Matematyka ubezpieczeń życiowych/Model demograficzny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Punktem wyjścia do rozważań na temat ubezpieczeń na życie jest analiza trwania ludzkiego życia i momentu jego końca jako zjawiska o charakterze losowym. W niniejszym rozdziale omówiony zostaną podstawowe zagadnienia związane z modelem demograficznym.

W swej najprostszej wersji model ten zakłada, że śmierć danego osobnika następuje w losowym (czyli niemożliwym do dokładnego przewidzenia w sposób pewny) momencie a szanse zajścia lub nie takiego zdarzenia rozpatrujemy tylko i wyłącznie jako funkcję wieku osobnika. Uwzględnienie czynników pokoleniowych jest możliwe, ale wymagać będzie większej komplikacji modelu.

Zmienne losowe i inne oznaczenia[edytuj]

Obiektem naszych rozważań będzie osobnik w wieku i oznaczać go będziemy symbolem . Interesować nas będzie również jego wiek w chwili zgonu (czyli całkowita długość trwania jego życia) rozumiana jako zmienna losowa i oznaczana symbolem . Ponieważ jest obecnie w wieku , to pozostało przed nim jeszcze lat życia. Wprowadzamy więc zmienną losową , zapisywaną czasem bez argumentu jako i definiujemy ją następująco:


Kolejnymi symbolami jakie wprowadzimy będą oznaczenia gęstości i dystrybuant dla rozważanych zmiennych losowych. Będą to odpowiednio i dla zmiennej oraz i dla zmiennej .

Wszystkie powyższe wartości nie muszą być liczbami całkowitymi. W praktyce dość często wiek jest wyrażany całkowitymi liczbami ukończonych lat życia. Również ubezpieczenia zawierane są często na konkretną liczbę lat. Całkowitą liczbę lat jakie przeżyje nim umrze oznaczymy przez .

Wszystkie powyższe oznaczenia zostały zebrane w tabeli:

ozn. opis
osobnik w wieku
wiek w chwili zgonu
dystrybuanta zmiennej
gęstość zmiennej
dalsze trwanie życia osoby
dystrybuanta zmiennej
gęstość zmiennej
całkowita liczba przeżytych lat

Podstawowe prawdopodobieństwa występujące w modelu[edytuj]

Przyjąwszy powyższe oznaczenia możemy rozpocząć rozważania nad prawdopodobieństwem, że przeżyje lub nie zadany okres czasu . Prawdopodobieństwa te będą rzecz jasna funkcjami dwóch zmiennych - i . W notacji aktuarialnej są one oznaczane jako i . Umownie, gdy czas to jest on w tym zapisie pomijany.



Wprowadzamy również funkcję zwaną funkcją przeżycia. Definiuje się ją jako prawdopodobieństwo, że (czyli noworodek) dożyje wieku


Poniższa tabela zwięźle ujmuje wprowadzone oznaczenia

oznaczenie definicja założenia

Zależności[edytuj]

Każdy człowiek w danym okresie czasu może albo umrzeć albo nie. Nie istnieje trzecia możliwość a zatem prawdopodobieństwa i muszą dawać w sumie


Można łatwo wykazać interpretując jako prawdopodobieństwo warunkowe przeżycia przez -latka lat pod warunkiem, że przeżyje on co najmniej lat (), że zachodzi równość


Podobnie można zinterpretować


Kolejna warta zapamiętania zależność również łatwa do uzyskania w podobny sposób to:


Intensywność umieralności[edytuj]

Chcielibyśmy czasem mieć możliwość oceny prawdopodobieństwa zgonu nie w pewnym przedziale czasu ale lokalnie w danym momencie . Prawdopodobieństwo jest równe . Musimy więc rozważać niezerowe przedziały i dokonać przejścia granicznego czyli innymi słowy posłużyć się pojęciem pochodnej. Definiuje się więc wielkość zwaną intensywnością umieralności, oznaczaną i określoną następująco


Prawdopodobieństwo występujące w powyższym wzorze można wyrazić za pomocą funkcji przeżycia


Po podstawieniu otrzymujemy


Współczynnik umieralności można również wyrazić w terminach prawdopodobieństw


Modele analityczne[edytuj]

Życie ludzkie jest procesem na który wpływ ma wiele czynników. Różne czynniki mają wpływ na śmiertelność w różnym wieku. W każdej populacji rozkład zmiennej jest nieco inny. W XVIII i XIX w. podejmowano jednak próby opisania śmiertelności w sposób analityczny. Dziś modele te mają już raczej charakter wyłącznie historyczny, a próby analitycznego opisania rozkładu długości trwania życia spotykają się ze sceptyczną oceną demografów.

W 1724 r. Abraham de Moivre przyjął założenie, że istnieje nieprzekraczalny wiek graniczny . Założył również, że dalsze trwanie życia ma rozkład jednostajny na przedziale . Natężenie wymierania w takim modelu wyraża się wzorem


O hipotetycznej populacji, w której umieralność spełnia powyższe równanie mówi się, że rządzi nią prawo umieralności de Moivre

W 1824 r. Benjamin Gompertz postawił hipotezę, że wiek graniczny nie istnieje a współczynnik umieralności jest funkcją wykładniczą.


W 1860 r. William Makeham uzupełnił formułę Gompertza o stały, niezależny od wieku człon .


Warto zauważyć, że w modelach Gompertza i Makehama gdy to współczynnik umieralności byłby stały (niezależny od wieku). Oznaczałoby to, że człowiek niezależnie od wieku ma przed sobą takie same perspektywy odnośnie długości dalszego trwania życia. Innymi słowy w takiej populacji nikt się nie starzeje, długość życia ma rozkład wykładniczy, a umieralność można wtedy porównać do procesu rozpadu promieniotwórczego.

W 1939 r. szwedzki inżynier i matematyk Ernst Hjalmar Waloddi Weibull zaproponował użycie funkcji wielomianowej w miejsce wykładniczej


Tablice długości trwania życia[edytuj]

Podstawowe dane demograficzne niezbędne do kalkulacji aktuarialnych gromadzone są w formie tablic długości trwania życia. Tablice takie publikowane są w Polsce przez Główny Urząd Statystyczny[1]. Mają one formę tabeli w której osobno dla mężczyzn a osobno dla kobiet znajdują się dane zebrane w kolumnach:

  • – wiek w latach,
  • – średnia liczba dożywających wieku spośród początkowej liczby noworodków,
  • – jak wyjaśniono wcześniej jest to prawdopodobieństwo, że przeżyje co najwyżej kolejny rok,
  • – średnia liczba zgonów w przedziale wieku od do
  • – średnia ogólna liczba przeżytych lat pomiędzy wiekiem i z początkowej kohorty noworodków,
  • – średnia ogólna liczba przeżytych lat powyżej wieku dla początkowej kohorty noworodków,
  • – oczekiwana dalsza długość trwania życia dla .

Symbol jest szczególnym przypadkiem symbolu definiowanego następująco:


Symbol definiuje się następująco:


Dla zmiennej dyskretnej również definiuje się analogiczny symbol:


Ponadto można pokazać, że:





Ubezpieczyciele do swych kalkulacji korzystają z własnych tablic, które nie są ogólnie dostępne.

Prawdopodobieństwo zgonu dla okresów ułamkowych[edytuj]

Dane demograficzne zebrane w tablicach długości trwania życia mają charakter dyskretny. Dostarczają informację o konkretnych wartościach jedynie dla wartości całkowitych. Gdy chcemy uzyskać dane dla konkretnego momentu pomiędzy tymi wartościami musimy dokonać interpolacji. W podrozdziale niniejszym omówimy trzy podstawowe założenia dla interpolacji stosowanej w ubezpieczeniach na życie.

Nieco bardziej formalnie i korzystając z wprowadzonych oznaczeń ujmujemy to zagadnienie następująco. Znamy rozkład zmiennej i na jego podstawie chcemy interpolować rozkład zmiennej . Wprowadzamy oznaczenie :


Jednostajny rozkład zgonów w ciągu roku (UDD)[edytuj]

Założenie to określane jest skrótem UDD (ang. uniform distribution of deaths). Już z samej nazwy widać, że przy założeniu tym ma rozkład jednostajny na przedziale jednego roku. Zakładać ponadto będziemy, że zmienne i są niezależne. Z jednostajności rozkładu zgonów w ciągu roku wynika liniowość prawdopodobieństwa względem w przedziale czyli


Stała intensywność umieralności[edytuj]

Zakładamy tu, że ma dla każdego wartość stałą równą

Przy tym założeniu zmienne i nie są niezależne.

Założenie Balducciego[edytuj]

Założenie to określone jest wzorem:


Idea tego założenia polega na liniowej interpolacji odwrotności funkcji przeżycia:


Przy tym założeniu zmienne i nie są niezależne.

Podsumowanie[edytuj]

funkcja UDD Balducci

Tablice specjalne[edytuj]

Tablice długości trwania życia są skonstruowane dla poszczególnych grup zróżnicowanych według różnych czynników. Najważniejszym czynnikiem branym pod uwagę przy zawarciu ubezpieczenia jest wiek początkowy . Ubezpieczenia jednak są oferowane często osobom cieszącym się dobrym zdrowiem. Często również przed przystąpieniem do ubezpieczenia wykonywane są badania medyczne. Sytuacja takiej osoby nie jest więc identyczna z sytuacją -latka, który wykupił ubezpieczenie kilka lat temu nawet jeśli inne czynniki są identyczne. Aby wziąć to pod uwagę konstruuje się tablice specjalne (selektywne, ang. select life tables). W tablicach takich prawdopodobieństwa śmierci są różne w zależności od wieku przystąpienia do ubezpieczenia. Wprowadza się zatem oznaczenie jako prawdopodobieństwo, że osoba , która przystąpiła do ubezpieczenia w wieku umrze w ciągu najbliższego roku. Zachodzi przy tym nierówność


Po kilku latach (powiedzmy ) wiek w chwili przystąpienia przestaje mieć tak duże znaczenie i można używać zwykłych tablic. Zachodzi więc


Przypisy[edytuj]

  1. Tablice trwania życia