Matematyka ubezpieczeń życiowych/Składki netto

Umowa ubezpieczeniowa jest umową dwustronną pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym. Określa ona jakie obowiązki z jakich wywiązać musi się każda ze stron. Z jednej więc strony określone są świadczenia wypłacane przez ubezpieczyciela, a z drugiej składki czyli płatności jakie odprowadza ubezpieczycielowi ubezpieczony. Zarówno świadczenia jak i składki mogą mieć charakter jednorazowych płatności lub ich ciągu o stałej lub zmiennej wartości. W sytuacji kalkulacji netto świadczenia i składki są sobie w sensie aktuarialnym równoważne. Oznacza to, że wartości oczekiwane przepływów finansowych będą równe.

Wprowadzimy teraz pojęcie straty ubezpieczyciela. Wielkość tą jest zmienną losową oznaczaną literą $L$ (ang. total loss) i będącą różnicą między wypłaconymi świadczeniami i zebranymi składkami dla danego ubezpieczonego. Składki będą ustalone na poziomie netto jeśli spełniona będzie równość

$E(L)=0.\;$

Literą używaną do oznaczania składek netto jest litera $P$ od angielskiego net premium.

Przykład

Obliczenie składki netto zobrazujemy na przykładzie bezterminowej polisy na życie, z wypłatą świadczenia na koniec roku zgonu. Przyjmijmy, że opłacane ono będzie stałą składką $P_{x}$ na początku każdego roku. Wtedy stratę ubezpieczyciela można wyrazić za pomocą całkowitej liczby $K$ pozostałych lat życia jako różnicę zdyskontowanej wypłaty świadczenia oraz wartości obecnej renty przemnożonej przez wartość składki

$L=v^{K+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1\,}}|}.\;$

Wiemy, że musi zachodzić $E(L)=0$ zatem

${\begin{aligned}E(L)&=0\\E(v^{K+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1\,}}|})&=0\\E(v^{K+1})-P_{x}E({\ddot {a}}_{{\overline {K+1\,}}|})&=0\\A_{x}-P_{x}{\ddot {a}}_{x}&=0\\P_{x}&={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x}}}.\\\end{aligned}}\;$

Przykład

Obliczmy składkę dla produktu ubezpieczeniowego wystawianego dla osoby płci męskiej w wieku 24 lat, opłacanego równymi składkami na początku roku do wieku 65 lat, w którym świadczenie jest dożywotnią rentą wypłacaną od 65 roku życia. Przyjmijmy techniczną stopę oprocentowania $i=5\%$. Do kalkulacji należy posłużyć się tablicami trwania życia publikowanymi corocznie przez GUS w Monitorze Polskim. Jak zmieni się składka gdy wiek końca okresu składkowego i początku otrzymywania świadczeń zmieni się z 65 na 67 lat.

Rozwiązanie:

$v={\frac {1}{1+i}}={\frac {1}{1{,}05}}\approx 0{,}952$

$x=24\quad n=65-24=41$

Potrzebować będziemy następujących wartości:

• ${}_{41|}{\ddot {a}}_{24}$ wartość obecna renty bezterminowej odroczonej na 41 lat dla 24 latka, płatnej na początku każdego roku
• ${\ddot {a}}_{24:{\overline {41|}}}$ wartość obecna renty terminowej 41-letniej płatnej na początku każdego roku

Skorzystamy tu z własności

${}_{m|}{\ddot {a}}_{x}={}_{m}p_{x}v^{m}{\ddot {a}}_{x+m}$

${}_{m}p_{x}={\frac {l_{x+m}}{l_{x}}}={\frac {l_{65}}{l_{24}}}={\frac {72021}{98490}}\approx 0{,}731$

Wartości poszczególnych rent możemy obliczyć za pomocą funkcji komutacyjnych

${\ddot {a}}_{x}={\frac {N_{x}}{D_{x}}}$
${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}={\frac {N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}}$

gdzie

$D_{x}=v^{x}l_{x}$
$N_{x}=\sum _{k=0}^{\infty }D_{x+k}$

W praktyce z konieczności sumowanie w powyższym wzorze odbywa się nie do nieskończoności tylko do maksymalnego wieku objętego tabelą.