Matematyka ubezpieczeń życiowych/Ubezpieczenia na wiele żyć

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Człowiek jest istotą społeczną i zwykł odwzajemniać swe uczucia. Troska o zapewnienie bytu współmałżonka po śmierci występuje zwykle u obu współmałżonków. Oprócz zwykłych polis ubezpieczeniowych wystawianych pojedynczym osobom, ubezpieczyciele oferują więc również ubezpieczenia obejmujące kilka osób. Niniejszy rozdział prezentuje aparat matematyczny stosowany do opisu takich produktów.

Status wspólnego życia[edytuj]

Zdarzenia, przed którymi wykupujący ubezpieczenie stara się zabezpieczyć są różne (może umrzeć dowolna osoba z rozważanej grupy). Wspólną ich cechą jest przerwanie stanu, w którym wszystkie osoby objęte ubezpieczeniem żyją. W związku z tym wprowadza się pojęcie statusu wspólnego życia jako odpowiednika życia pojedynczej osoby. Status taki dla grupy osób w wieku odpowiednio jest oznaczany jako . Zmienna oznaczająca czas trwania statusu (jako odpowiednik czasu życia pojedynczej osoby) przyjmuje wartość:


Prawdopodobieństwo przeżycia dla takiego statusu jest wtedy równe:


Jeśli przyjąć, że osoby objęte ubezpieczeniem pochodzą z tej samej populacji a ich zgony są zdarzeniami niezależnymi[1] to dzięki tej niezależności otrzymamy wzór:


Różniczkując względem logarytm powyższego prawdopodobieństwa łatwo otrzymujemy:


Status ostatniego przeżywającego[edytuj]

W ubezpieczeniach na wiele żyć istotne jest nie tylko to kiedy umrze pierwsza osoba z grupy co jest potencjalnym powodem do wypłacania świadczenia, ale także to jak długo będzie żyć ostatnia osoba z grupy czyli zwykle ostatnia osoba uprawniona do świadczeń. Wprowadza się więc pojęcie statusu ostatniego przeżywającego (ang. last-survivor status) i oznacza następująco


Zmienna przyjmuje wtedy wartość


Analityczne prawa śmiertelności dla wielu żyć[edytuj]

Populacja Gompertza[edytuj]

Załóżmy, że śmiertelnością w całej populacji rządzi prawo Gompertza , gdzie , . Będziemy szukali pojedynczego wieku mogącego zastąpić status wspólnego życia . (Podobne rozważania można jednak przeprowadzić dla większej liczby żyć.)


Z wcześniejszych rozważań na temat statusu wspólnego życia wiemy, że przy założeniu niezależności zmiennych i mamy:


zatem



co definiuje poszukiwane .

Dla wynika stąd


Tak wiec dla zdefiniowanego powyżej, wszystkie prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane i wariancje dla statusu wspólnego życia są równe wartościom dla pojedynczego życia . W takiej sytuacji nie ma więc konieczności tworzenia dodatkowych tablic wielowymiarowych z wartościami aktuarialnymi dla wielu żyć.

Populacja Makehama[edytuj]

Założenie, że śmiertelnością w populacji rządzi prawo Makehama czyni rozważania bardziej złożonymi. Mamy bowiem


gdzie , ,

Nie możemy zastąpić statusu wspólnego życia jednym życiem z powodu występowania składnika . (Nie istnieje takie , niezależne od , które spełniałoby założenia.) Zamiast tego zastąpimy innym statusem wspólnego życia . Wtedy


gdzie wybieramy tak aby


W przeciwieństwie do przypadku populacji Gompertza gdzie jednowymiarowe funkcje są oparte na tablicach dla pojedynczego życia, tutaj funkcje są oparte na statusie wspólnego życia dla rówieśników.

Ubezpieczenia na wiele żyć w okresach ułamkowych[edytuj]

Rozważymy teraz założenie jednostajnego rozkładu zgonów (UDD) dla każdego z wielu żyć. Przy tym dodatkowym założeniu możemy obliczyć jednorazową składkę w ubezpieczeniu wypłacającym w momencie śmierci świadczenie opłacone składkami płatnymi częściej niż raz w roku. Przypomnijmy, że w przypadku pojedynczych żyć mieliśmy przy założeniu UDD zależność


Podobna, choć nie identyczna zależność będzie występować i tutaj.


Widzimy, że pierwszy człon otrzymanego wzoru byłby równy gdyby rozkład czasu wygasania statusu wspólnego życia miał jednostajny rozkład w ciągu roku. Nie jest tak gdy a i mają niezależnie jednostajny rozkład w ciągu roku. Rozkład w ciągu roku pod warunkiem, że i umrą w różnych latach jest wprawdzie jednostajny, ale z kolei w przypadku gdy i umierają w tym samym roku będzie się znajdować bliżej jego początku. W konsekwencji niezbędny jest drugi człon otrzymanego wzoru związany wcześniejszą wypłatą świadczenia. Można przy tym pokazać, że:


Funkcje uwarunkowane kolejnością zgonów[edytuj]

Dotychczas rozpatrywaliśmy wyłącznie statusy symetryczne. Nie miało dla nas znaczenia, która osoba umiera jako pierwsza, a która jako ostatnia. Czasami jednak kwestia kolejności zgonów ma znaczenie. Inna bowiem jest sytuacja rodziny w której jako pierwszy umiera jej główny (a czasem jedyny) żywiciel a inna gdy w rodzinie umiera osoba nie osiągająca tak znacznych (czy w ogóle jakichkolwiek) dochodów.

Aby rozpatrywać te sytuacje wprowadza się kolejne oznaczenia. Ponad składową danego statusu zapisujemy numer oznaczający, jako która z kolei dana osoba umrze.

Rozpatrzymy tutaj przykładowo dwie wielkości:

  • – prawdopodobieństwo tego, że umrze jako pierwszy (a więc przed śmiercią ) przed upływem lat

Matematyka ubezpieczeń życiowych-2.svg

  • – prawdopodobieństwo tego, że umrze jako drugi (a więc po śmierci ) przed upływem lat
Matematyka ubezpieczeń życiowych-1.svg

Z powyższego opisu widać, że przypadki opisane drugim zdarzeniem są zawarte w zbiorze przypadków opisanych pierwszym. Oczekujemy więc, że zachodzić będzie nierówność .

Można łatwo wykazać, że:


oraz


co potwierdza nierówność wynikającą z opisu poszczególnych zdarzeń.

Podobnie dla ubezpieczeń mamy


Reinterpretacja niektórych oznaczeń[edytuj]

Status wygasa z chwilą upłynięcia lat (). Możemy więc na nowo zinterpretować oznaczenia takie jak (ograniczając się do samego opisu sytuacji uprawniającej do uzyskania świadczenia):

  • – świadczenie jest wypłacane gdy wygaśnie status (czyli gdy umrze) lub gdy wygaśnie status (czyli gdy upłynie lat)
  • – świadczenie jest wypłacane gdy status wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu to znaczy przed upływem lat
  • – świadczenie jest wypłacane gdy status wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu (czyli gdy ubezpieczony przeżyje co najmniej lat)

Przypisy

  1. w rzeczywistości może to nie być prawdą