Matematyka ubezpieczeń życiowych/Model demograficzny

Punktem wyjścia do rozważań na temat ubezpieczeń na życie jest analiza trwania ludzkiego życia i momentu jego końca jako zjawiska o charakterze losowym. W niniejszym rozdziale omówiony zostaną podstawowe zagadnienia związane z modelem demograficznym.

W swej najprostszej wersji model ten zakłada, że śmierć danego osobnika następuje w losowym (czyli niemożliwym do dokładnego przewidzenia w sposób pewny) momencie a szanse zajścia lub nie takiego zdarzenia rozpatrujemy tylko i wyłącznie jako funkcję wieku osobnika. Uwzględnienie czynników pokoleniowych jest możliwe, ale wymagać będzie większej komplikacji modelu.

Zmienne losowe i inne oznaczenia

Obiektem naszych rozważań będzie osobnik w wieku $x\;$ i oznaczać go będziemy symbolem $(x)\;$. Interesować nas będzie również jego wiek w chwili zgonu (czyli całkowita długość trwania jego życia) rozumiana jako zmienna losowa i oznaczana symbolem $X\;$. Ponieważ $(x)\;$ jest obecnie w wieku $x\;$, to pozostało przed nim jeszcze $X-x\;$ lat życia. Wprowadzamy więc zmienną losową $T(x)\;$, zapisywaną czasem bez argumentu jako $T\;$ i definiujemy ją następująco:

$T(x):={\begin{cases}X-x&{\textrm {dla}}\quad x\in [0;X],\\0&{\textrm {dla}}\quad x\notin [0;X].\end{cases}}\;$

Kolejnymi symbolami jakie wprowadzimy będą oznaczenia gęstości i dystrybuant dla rozważanych zmiennych losowych. Będą to odpowiednio $f\;$ i $F\;$ dla zmiennej $X\;$ oraz $g\;$ i $G\;$ dla zmiennej $T\;$.

Wszystkie powyższe wartości nie muszą być liczbami całkowitymi. W praktyce dość często wiek jest wyrażany całkowitymi liczbami ukończonych lat życia. Również ubezpieczenia zawierane są często na konkretną liczbę lat. Całkowitą liczbę lat jakie $(x)\;$ przeżyje nim umrze oznaczymy przez $K\;$.

Wszystkie powyższe oznaczenia zostały zebrane w tabeli:

ozn.	opis
$(x)\;$	osobnik w wieku $x\;$
$X\;$	wiek w chwili zgonu
$F(t)\;$	dystrybuanta zmiennej $X\;$
$f(t)\;$	gęstość zmiennej $X\;$
$T\;$	dalsze trwanie życia osoby $(x)\;$
$G(t)\;$	dystrybuanta zmiennej $T\;$
$g(t)\;$	gęstość zmiennej $T\;$
$K\;$	całkowita liczba przeżytych lat

Podstawowe prawdopodobieństwa występujące w modelu

Przyjąwszy powyższe oznaczenia możemy rozpocząć rozważania nad prawdopodobieństwem, że $(x)\;$ przeżyje lub nie zadany okres czasu $t\;$. Prawdopodobieństwa te będą rzecz jasna funkcjami dwóch zmiennych - $x\;$ i $t\;$. W notacji aktuarialnej są one oznaczane jako ${}_{t}p_{x}\;$ i ${}_{t}q_{x}\;$. Umownie, gdy czas $t=1\;$ to jest on w tym zapisie pomijany.

$q_{x}={}_{1}q_{x},\;$

$p_{x}={}_{1}p_{x}.\;$

Wprowadzamy również funkcję $s(x)\;$ zwaną funkcją przeżycia. Definiuje się ją jako prawdopodobieństwo, że $(0)\;$ (czyli noworodek) dożyje wieku $x\;$

$s(x)={}_{x}p_{0}.\;$

Poniższa tabela zwięźle ujmuje wprowadzone oznaczenia

oznaczenie	definicja	założenia
$F(x)\;$	$Pr(X\leq x)\;$	$x\geqslant 0\;$
$s(x)\;$	$Pr(X>x)\;$	$x\geqslant 0\;$
${}_{t}p_{x}\;$	$Pr(T(x)>t)\;$	$x,t\geqslant 0\;$
${}_{t}q_{x}\;$	$Pr(T(x)\leq t)\;$	$x,t\geqslant 0\;$
${}_{s|t}q_{x}\;$	$Pr(s<T(x)<s+t)\;$	$x,s,t\geqslant 0\;$
${}_{k|}q_{x}\;$	$Pr(K(x)=k)\;$	$x\geqslant 0,k\in \mathbb {N} \cup \{0\}\;$
${}_{k}p_{x}q_{x+k}\;$	$Pr(K(x)=k)\;$	$x\geqslant 0,k\in \mathbb {N} \cup \{0\}\;$

Zależności

Każdy człowiek w danym okresie czasu może albo umrzeć albo nie. Nie istnieje trzecia możliwość a zatem prawdopodobieństwa ${}_{t}p_{x}\;$ i ${}_{t}q_{x}\;$ muszą dawać w sumie $1\;$

${}_{t}p_{x}+{}_{t}q_{x}=1\;$

Można łatwo wykazać interpretując ${}_{t}p_{x+s}\;$ jako prawdopodobieństwo warunkowe przeżycia przez $x\;$-latka $t+s\;$ lat pod warunkiem, że przeżyje on co najmniej $s\;$ lat (${}_{t}p_{x+s}=Pr(T>s+t|T>s)\;$), że zachodzi równość

${}_{s+t}p_{x}={}_{s}p_{x}\cdot {}_{t}p_{x+s}.\;$

Podobnie można zinterpretować ${}_{s|t}q_{x}\;$

${\begin{aligned}{}_{s|t}q_{x}&={}_{s+t}q_{x}-{}_{s}q_{x}=(1-{}_{s+t}p_{x})-(1-{}_{s}p_{x})=\\&={}_{s}p_{x}-{}_{s+t}p_{x}={}_{s}p_{x}-{}_{s}p_{x}{}_{t}p_{x+s}=\\&={}_{s}p_{x}(1-{}_{t}p_{x+s})={}_{s}p_{x}{}_{t}q_{x+s}.\end{aligned}}\;$

Kolejna warta zapamiętania zależność również łatwa do uzyskania w podobny sposób to:

${}_{t}p_{x}={\frac {s(x+t)}{s(x)}}\;$

Intensywność umieralności

Chcielibyśmy czasem mieć możliwość oceny prawdopodobieństwa zgonu nie w pewnym przedziale czasu ale lokalnie w danym momencie $t\;$. Prawdopodobieństwo ${}_{x}p_{x}\;$ jest równe $0\;$. Musimy więc rozważać niezerowe przedziały i dokonać przejścia granicznego czyli innymi słowy posłużyć się pojęciem pochodnej. Definiuje się więc wielkość zwaną intensywnością umieralności, oznaczaną $\mu _{x}\;$ i określoną następująco

$\mu _{x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)}{\Delta x}}.\;\;$

Prawdopodobieństwo występujące w powyższym wzorze można wyrazić za pomocą funkcji przeżycia

$Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)={\frac {s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)}}.\;\;$

Po podstawieniu otrzymujemy

$\mu _{x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)\Delta x}}=-{\frac {s'(x)}{s(x)}}=-{\frac {d}{dt}}\ln s(x).\;\;$

Współczynnik umieralności można również wyrazić w terminach prawdopodobieństw ${}_{t}p_{x}\;$

$\mu _{x+t}=-{\frac {{\frac {d}{dt}}{}_{t}p_{x}}{{}_{t}p_{x}}}=-{\frac {d}{dt}}\ln {}_{t}p_{x}\;\;$

Modele analityczne

Życie ludzkie jest procesem na który wpływ ma wiele czynników. Różne czynniki mają wpływ na śmiertelność w różnym wieku. W każdej populacji rozkład zmiennej $T\;$ jest nieco inny. W XVIII i XIX w. podejmowano jednak próby opisania śmiertelności w sposób analityczny. Dziś modele te mają już raczej charakter wyłącznie historyczny, a próby analitycznego opisania rozkładu długości trwania życia spotykają się ze sceptyczną oceną demografów.

W 1724 r. Abraham de Moivre przyjął założenie, że istnieje nieprzekraczalny wiek graniczny $\omega \;$. Założył również, że dalsze trwanie życia $(x)\;$ ma rozkład jednostajny na przedziale $(0,\omega -x)\;$. Natężenie wymierania w takim modelu wyraża się wzorem

$\mu _{x+t}={\frac {1}{\omega -x-t}},\quad t\in (0,\omega -x).\;$

O hipotetycznej populacji, w której umieralność spełnia powyższe równanie mówi się, że rządzi nią prawo umieralności de Moivre

W 1824 r. Benjamin Gompertz postawił hipotezę, że wiek graniczny nie istnieje a współczynnik umieralności jest funkcją wykładniczą.

$\mu _{x+t}=Bc^{x+t},\quad B>0,c>1,t>0.\;$

W 1860 r. William Makeham uzupełnił formułę Gompertza o stały, niezależny od wieku człon $A\;$.

$\mu _{x+t}=A+Bc^{x+t},\quad B>0,c>1,t>0.\;$

Warto zauważyć, że w modelach Gompertza i Makehama gdy $c=1\;$ to współczynnik umieralności byłby stały (niezależny od wieku). Oznaczałoby to, że człowiek niezależnie od wieku ma przed sobą takie same perspektywy odnośnie długości dalszego trwania życia. Innymi słowy w takiej populacji nikt się nie starzeje, długość życia ma rozkład wykładniczy, a umieralność można wtedy porównać do procesu rozpadu promieniotwórczego.

W 1939 r. szwedzki inżynier i matematyk Ernst Hjalmar Waloddi Weibull zaproponował użycie funkcji wielomianowej w miejsce wykładniczej

$\mu _{x+t}=k(x+t)^{n},\quad k>0,n>1,t>0.\;$

Tablice długości trwania życia

Podstawowe dane demograficzne niezbędne do kalkulacji aktuarialnych gromadzone są w formie tablic długości trwania życia. Tablice takie publikowane są w Polsce przez Główny Urząd Statystyczny. Mają one formę tabeli w której osobno dla mężczyzn a osobno dla kobiet znajdują się dane zebrane w kolumnach:

$x\;$	$l_{x}\;$	$q_{x}\;$	$d_{x}\;$	$L_{x}\;$	$T_{x}\;$	${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\;$

• $x\;$ – wiek w latach,
• $l_{x}\;$ – średnia liczba dożywających wieku $x\;$ spośród początkowej liczby $l_{0}=100000\;$ noworodków,
• $q_{x}\;$ – jak wyjaśniono wcześniej jest to prawdopodobieństwo, że $(x)\;$ przeżyje co najwyżej kolejny rok,
• $d_{x}:=l_{x}-l_{x+1}\;$ – średnia liczba zgonów w przedziale wieku od $x\;$ do $x+1\;$
• $L_{x}\;$ – średnia ogólna liczba przeżytych lat pomiędzy wiekiem $x\;$ i $x+1\;$ z początkowej kohorty $l_{0}=100000\;$ noworodków,
• $T_{x}\;$ – średnia ogólna liczba przeżytych lat powyżej wieku $x\;$ dla początkowej kohorty $l_{0}=100000\;$ noworodków,
• ${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\;$ – oczekiwana dalsza długość trwania życia dla $(x)\;$.

Symbol $d_{x}\;$ jest szczególnym przypadkiem symbolu ${}_{n}d_{x}\;$ definiowanego następująco:

${}_{n}d_{x}:=l_{x}-l_{x+n}=l_{x}\cdot q_{x}.\;$

Symbol ${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\;$ definiuje się następująco:

${\stackrel {\circ }{e}}_{x}=E(T(x))=\int _{0}^{\infty }t\cdot g(t)dt=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}dt.\;\;$

Dla zmiennej dyskretnej $K(x)\;$ również definiuje się analogiczny symbol:

$e_{x}=E(K(x))=\sum _{k=0}^{\infty }k{}_{k}p_{x}q_{x+k}=\sum _{k=0}^{\infty }{}_{k+1}p_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }{}_{k}p_{x}.\;\;$

Ponadto można pokazać, że:

${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\approx e_{x}+{\frac {1}{2}}.\;\;$

${}_{t}p_{x}={\frac {l_{x+t}}{l_{x}}}\;\;$

${}_{t|k}q_{x}={\frac {l_{x+t}-l_{x+t+k}}{l_{x}}}\;$

Ubezpieczyciele do swych kalkulacji korzystają z własnych tablic, które nie są ogólnie dostępne.

Prawdopodobieństwo zgonu dla okresów ułamkowych

Dane demograficzne zebrane w tablicach długości trwania życia mają charakter dyskretny. Dostarczają informację o konkretnych wartościach jedynie dla wartości całkowitych. Gdy chcemy uzyskać dane dla konkretnego momentu pomiędzy tymi wartościami musimy dokonać interpolacji. W podrozdziale niniejszym omówimy trzy podstawowe założenia dla interpolacji stosowanej w ubezpieczeniach na życie.

Nieco bardziej formalnie i korzystając z wprowadzonych oznaczeń ujmujemy to zagadnienie następująco. Znamy rozkład zmiennej $K\;$ i na jego podstawie chcemy interpolować rozkład zmiennej $T\;$. Wprowadzamy oznaczenie $S\;$:

$S:=T-K.\;$

Jednostajny rozkład zgonów w ciągu roku (UDD)

Założenie to określane jest skrótem UDD (ang. uniform distribution of deaths). Już z samej nazwy widać, że przy założeniu tym $S\;$ ma rozkład jednostajny na przedziale jednego roku. Zakładać ponadto będziemy, że zmienne $K\;$ i $S\;$ są niezależne. Z jednostajności rozkładu zgonów w ciągu roku wynika liniowość prawdopodobieństwa ${}_{t}q_{x}\;$ względem $t\;$ w przedziale $(0,1)\;$ czyli

${}_{t}q_{x}=t\cdot {q}_{x}.\;$

Stała intensywność umieralności

Zakładamy tu, że $\mu _{x+t}\;$ ma dla każdego $t\in (0,1)\;$ wartość stałą równą $\mu _{x+{\frac {1}{2}}}=-\ln p_{x}.\;$

Przy tym założeniu zmienne $K\;$ i $S\;$ nie są niezależne.

Założenie Balducciego

Założenie to określone jest wzorem:

${}_{1-t}q_{x+t}=(1-t)\cdot {q}_{x}.\;\;$

Idea tego założenia polega na liniowej interpolacji odwrotności funkcji przeżycia:

${\frac {1}{s(x+t)}}=(1-t)\cdot {\frac {1}{s(x)}}+t\cdot {\frac {1}{s(x+1)}},\quad t\in [0,1].\;\;$

Przy tym założeniu zmienne $K\;$ i $S\;$ nie są niezależne.

Podsumowanie

funkcja	UDD	$\mu =const\;$	Balducci
${}_{t}q_{x}\;$	$tq_{x}\;$	$1-e^{-\mu t}\;$	${\frac {tq_{x}}{1-(1-t)q_{x}}}\;$
${}_{t}p_{x}\;$	$1-tq_{x}\;$	$e^{-\mu t}\;$	${\frac {p_{x}}{1-(1-t)q_{x}}}\;$
${}_{y}q_{x+t}\;$	${\frac {yq_{x}}{1-tq_{x}}}\;$	$1-e^{-\mu y}\;$	${\frac {yq_{x}}{1-(1-t)q_{x}}}\;$
$\mu _{x+t}\;$	${\frac {q_{x}}{1-tq_{x}}}\;$	$\mu \;$	${\frac {q_{x}}{1-(1-t)q_{x}}}\;$
${}_{t}p_{x}\mu _{x+t}\;$	$q_{x}\;$	$e^{-\mu t}\mu \;$	${\frac {p_{x}q_{x}}{({1-(1-t)q_{x}})^{2}}}\;$
${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\;$	$e_{x}+{\frac {1}{2}}\;$
$Var(T)\;$	$Var(K)+{\frac {1}{12}}\;$

Tablice specjalne

Tablice długości trwania życia są skonstruowane dla poszczególnych grup zróżnicowanych według różnych czynników. Najważniejszym czynnikiem branym pod uwagę przy zawarciu ubezpieczenia jest wiek początkowy $x\;$. Ubezpieczenia jednak są oferowane często osobom cieszącym się dobrym zdrowiem. Często również przed przystąpieniem do ubezpieczenia wykonywane są badania medyczne. Sytuacja takiej osoby nie jest więc identyczna z sytuacją $x\;$-latka, który wykupił ubezpieczenie kilka lat temu nawet jeśli inne czynniki są identyczne. Aby wziąć to pod uwagę konstruuje się tablice specjalne (selektywne, ang. select life tables). W tablicach takich prawdopodobieństwa śmierci są różne w zależności od wieku przystąpienia do ubezpieczenia. Wprowadza się zatem oznaczenie $q_{[x]+t}\;$ jako prawdopodobieństwo, że osoba $(x+t)\;$, która przystąpiła do ubezpieczenia w wieku $x\;$ umrze w ciągu najbliższego roku. Zachodzi przy tym nierówność

$q_{[x]}<q_{[x]+1}<q_{[x]+2}<\ldots \;$

Po kilku latach (powiedzmy $r\;$) wiek w chwili przystąpienia przestaje mieć tak duże znaczenie i można używać zwykłych tablic. Zachodzi więc

$q_{[x]+k}=q_{x+k}\quad {\text{dla}}\quad k\geqslant r.\;$