Matematyka ubezpieczeń życiowych/Elementy teorii oprocentowania

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Niniejszy rozdział stanowi pewnego rodzaju elementarne wprowadzenie do zagadnień związanych z oprocentowaniem. W odróżnieniu od rozdziałów kolejnych dotyczyć on będzie sytuacji ściśle deterministycznych, pozbawionych czynnika losowego.

Akumulacja i dyskontowanie[edytuj]

Wszystkie procesy w niniejszym podręczniku będą mieć dwa modele - ciągły i dyskretny. Modele dyskretne będą oparte na wartościach poszczególnych wielkości w kolejnych latach lub podokresach lat.

Przypadek dyskretny[edytuj]

Rozpoczniemy od najprostszego przykładu lokaty terminowej na 1 rok. Na lokacie tej składamy na początku okresu jej trwania zł. Oprocentowana w skali rocznej dla tej lokaty jest w wysokości . Po roku otrzymamy więc


Czynnik , przez który musimy przemnożyć wyjściową kwotę nazywamy czynnikiem akumulującym, zaś liczbę nazywamy stopą oprocentowania i wyrażamy w procentach.

Jeśli zamiast podejmować pieniądze wznowimy tę lokatę, to po latach otrzymamy


Matematyka ubezpieczeń życiowych-4.svg

W powyższym rozumowaniu patrzyliśmy na początku inwestycji na to, jaki będzie jej rezultat. Możemy odwrócić to rozumowanie i zapytać ile musimy zainwestować, aby po latach uzyskać zadany kapitał. Odpowiedź uzyskujemy z prostego przekształcenia wzoru


Czynnik , przez który (w odpowiedniej potędze) musimy pomnożyć (kwotę, którą chcemy uzyskać) nazywamy czynnikiem dyskontującym i oznaczamy literą



Stopa oprocentowania dawała nam informację o ile procent więcej uzyskamy w wyniku inwestycji po 1 roku. Można teraz spytać inaczej. O ile procent mniejszą kwotą należało dysponować rok temu, aby uzyskać obecną kwotę. Wartość ta jest oznaczana literą , wyrażana w procentach i nazywana stopą dyskontową


Matematyka ubezpieczeń życiowych-5.svg

Przypadek ciągły[edytuj]

Przyzwyczajeni jesteśmy do myślenia o przepływie kapitału w sposób dyskretny (płatność jest dokonywana w konkretnym momencie czasu). W modelu ciągłym musimy zmienić nieco nasz sposób myślenia i postrzegać przepływ środków finansowych jako strumień o pewnej intensywności.

By to sobie uzmysłowić posłużymy się przykładem w którym pewną płatność za dany okres czasu będziemy dzielić na równe raty za coraz drobniejsze podokresy. Dokonując przejścia granicznego otrzymujemy nieskończenie wiele nieskończenie drobnych przepływów finansowych. Powyższy opis jakościowy ujmijmy teraz metodami ilościowymi. Tym razem posłużymy się przykładem inwestycji na okres jednego roku oraz inwestycji na podokresy roku. Przez oznaczać będziemy nominalną stopę oprocentowania z kapitalizacją w podokresach długości roku. Równoważną takiemu składanemu oprocentowaniu stopę oprocentowania (za cały rok) otrzymamy z zależności


analogicznie dla stóp dyskontowych mamy:


Niech teraz dąży do nieskończoności. Wprowadźmy oznaczenie:


Wielkość ta jest nazywana intensywnością oprocentowania (ang. force of interest)

Łatwo zauważyć po zapisaniu zależności między a w postaci


że jest pochodną funkcji w punkcie . Otrzymujemy więc zależność


Jaka jest jednak granica ? Okazuje się, że taka sama. Łatwo bowiem pokazać, że


a stąd wykazuje się, że


Gdy oprocentowanie jest ciągłe różnica pomiędzy oprocentowaniem z góry i z dołu (czyli między akumulacją i dyskontowaniem) znika.

Podsumowanie[edytuj]

Zależności pomiędzy opisywanymi wielkościami ujmuje poniższa tabela

Nazwa Oznaczenie
stopa oprocentowania
stopa dyskontowa
czynnik dyskontujący
natężenie oprocentowania
czynnik akumulujący

Najłatwiej przyswoić sobie powyższe wzory zapamiętując, że:

Renty[edytuj]

Renty w matematyce finansowej rozumiane są jako ciągi płatności. Będziemy posługiwali się wartościami obecnymi dla ciągów płatności jednostkowych. Mogą to być płatności dokonywane na początku lub na końcu roku przez pewną liczbę lat. W przypadku płatności na początku każdego roku przez lat, wartość obecną takich przepływów finansowych oznaczamy symbolem i jest ona równa


Po przekształceniu otrzymujemy:


Interpretacja: Zaciągnięty dług na kwotę 1 będzie spłacony po latach. Zdyskontowana wartość tej płatności jest równa . Odsetki spłacane są na bieżąco, na początku każdego roku w wysokości

Natomiast w przypadku płatności na koniec roku stosujemy oznaczenie i wartość obecną wyrażamy następująco


Po przekształceniu otrzymujemy:


Interpretacja tego wzoru jest taka sama jak zaprezentowana wyżej z tą tylko różnicą, że płatności odsetek wnoszone są na koniec roku w wysokości czyli .

Analogiczna do powyższych formuła dla rent ciągłych ma postać: