Przejdź do zawartości

Matematyka ubezpieczeń życiowych/Renty życiowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.


Renty są ciągami płatności. W matematyce ubezpieczeniowej również i one są uzależnione długością trwania życia. Za pomocą rent opisywać będziemy przepływy finansowe zarówno od ubezpieczonego do ubezpieczyciela (jak to ma miejsce w przypadku składek) jak i od ubezpieczyciela do ubezpieczonego (jak to ma miejsce w przypadku świadczeń emerytalnych).

Podobnie jak w przypadku wartości obecnej ubezpieczeń mamy tu do czynienia z podziałem rent wg różnych czynników.

Wg długości trwania renty dzielimy na:

  • terminowe,
  • bezterminowe,
  • terminowe odroczone,
  • bezterminowe odroczone.

Wg czasu dokonywania płatności renty dzielimy na płatne:

  • na początku roku lub jego podokresu okresu,
  • na koniec roku lub jego podokresu okresu,
  • w sposób ciągły.

Renty dyskretne[edytuj]

symbol wartość relacja nazwa
bezterminowa, płatna na początku każdego roku
bezterminowa, płatna na końcu każdego roku
-letnia, płatna na początku każdego roku
-letnia, płatna na końcu każdego roku
bezterminowa, płatna na początku każdego roku, odroczona o lat
bezterminowa, płatna na końcu każdego roku, odroczona o lat

W powyższej tabeli prócz wzorów definicyjnych podano również relacje jakie zachodzą pomiędzy rentami a wartościami obecnymi ubezpieczeń na życie. Sens tych relacji można wyjaśnić na następującym przykładzie:


Interpretacja tego wzoru może być następująca. Zaciągnięto dług na kwotę . Dłużnik spłaca same odsetki na początku każdego roku (w wysokości ). Ponieważ dłużnik może umrzeć przed uregulowaniem długu, wykupił ubezpieczenie gwarantujące uregulowanie pozostałej do spłaty należności. Następuje to na koniec roku śmierci ubezpieczonego.

Renty ciągłe[edytuj]

symbol wartość relacja

Renty płatne częściej niż raz w roku[edytuj]


gdzie


W większości wypadków (dla niewielkiego ) można się posłużyć praktycznym przybliżeniem wynikającym z rozwinięcia powyższych wzorów w szereg Taylora:


Funkcje komutacyjne dla rent[edytuj]




gdzie