodnimy to dla współrzędnej iksowej operatora pędu.

$({\hat {p}}_{x}\varphi ,\psi )=i\hbar \int _{a}^{b}\nabla _{x}\varphi ^{*}\psi dx=i\hbar \left(\varphi ^{*}\psi |_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\varphi ^{*}\nabla _{x}\psi dx\right)=-i\hbar \int _{a}^{b}\varphi ^{*}\nabla _{x}\psi dx=\int _{a}^{b}\varphi ^{*}{\hat {p}}_{x}\psi dx=(\varphi ,{\hat {p}}_{x}\psi )\;$

(6.12)

W powyższym dowodzie korzystaliśmy z założenia, że funkcje falowe ψ i $\varphi \;$ zerują się w punkcie a i b. Według (6.12) udowodniliśmy, że iksowy operator pędu jest operatorem hermitowskim. Podobnie dowodzimy, że operator igrekowy i zetowy są operatorami hermitowskimi, zatem wektor operatora pędu też jest operatorem hermitowskim.

Kwadrat całkowitego operatora pędu

Bardzo ważną wielkością jest kwadrat pędu, bowiem on potrzebny jest do obliczenia energii kinetycznej punktu materialnego, w mechanice klasycznej przedstawia się on, jako suma kwadratów współrzędnych pędu:

$p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}$

(6.13)

W mechanice kwantowej jest podobnie, tylko współrzędne wektora pędu w (6.13) należy zastąpić przez współrzędne wektora operatora pędu (6.11), wtedy kwadrat operatora pędu:

${\hat {p}}^{2}={\hat {p}}_{x}^{2}+{\hat {p}}_{y}^{2}+{\hat {p}}_{z}^{2}=\left(-i\hbar {{\partial } \over {\partial x}}\right)^{2}+\left(-i\hbar {{\partial } \over {\partial y}}\right)^{2}+\left(-i\hbar {{\partial } \over {\partial z}}\right)^{2}=-\hbar ^{2}\left({{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}\right)=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}$

(6.14)

A zatem ostatecznie operator (6.14) jest zapisywany przy pomocy kwadratu operatora nabla (∇), czyli przy pomocy operatora Δ, czyli nasz omawiany operator zawiera drugie pochodne cząstkowe względem współrzędnych kartezjańskich z pewną ściśle określoną stałą proporcjonalności:

${\hat {p}}^{2}=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}=-\hbar ^{2}\Delta$

(6.15)

Kwadrat operatora pędu jest operatorem hermitowskim, bo jak można udowodnić z własności operatorów sprzężonych po hermitowsku:

$({\hat {p}}^{2})^{+}={\hat {p}}^{+}{\hat {p}}^{+}={\hat {p}}{\hat {p}}={\hat {p}}^{2}\;$

(6.16)

Newtonowski i einsteinowski lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym

Nierelatywistyczny Lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasz opisywany Lagrangian wyrażamy kolejno w mechanice Newtona (6.17) i Einsteina (6.18):

$L={{1} \over {2}}m{\vec {v}}^{2}-q\varphi +q{\vec {v}}{\vec {A}}\;$

(6.17)

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q{\vec {v}}{\vec {A}}\;$

(6.18)

W formalizmie Lagranga'e współrzędne prędkości i położenia są niezależne. Znając już Lagrangian w mechanice Newtona (6.17) i Einsteina (6.18) wyznaczmy jaki cząstka posiada pęd uogólniony:

${\vec {p}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}\;$

(6.19)

gdzie $m\;$ w (6.19) w mechanice Newtona jest to masa cząstki, a w mechanice Einsteina jest to masa relatywistyczna cząstki równa $m=m_{0}\gamma \;$. W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z mechaniki Newtona z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie ruchu cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami Newtona:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}-{{\partial L} \over {\partial {\vec {r}}}}=0\;$

(6.20)

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu (6.17) do wzoru Eulera-Lagrange'a (6.20), to dostajemy, że:

${{d} \over {dt}}(m{\vec {v}}+q{\vec {A}})=-q\nabla \varphi +q\nabla ({\vec {v}}{\vec {A}})\Rightarrow {{d} \over {dt}}(m{\vec {v}})=-q\nabla \varphi -q{{d} \over {dt}}{\vec {A}}+q\nabla ({\vec {v}}{\vec {A}})\;$

(6.21)

Z korzystamy z definicji różniczki zupełnej funkcji wektorowej i wyrazimy ją przez pochodne cząstkowe i różniczki zupełne, a na koniec wyznaczymy pochodną zupełną wielkości potencjału wektorowego względem czasu przez zwykłe pochodne cząstkowe względem współrzędnych w układzie trójwymiarowym kartezjańskim i względem czasu:

$d{\vec {A}}={{\partial {\vec {A}}} \over {\partial x_{i}}}dx_{i}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}dt\Rightarrow d{\vec {A}}=(d{\vec {r}}\nabla ){\vec {A}}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}dt\Rightarrow {{d{\vec {A}}} \over {dt}}=({\vec {v}}\nabla ){\vec {A}}+{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\;$

(6.22)

Obliczenia (6.21) na podstawie udowodnionej tożsamości (6.22) wyrażając potencjał wektorowy magnetyczny przy pomocy pochodnych cząstkowych, co nam później będzie potrzebne, możemy przedstawić:

${{d} \over {dt}}(m{\vec {v}})=-q\nabla \varphi -q{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}+q\left[-({\vec {v}}\nabla ){\vec {A}}+\nabla ({\vec {v}}{\vec {A}})\right]\;$

(6.23)

Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇:

${\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla ({\vec {v}}{\vec {A}})-({\vec {v}}\nabla ){\vec {A}}\;$

(6.24)

Co teraz następnym krokiem jest udowodnienie (6.24), to musimy wykorzystać definicję symboli Leviego-Civity ε_ijk i symboli Kroneckera δ_ij, mając te definicje, i wiedząc, że iloczyn dwóch symboli Leviego-Civity, jak można udowodnić, że jest to kombinacją symboli Kroneckera, wtedy:

$\left({\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})\right)_{i}=\epsilon _{ijk}v_{j}\epsilon _{klm}\nabla _{l}A_{m}=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}v_{j}\nabla _{l}A_{m}=(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})v_{j}\nabla _{l}A_{m}=v_{m}\nabla _{i}A_{m}-v_{l}\nabla _{l}A_{i}=\;$
$=\left(\nabla ({\vec {v}}{\vec {A}})\right)_{i}-\left(({\vec {v}}\nabla ){\vec {A}}\right)_{i}\;$

(6.25)

Przy obliczeniach (6.25) założono, że współrzędne prędkości i położenia są to zmienne niezależne, zatem (6.23) przyjmuje postać:

${{d} \over {dt}}(m{\vec {v}})=q\left[-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right]+q{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})\;$

(6.26)

Ponieważ mamy z elektrodynamiki klasycznej definicję natężenia pola elektrycznego (poprzez potencjał skalarny i wektorowy) i indukcji pola magnetycznego (poprzez potencjał wektorowy), zatem przedstawiając wzorami te zależności:

${\vec {E}}=-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\;$

(6.27)

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}\;$

(6.28)

Wyrażenie (6.26) na podstawie (6.27) (definicji natężenia pola elektrycznego ${\vec {E}}\;$ w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego $\varphi \;$ i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego ${\vec {A}}\;$ i to wszystko wzięte z minusem) i (6.28) (definicji indukcji pola magnetycznego ${\vec {B}}\;$ jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego ${\vec {A}}\;$) przyjmuje postać:

${{d} \over {dt}}(m{\vec {v}})=q\left[{\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]\Rightarrow {{dm{\vec {v}}} \over {dt}}={\vec {F}}_{el}+{\vec {F}}_{mag}\;$

(6.29)

W (6.29) otrzymaliśmy równanie drugiej zasady dynamiki Newtona i Einsteina dla cząstki w polu elektromagnetycznym, zatem lagrangiany (6.17) i (6.18) są poprawnymi lagrangianami dla pola elektromagnetycznego dla cząstek poruszających się z małymi prędkościami, tzn. z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła w próżni c w mechanice Newtona i z prędkościami w przedziale [0,c) w mechanice Einsteina (szczególna teoria względności).

Hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna bądź całkowita E

Będziemy tutaj rozważali nierelatywistyczny i relatywistyczny lagrangian w polu elektromagnetycznym i z niego będziemy liczyli hamiltonian, i dowiemy się, że jest on równy energii mechanicznej w mechanice Newtona i całkowitej w mechanice Einsteina.

Nierelatywistyczny (newtonowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna E

Wyznaczmy nierelatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetycznym korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki nierelatywistycznej i Lagrangianu (6.17) dla cząstki w polu elektromagnetycznym:

$H={\vec {p}}{\vec {v}}-L=(m{\vec {v}}+q{\vec {A}}){\vec {v}}-\left({{1} \over {2}}m{\vec {v}}{\vec {v}}-q\varphi +q{\vec {v}}{\vec {A}}\right)=m{\vec {v}}^{2}+q{\vec {A}}{\vec {v}}-{{1} \over {2}}m{\vec {v}}^{2}+q\varphi -q{\vec {v}}{\vec {A}}={{1} \over {2}}m{\vec {v}}^{2}+q\varphi =T+U=E\;$

(6.30)

Dochodzimy do wniosku, że energia mechaniczna cząstki w polu elektromagnetycznym jest to po prostu zwykły nieratywistyczny hamiltonian.

Relatywistyczny (einsteinowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a całkowita energia E

Wyznaczmy relatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetycznym korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki relatywistycznej i Lagrangianu (6.18) dla cząstki w polu elektromagnetycznym:

$H={\vec {p}}{\vec {v}}-L=(m{\vec {v}}+q{\vec {A}}){\vec {v}}-\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q{\vec {v}}{\vec {A}}\right)=m{\vec {v}}^{2}+q{\vec {v}}{\vec {A}}+m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+q\varphi -q{\vec {v}}{\vec {A}}=\;$
$=m_{0}{{v^{2}+c^{2}-v^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q\varphi ={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q\varphi =mc^{2}+q\varphi =E\;$

(6.31)

Dochodzimy do wniosku, że energia całkowita cząstki w polu elektromagnetycznym jest to po prostu zwykły relatywistyczny hamiltonian.

Operator energii kinetycznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie

Energię kinetyczną w mechanice klasycznej definiujemy jako iloraz kwadratu wartości wektora pędu punktu materialnego przez podwojoną masę tegoż punktu materialnego, ponieważ bez pola wektorowego elektromagnetycznego pęd uogólniony jest równy zwykłemu pędowi klasycznemu znany z mechaniki Newtona, mamy:

$T={{m{\vec {v}}^{2}} \over {2}}={{(m{\vec {v}})^{2}} \over {2}}={{p^{2}} \over {2m}}$

(6.32)

Zastępując wartość energii kinetycznej punktu materialnego T przez operator energii kinetycznej ${\hat {T}}$, oraz p² przez kwadrat operatora wektora pędu ${\hat {p}}^{2}$ (6.15), otrzymujemy:

${\hat {T}}={{{\hat {p}}^{2}} \over {2m}}=-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\nabla ^{2}=-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\Delta$

(6.33)

Widzimy, że we wzorze (6.33) operator energii kinetycznej jest zależny od masy ciała i operatora Δ, czyli od kwadratu operatora nabla. Operator ${\hat {T}}\;$ jest operatorem hermitowskim, ponieważ kwadrat operatora pędu też jest operatorem hermitowskim, a dzielenie przez liczbę rzeczywistą, tzn. przez 2m, nic nie zmienia.

Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym

Korzystając przy tym z definicji uogólnionego pędu (6.19) i wyznaczając z niego pęd klasyczny cząstki, to znaczy $m{\vec {v}}\;$ i podstawiając do wzoru na energię kinetyczną, stąd po odpowiednich modyfikacjach wzoru na tą energię, dostajemy wzór na energię kinetyczną w polu elektromagnetycznym poprzez pęd uogólniony:

$T={{m{\vec {v}}^{2}} \over {2}}={{(m{\vec {v}})^{2}} \over {2m}}={{({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}\;$

(6.34)

Zastępując wartość energii punktu materialnego T w polu elektromagnetycznym przez operator energii kinetycznej ${\hat {T}}\;$ oraz ${\vec {p}}\;$ przez wektor operatora pędu ${\hat {p}}\;$ (6.11), otrzymujemy:

${\hat {T}}={{({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}={{(-i\hbar \nabla -q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}\;$

(6.35)

W operator energii kinetycznej (6.35) przechodzi w operator energii kinetycznej w (6.33), gdy zachodzi ${\vec {A}}=0\;$ lub $q=0\;$. Operator (6.35) jest operatorem hermitowskim, ponieważ w liczniku pod potęgą różnica operatora hermitowskiego i zwykłego wektora jest operatorem hermitowskim, a więc kwadrat takiego operatora też jest operatorem hermitowskim. Gdy taki operator podzielimy przez 2m, to nadal on jest operatorem hermitowskim.

Operator energii mechanicznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie

W mechanice klasycznej energię mechaniczną definiujemy jako sumę energii kinetycznej zdefiniowaną w punkcie (6.17) i energii potencjalnej, zatem tą energię zapisujemy ogólnie definiując ją jako:

$E=H=T+V({\vec {r}})={{p^{2}} \over {2m}}+V({\vec {r}})\;$

(6.36)

W mechanice kwantowej operator energii mechanicznej na podstawie (6.36) piszemy zastępując odpowiednio energię kinetyczną przez operator energii kinetycznej, energię potencjalną przez operator mnożenia przez liczbę, zatem operator tej energii zapisujemy:

${\hat {H}}={\hat {T}}+V({\vec {r}})\cdot \;$

(6.37)

Wykorzystując definicję operatora energii kinetycznej (6.33) (dla pola potencjału wektorowego równego zero), wtedy operator energii mechanicznej (6.37) możemy zapisać:

${\hat {H}}={{{\hat {p}}^{2}} \over {2m}}+V({\vec {r}})\cdot =-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\Delta +V({\vec {r}})\cdot \;$

(6.38)

Operator (6.38) jest operatorem energii mechanicznej jednej cząstki. Operator (6.37) jest operatorem hermitowskim, bo energia kinetyczna jest operatorem hermitowskim, a cześć potencjalna też jest, bo ona jest operatorem mnożenia przez liczbę rzeczywistą.

Operator energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym

W mechanice klasycznej energię mechaniczną w polu elektromagnetycznym, wykorzystując przy tym energię kinetyczną zdefiniowanej w punkcie (6.35), definiujemy:

$E=H=T+q\varphi +V({\vec {r}})={{({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}+q\varphi +V({\vec {r}})\;$

(6.39)

Wyrażenie (6.39) jest sumą energii kinetycznej T i sumy dwóch rodzajów energii potencjalnej, tzn. energii potencjalnej pola elektromagnetycznego (iloczynu ładunku i potencjału skalarnego) i energii potencjalnej zwykłego pola potencjalnego.

W mechanice kwantowej operator energii mechanicznej przedstawiamy na podstawie (6.39) zastępując tam wielkość energii kinetycznej i potencjalnej przez odpowiednie operatory, stąd otrzymujemy:

${\hat {H}}={\hat {T}}+q\varphi \cdot +V({\vec {r}})\cdot \;$

(6.40)

Wykorzystując definicję operatora energii kinetycznej (6.35), to operator całkowitej energii mechanicznej cząstki (6.40) możemy zapisać jako:

${\hat {H}}={{({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}+q\varphi \cdot +V({\vec {r}})\cdot ={{(-i\hbar \nabla -q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}+q\varphi \cdot +V({\vec {r}})\cdot \;$

(6.41)

Operator (6.41) jest operatorem energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym jednej cząstki. Operator (6.41) jest operatorem hermitowskim, bo energia kinetyczna nim jest, a część potencjalna też jest, ponieważ jest ona operatorem mnożenia przez liczbę rzeczywistą.

Operator momentu pędu

W mechanice klasycznej wielkość momentu pędu definiujemy poprzez iloczyn wektorowy wektora położenia punktu materialnego przez wektorowo wektor pędu omawianego punktu materialnego.

${\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

(6.42)

Operator momentu pędu czasami jest zwany wektorem operatora momentu pędu , czy też wektorem operatora momentu pędu uogólnionego , a nawet operatorem momentu pędu uogólnionego . Zastępując wszystkie wektory w (6.42) przez operatory tzn. wektor pędu przez wektor operatora pędu (6.15), a wektor położenia przez wektor operatora położenia w postaci (6.2), to wektor operatora momentu pędu zapisujemy:

${\hat {l}}={\hat {r}}\times {\hat {p}}$

(6.43)

Wzór (6.42) w którym występuje iloczyn wektorowy można przedstawić w postaci formalnego wyznacznika. Aby otrzymać z (6.42) (w postaci liczby) do (6.43) (w postaci operatorowej) należy w tym formalnym wyznaczniku zastąpić elementy położenia (drugi wiersz wyznacznika) przez operatory położenia (6.2), a w trzecim wierszu należy zastąpić odpowiednie współrzędne pędu przez współrzędne operatora pędu (6.11), po tych operacjach mamy formalną macierz, który jest rzeczywiście wektorem operatora momentu pędu.

${\hat {l}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x&y&z\\-i\hbar {{\partial } \over {\partial x}}&-i\hbar {{\partial } \over {\partial y}}&-i\hbar {{\partial } \over {\partial z}}\end{vmatrix}}\;$

(6.44)

Z przestawienia macierzowego ogólnego wzoru macierzowego (6.44) można powiedzieć, że ta macierz z operatorami wyznaczamy tak samo jakby nie było operatorów, tylko liczby. Współrzędne operatora momentu pędu są:

${\hat {l}}_{x}=-i\hbar \left(y{{\partial } \over {\partial z}}-z{{\partial } \over {\partial y}}\right)$

(6.45)

${\hat {l}}_{y}=-i\hbar \left(z{{\partial } \over {\partial x}}-x{{\partial } \over {\partial z}}\right)$

(6.46)

${\hat {l}}_{z}=-i\hbar \left(x{{\partial } \over {\partial y}}-y{{\partial } \over {\partial x}}\right)$

(6.47)

Współrzędne operatora momentu pędu są standardowo wyznaczone we współrzędnych kartezjańskich, tzn. w prawoskrętnym prostokątnym układzie współrzędnych.

Kwadrat operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych

Bardzo ważną wielkością jest kwadrat operatora całkowitego momentu pędu, przedstawia się on podobnie jak kwadrat operatora pędu, jako suma kwadratów współrzędnych operatora momentu pędu. Odpowiednie współrzędne operatora momentu pędu są to operatory zdefiniowane przez wzory (6.45) (współrzędna iksowa operatora momentu pędu), (6.46) (współrzędna igrekowa operatora momentu pędu), (6.47) (współrzędna zetowa operatora momentu pędu), zatem nasz omawiany obiekt zdefiniujmy rozpisując go w sposób:

${\hat {l}}^{2}={\hat {l}}_{x}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}=-\hbar ^{2}{\Bigg \{}\left(y{{\partial } \over {\partial z}}-z{{\partial } \over {\partial y}}\right)^{2}+\left(z{{\partial } \over {\partial x}}-x{{\partial } \over {\partial z}}\right)^{2}+\left(x{{\partial } \over {\partial y}}-y{{\partial } \over {\partial x}}\right)^{2}{\Bigg \}}=-\hbar ^{2}{\Bigg \{}y^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}+z^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}+\;$
$-y{{\partial } \over {\partial z}}z{{\partial } \over {\partial y}}-z{{\partial } \over {\partial y}}y{{\partial } \over {\partial z}}+z^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}+x^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}-z{{\partial } \over {\partial x}}x{{\partial } \over {\partial z}}-x{{\partial } \over {\partial z}}z{{\partial } \over {\partial x}}{\Bigg \}}-\hbar ^{2}\left\{x^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}+y^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}-x{{\partial } \over {\partial y}}y{{\partial } \over {\partial x}}-y{{\partial } \over {\partial x}}x{{\partial } \over {\partial y}}\right\}=\;$
$=-\hbar \left\{y^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}+z^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}-yz{{\partial ^{2}} \over {\partial y\partial z}}-y{{\partial } \over {\partial y}}-zy{{\partial ^{2}} \over {\partial y\partial z}}-z{{\partial } \over {\partial z}}\right\}-\hbar {\Bigg \{}z^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}+x^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}-zx{{\partial ^{2}} \over {\partial z\partial x}}-z{{\partial } \over {\partial z}}-xz{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial z}}+\;$
$-x{{\partial } \over {\partial x}}{\Bigg \}}-\hbar \left\{x^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}+y^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}-xy{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial y}}-x{{\partial } \over {\partial x}}-yx{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial y}}-y{{\partial } \over {\partial y}}\right\}=-\hbar {\Bigg \{}\left(y^{2}+z^{2}\right){{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}+\left(x^{2}+y^{2}\right){{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}+\;$
$+\left(x^{2}+z^{2}\right){{\partial ^{2}} \over {\partial y^{2}}}{\Bigg \}}-\hbar \left\{x^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}+z^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}+y^{2}{{\partial } \over {\partial y^{2}}}-x^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}-z^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}-y^{2}{{\partial } \over {\partial y^{2}}}\right\}-\hbar {\Bigg \{}-yz{{\partial ^{2}} \over {\partial y\partial z}}-y{{\partial } \over {\partial y}}-zy{{\partial ^{2}} \over {\partial y\partial z}}+\;$
$-z{{\partial } \over {\partial z}}{\Bigg \}}-\hbar \left\{-zx{{\partial ^{2}} \over {\partial z\partial x}}-z{{\partial } \over {\partial z}}-xz{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial z}}-x{{\partial } \over {\partial x}}\right\}-\hbar \left\{-xy{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial y}}-x{{\partial } \over {\partial x}}-yx{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial y}}-y{{\partial } \over {\partial y}}\right\}=-\hbar {\Bigg \{}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\Delta +\;$
$-x^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}-z^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial x^{2}}}-y^{2}{{\partial } \over {\partial y^{2}}}{\Bigg \}}-\hbar \left\{-yz{{\partial ^{2}} \over {\partial y\partial z}}-y{{\partial } \over {\partial y}}-zy{{\partial ^{2}} \over {\partial y\partial z}}-z{{\partial } \over {\partial z}}\right\}-\hbar \left\{-zx{{\partial ^{2}} \over {\partial z\partial x}}-z{{\partial } \over {\partial z}}-xz{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial z}}-x{{\partial } \over {\partial x}}\right\}+\;$
$-\hbar \left\{-xy{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial y}}-x{{\partial } \over {\partial x}}-yx{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial y}}-y{{\partial } \over {\partial y}}\right\}=-\hbar {\Bigg \{}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\Delta -\left(x{{\partial } \over {\partial x}}+y{{\partial } \over {\partial y}}+z{{\partial } \over {\partial z}}\right)-{\Bigg (}x{{\partial } \over {\partial x}}x{{\partial } \over {\partial x}}+y{{\partial } \over {\partial y}}y{{\partial } \over {\partial y}}+\;$
$+z{{\partial } \over {\partial z}}y{{\partial } \over {\partial z}}{\Bigg )}{\Bigg \}}-\hbar \left({-2xy{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial y}}-2xz{{\partial ^{2}} \over {\partial x\partial z}}-2yz{{\partial ^{2}} \over {\partial y\partial z}}}\right)=-\hbar {\Bigg \{}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\Delta -\left(x{{\partial } \over {\partial x}}+y{{\partial } \over {\partial y}}+z{{\partial } \over {\partial z}}\right)+\;$
$-\left(x{{\partial } \over {\partial x}}+y{{\partial } \over {\partial y}}+z{{\partial } \over {\partial z}}\right)^{2}{\Bigg \}}$

Z obliczeń powyższych dostajemy, że kwadrat operatora całkowitego momentu pędu jest zapisany przy pomocy operatora położenia ${\vec {r}}\;$ i operatora różniczkowania cząstkowego ∇ i operatora Δ, i ten nasz operator jest równy do równoważnego powyżej przedstawienia:

${\hat {l}}^{2}=-\hbar ^{2}\left\{r^{2}\Delta -({\vec {r}}\nabla )^{2}-{\vec {r}}\nabla \right\}$

(6.48)

A następnie policzmy pomocnicze wyrażenie operatorowe będące iloczynem wektora położenia ${\vec {r}}\;$ i operatora ∇, czyli coś w rodzaju pochodnej kierunkowej, stąd możemy napisać:

${\vec {r}}\nabla ={\vec {e}}_{r}r\left({\vec {e}}_{r}{{\partial } \over {\partial {r}}}+{\vec {e}}_{\theta }{{\partial } \over {r\sin \phi \partial \theta }}+{\vec {e}}_{\phi }{{\partial } \over {r\partial \phi }}\right)=r{{\partial } \over {\partial r}}$

(6.49)

Nasz operator (6.48) na podstawie obliczeń pomocniczych (6.49) (to wyrażenie zależy tylko on od współrzędnych radialnych) jest równy wzorowi:

${\hat {l}}^{2}=-\hbar ^{2}\left\{r^{2}\Delta -(r{{\partial } \over {\partial r}})^{2}-r{{\partial } \over {\partial r}}\right\}=-\hbar ^{2}\left\{r^{2}\Delta -r^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}-r{{\partial } \over {\partial r}}-r{{\partial } \over {\partial r}}\right\}-\hbar \left\{r^{2}\Delta -r^{2}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}-2r{{\partial } \over {\partial r}}\right\}=\;$
$=-\hbar \left\{r^{2}\Delta -r{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)\right\}\;$

(6.50)

Z definicji laplasjanu mamy wzór operatorowy zdefiniowanej poprzez operator Λ, który z kolei jest definiowany poprzez wielkości kątowe, które to będą nam potrzebne przy definicji rozważanego tutaj operatora:

$\Delta ={{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)+{{1} \over {r^{2}}}\Lambda$

(6.51)

Dochodzimy więc do wniosku, że rozważany obiekt (6.50) na podstawie definicji operatora Δ we współrzędnych kulistych (6.51), przedstawia się jak udowodnimy, tylko od operatora Λ:

${\hat {l}}^{2}=-\hbar ^{2}\left\{r^{2}\left({{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)+{{1} \over {r^{2}}}\Lambda \right)-r{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)\right\}=-\hbar ^{2}\left\{r{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)+\Lambda -r{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)\right\}$

(6.52)

Dochodzimy więc do wniosku, że kwadrat operatora całkowitego momentu pędu na podstawie obliczeń (6.52) jest w postaci:

${\hat {l}}^{2}=-\hbar ^{2}\Lambda$

(6.53)

Widzimy, że (6.53) jest zdefiniowany poprzez operator Λ, czyli poprzez wielkości kątowe, zatem nasz operator nie zależy od wielkości współrzędnej radialnej r, ale tylko od współrzędnych kątowych w układzie kulistym.

Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych

W rozdziale o metodach matematycznych fizyki napisaliśmy coś o kulistym układzie współrzędnym i wyraziliśmy współrzędne w układzie kartezjańskim względem kulistego układu współrzędnych i wyrażaliśmy operatory pochodnych cząstkowych operatora ∇ zdefiniowanych początkowo we współrzędnych kartezjańskich. Napiszmy ten operator względem współrzędnych kulistych, które będą nam potrzebne do wyrażenia współrzędnych operatora momentów pędu w tychże współrzędnych.

Mając operator momentu pędu iksowy znając jego definicję we współrzędnych kartezjańskich wedle wzoru operatorowego (6.45) i wyznaczmy czemu jest równy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną $-i\hbar \;$:

${{{\hat {l}}_{x}} \over {-i\hbar }}=y{{\partial } \over {\partial z}}-z{{\partial } \over {\partial y}}=\underbrace {r\sin \theta \sin \phi } _{y}\underbrace {\left[\cos \phi {{\partial } \over {\partial r}}-{{\sin \phi } \over {r}}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right]} _{{\partial } \over {\partial z}}-\underbrace {r\cos \phi } _{z}\underbrace {\left[\sin \theta \sin \phi {{\partial } \over {\partial r}}+{{\cos \theta } \over {r\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{\sin \theta \cos \phi } \over {r}}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right]} _{{\partial } \over {\partial y}}=$

$=r\sin \theta \sin \phi \cos \phi {{\partial } \over {\partial r}}-\sin \theta \sin ^{2}\phi {{\partial } \over {\partial \phi }}-r\cos \phi \sin \theta \sin \phi {{\partial } \over {\partial r}}-{{\cos \phi \cos \theta } \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}-\cos ^{2}\phi \sin \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}=$

$=-\sin \theta (\sin ^{2}\phi +\cos ^{2}\phi ){{\partial } \over {\partial \phi }}-\operatorname {ctg} \phi \cos \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}=-\sin \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}-\operatorname {ctg} \phi \cos \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}$

Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowego momentu pędu (6.45) napisaliśmy we współrzędnych kulistych po podzieleniu go przez stały czynnik $-i\hbar \;$. W tym operatorze, jak udowodniliśmy zależy tylko ono od współrzędnych kątowej, to znaczy od współrzędnej azymutalnej(θ) i zenitalnej(φ), zatem ten operator jest napisany razem z tym czynnikiem:

${\hat {l}}_{x}=i\hbar \left[\sin \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}+\operatorname {ctg} \phi \cos \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}\right]$

(6.54)

Mając operator igrekowy momentu pędu zdefiniowanej w postaci operatorowej we współrzędnych kartezjańskich wedle (6.46), przedstawmy go we współrzędnych kulistych zamieniając wszystkie te współrzędne kartezjańskie oraz operatory cząstkowe zdefiniowane we współrzędnych kartezjańskich na współrzędne kuliste, napiszemy go po podzieleniu przez liczbę urojoną: $-i\hbar \;$:

${{{\hat {l}}_{y}} \over {-i\hbar }}=z{{\partial } \over {\partial x}}-x{{\partial } \over {\partial z}}=\underbrace {r\cos \phi } _{z}\underbrace {\left[\cos \theta \sin \phi {{\partial } \over {\partial r}}-{{\sin \theta } \over {r\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{\cos \theta \cos \phi } \over {r}}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right]} _{{\partial } \over {\partial x}}-\underbrace {r\cos \theta \sin \phi } _{x}\underbrace {\left[\cos \phi {{\partial } \over {\partial r}}-{{\sin \phi } \over {r}}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right]} _{{\partial } \over {\partial z}}=$

$=r\cos \theta \cos \phi \sin \phi {{\partial } \over {\partial r}}-\operatorname {ctg} \phi \sin \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}+\cos ^{2}\phi \cos \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}-r\cos \theta \sin \phi \cos \phi {{\partial } \over {\partial r}}+\sin ^{2}\phi \cos \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}=$

$=\cos \theta (\sin ^{2}\phi +\cos ^{2}\phi ){{\partial } \over {\partial \phi }}-\operatorname {ctg} \phi \sin \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}=\cos \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}-\operatorname {ctg} \phi \sin \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}$

Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich (6.32) napiszemy go we współrzędnych kulistych co napiszemy go po podzieleniu przez stały czynnik ($-i\hbar \;$). Jak zobaczymy zależy on tylko od współrzędnych kątowych, nic od współrzędnej radialnej, jest napisana razem z tym czynnikiem:

${\hat {l}}_{y}=i\hbar \left(-\cos \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}+\operatorname {ctg} \phi \sin \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}\right)$

(6.55)

Mając operator momentu pędu zetowy przedstawiony we współrzędnych kartezjańskich w postaci operatorowej wedle (6.47), w nim zamieńmy wszystkie jego współrzędne kartezjańskie i operatory pochodnych cząstkowych zdefiniowanych we współrzędnych karteziańskich na współrzędne kuliste, dalej wyznaczmy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną $-i\hbar \;$:

${{{\hat {l}}_{z}} \over {-i\hbar }}=x{{\partial } \over {\partial y}}-y{{\partial } \over {\partial x}}=\;$
$=\underbrace {r\cos \theta \sin \phi } _{x}\underbrace {\left[\sin \theta \sin \phi {{\partial } \over {\partial r}}+{{\cos \theta } \over {r\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{\sin \theta \cos \phi } \over r}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right]} _{{\partial } \over {\partial y}}-\underbrace {r\sin \theta \sin \phi } _{y}\underbrace {\left[\cos \theta \sin \phi {{\partial } \over {\partial r}}-{{\sin \theta } \over {r\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{\cos \theta \cos \phi } \over {r}}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right]} _{{\partial } \over {\partial x}}=$
$=r\cos \theta \sin \theta \sin ^{2}\phi {{\partial } \over {\partial r}}+\cos ^{2}\theta {{\partial } \over {\partial \theta }}+\sin \theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}-r\sin \theta \cos \theta \sin \phi ^{2}{{\partial } \over {\partial r}}+\sin \theta ^{2}{{\partial } \over {\partial \theta }}-\sin \theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}=$
$=\cos ^{2}\theta {{\partial } \over {\partial \theta }}+\sin ^{2}\theta {{\partial } \over {\partial \theta }}=(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta ){{\partial } \over {\partial \theta }}={{\partial } \over {\partial \theta }}$

Na podstawie poprzednich obliczeń operator zetowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich (6.47) udowodniliśmy, że w przedstawieniu jego we współrzędnych kulistych i po podzieleniu go przez stały czynnik ($-i\hbar \;$), że on nie zależy on od współrzędnej radialnej, ale też nie zależy od współrzędnej zenitalnej, natomiast po przeprowadzeniu powyższego dowodu zależy ona tylko od współrzędnej azymutalnej θ.

${\hat {l}}_{z}=-i\hbar {{\partial } \over {\partial \theta }}$

(6.56)

Udowodniliśmy, że najprostszy operator momentu pędu we współrzędnych kulistych jest to operator zetowy momentu pędu, bowiem zależy tylko od jednej współrzędnej kulistej. Natomiast wszystkie współrzędne operatora momentu pędu zależą tylko od współrzędnych kątowych kulistych, ale nie od współrzędnej radialnej.

Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu

Przykładem operatorów niehermitowskich oprócz ostatniego poniżej w linijce, są operatory zdefiniowane poprzez operatory współrzędnych operatora momentu pędu w układzie kartezjańskich z definiowanych jako:

${\hat {l}}_{+}={{1} \over {\hbar }}\left({\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y}\right)\;$

(6.57)

${\hat {l}}_{-}={{1} \over {\hbar }}\left({\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y}\right)\;$

(6.58)

${\hat {l}}_{0}={{1} \over {\hbar }}{\hat {l}}_{z}\;$

(6.59)

Wiedząc, że operatory współrzędnych pędu są to operatory hermitowskie, zatem operatory współrzędnych momentu pędu też są hermitowskie, zatem operatory (6.57) (${\hat {l}}_{+}\;$) i (6.58) (${\hat {l}}_{-}\;$) nie są to operatory hermitowskie, ponieważ czynnik urojony nie jest sam ze sobą sprzężony po hermitowsku. Można udowodnić kolejno dla operatora (6.57), że jest on sprzężony po hermitowsku do operatora (6.58):

$({\hat {l}}_{+})^{+}={{1} \over {\hbar }}\left({\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y}\right)^{+}={{1} \over {\hbar }}\left({\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y}\right)={\hat {l}}_{-}\neq {\hat {l}}_{+}$

(6.60)

A dla operatora (6.58) jest on sprzężony po hermitowsku z (6.57), ponieważ czynnik -i zamienia się "i" po wyliczeniu jego sprzężenia hermitowskiego:

$({\hat {l}}_{-})^{+}={{1} \over {\hbar }}\left({\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y}\right)^{+}={{1} \over {\hbar }}\left({\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y}\right)={\hat {l}}_{+}\neq {\hat {l}}_{-}$

(6.61)

Operator wedle definicji (6.59) jest równy ilorazowi operatora współrzędnej momentu pędu przez stałą rzeczywistą stałą proporcjonalności kreślonej Plancka, na tej postawie twierdzimy, że nasz rozważany tutaj operator jest operatorem hermitowskim, a więc ma wartości własne rzeczywiste, prawie takie same jak operator ${\hat {l}}_{z}\;$ natomiast funkcje własne posiadają one jednakowe.

$({\hat {l}}_{0})^{+}={{1} \over {\hbar }}{\hat {l}}_{z}^{+}={{1} \over {\hbar }}{\hat {l}}_{z}={\hat {l}}_{0}$

(6.62)

Operatory (6.57) (${\hat {l}}_{+}\;$), (6.58) (${\hat {l}}_{-}\;$), (6.59) (${\hat {l}}_{0}\;$) są to ważne operatory ułatwiające niektóre obliczenia w fizyce kwantowej.

Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych

Policzmy teraz operator ${\hat {l}}_{+}$ zdefiniowanych według (6.57), we współrzędnych kulistych przy pomocy operatorów momentu pędu iksowego i igrekowego zdefiniowanego we współrzędnych kulistych według (6.54) i (6.55), to napiszemy:

${\hat {l}}_{+}={{1} \over {\hbar }}\left[i\hbar \left[\sin \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}+\operatorname {ctg} \phi \cos \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}\right]+ii\hbar \left(-\cos \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}+\operatorname {ctg} \phi \sin \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}\right)\right]=\;$
$=\left[\cos \theta +i\sin \theta \right]{{\partial } \over {\partial \phi }}-\operatorname {ctg} \phi \left[\sin \theta -i\cos \theta \right]{{\partial } \over {\partial \theta }}$

(6.63)

Operator (6.57) we współrzędnych kulistych na postawie obliczeń (6.63) jest zdefiniowany:

${\hat {l}}_{+}=e^{i\theta }{{\partial } \over {\partial \phi }}-\operatorname {ctg} \phi e^{i\left(\theta +{{\pi } \over {2}}\right)}{{\partial } \over {\partial \theta }}$

(6.64)

Policzmy teraz operator ${\hat {l}}_{+}$ zdefiniowanych według (6.58) we współrzędnych kulistych przy pomocy operatorów momentu pędu iksowego i igrekowego zdefiniowanego we współrzędnych kulistych według (6.54) i (6.55), napiszemy:

${\hat {l}}_{-}={{1} \over {\hbar }}\left[i\hbar \left[\sin \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}+\operatorname {ctg} \phi \cos \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}\right]-ii\hbar \left(-\cos \theta {{\partial } \over {\partial \phi }}+\operatorname {ctg} \phi \sin \theta {{\partial } \over {\partial \theta }}\right)\right]=\;$
$=-\left[\cos \theta -i\sin \theta \right]{{\partial } \over {\partial \phi }}+\operatorname {ctg} \phi \left[\sin \theta +i\cos \theta \right]{{\partial } \over {\partial \theta }}$

(6.65)

Operator (6.58) we współrzędnych kulistych na postawie (6.65) jest zdefiniowany w sposób:

${\hat {l}}_{-}=-e^{-i\theta }{{\partial } \over {\partial \phi }}+\operatorname {ctg} \phi e^{i({{\pi } \over {2}}-\theta )}{{\partial } \over {\partial \theta }}$

(6.66)

Policzmy teraz operator ${\hat {l}}_{0}$ zdefiniowanych według (6.59) we współrzędnych kulistych przy pomocy operatora zetowej współrzędnej momentu pędu we współrzędnych kulistych według (6.56):

${\hat {l}}_{0}={{1} \over {\hbar }}(-i\hbar ){{\partial } \over {\partial \theta }}=-i{{\partial } \over {\partial \theta }}$

(6.67)

Zatem na podstawie (6.67) dostajemy, że ten operator we współrzędnych kulistych jest jako:

${\hat {l}}_{0}=-i{{\partial } \over {\partial \theta }}$

(6.68)

A więc operatory (6.57) (${\hat {l}}_{+}\;$), (6.58) (${\hat {l}}_{-}\;$) i (6.59) (${\hat {l}}_{0}\;$) można zdefiniować w zależności od współrzędnych kulistych, które jak udowodniono wcześniej nie są operatorami hermitowskimi (oprócz ostatniego), nawet w tymże współrzędnych kulistych, co nigdy nie powinno zmieniać tej naszej sytuacji. Tzn. gdy operator jest hermitowski w jednym układzie współrzędnym, to w innym też jest.