Statystyka matematyczna/Funkcje charakterystyczne

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna
Funkcje charakterystyczne

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Wprowadzimy funkcję zwaną funkcją charakterystyczną, która charakteryzuje sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa. Mając funkcję gęstości prawdopodobieństwa można określić funkcję charakterystyczną i odwrotnie, mając funkcję charakterystyczną możemy określić sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa.

Wartość oczekiwana z wielkości zespolonej[edytuj]

Załóżmy, że mamy pewną funkcję prostą zespoloną, która jest sumą jej części rzeczywistej i urojonej i której definicją jest:

(8.1)

Znając wartości oczekiwane względem funkcji prostych x i y przy pewnej funkcji gęstości prawdopodobieństwa, to jego wartość oczekiwana (8.1), korzystając przy tym z udowodnionej tożsamości (5.3), możemy przedstawić jako sumę wartości oczekiwanej argumentu x i iloczynu jednostki urojonej przez wartości oczekiwanej argumentu y.

(8.2)

Funkcja charakterystyczna rozkładu[edytuj]

Funkcją charakterystyczną rozkładu względem zmiennej x definiujemy jak wartość oczekiwana z funkcji eksponencjalnej z argumentu itx.

(8.3)

Przy definiowaniu funkcji (8.3), korzystaliśmy z założenia (8.2). Znając funkcję charakterystyczną rozkładu możemy napisać funkcję gęstości prawdopodobieństwa f(x) na podstawie transformaty Fouriera według funkcji charakterystycznej zdefiniowanej w punkcie (8.3):

(8.4)

Dystrybuantę zmiennej x gęstości prawdopodobieństwa f(x) (8.4) definiujemy:

(8.5)

Momenty statystyczne λ, a funkcji charakterystyczna rozkładu[edytuj]

Weźmy n-tą pochodną funkcji zespolonej (8.3), którą nazywamy:

(8.6)

Policzmy n-tą pochodną funkcji charakterystycznej (8.6) w punkcie t=0, i korzystając przy tym z definicji momentu statystycznego (3.1), zatem oczywiste jest, że n-ta pochodna funkcji (8.3) w punkcie zerowym jest wprost proporcjonalna do momentu statystycznego λn:

(8.7)

Momenty statystyczne μ, a funkcja charakterystyczna rozkładu[edytuj]

Zdefiniujmy funkcję charakterystyczną φy(t) dla funkcji zdefiniowanej jako względem jakieś funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa:

(8.8)

n-ta pochodna funkcji φy (8.8) jest napisana wedle:

(8.9)

Następnie policzmy n-tą pochodną (8.8) w punkcie t=0 , korzystając przy tym z definicji momentu statystyczneg μn względem średniej arytmetycznej przy jego definicji (3.8):

(8.10)

Ze wzoru (8.10) wynika, że zerowa pochodna (sama funkcja) jest równa jeden dla t=0, co wynika z normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa, czy z definicji momentu statystycznego μn, czyli:

(8.11)

A jego pierwsza pochodna z własności (3.13) momentu statystycznego o numerze jeden jest równa zero:

(8.12)

Także wariacja, z własności (3.14) wzięta z minusem, jest napisana w zależności od drugiej pochodnej funkcji φy(t) w tymże punkcie dla t=0:

(8.13)

Funkcja charakterystyczna dwóch niezależnych zmiennych[edytuj]

Weźmy pod lupę funkcję w=x+y, gdzie x- to jest zmienna pierwszego rozkładu, y-drugiego rozkładu, zatem funkcję charakterystyczną względem parametru "w", a także korzystając przy tym z własności funkcji eksponencjalnej, możemy napisać:

(8.14)

Wiedząc, ze parametry x i y są zmiennymi niezależnymi w danym doświadczeniu w układzie statystycznym, wedle wzoru (5.9) możemy ten obiekt (8.14) zapisać:

(8.15)

Funkcja charakterystyczna rozkładu sumy dwóch niezależnych od siebie zmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji charakterystycznych dla tychże zmiennych:

(8.16)

Rozkład normalny i jego funkcja charakterystyczna[edytuj]

Przyjmijmy na razie bez dowodu, że funkcja rozkładu normalnego (Gaussa) jednowymiarowego względem zmiennej x przy definicji parametru b=σ(x) w tej funkcji względem wartości średniej parametru a=E(x) przyjmuje formę:

(8.17)

Przy pomocy funkcji rozkładu (8.17) możemy napisać funkcję charakterystyczną (8.3) charakteryzującą ten właśnie wspomniany rozkład:

(8.18)

Dokonajmy zamiany zmiennych, którego wygląd jest napisany poniżej, z której możemy wyznaczyć zmienną x od zmiennej podstawienia u i od pozostałych parametrów:

(8.19)

Wtedy funkcja charakterystyczna (8.18) na podstawie definicji podstawienia (8.19) możemy zapisać za pomocą całki względem parametru u.

(8.20)

Rozpiszmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam potrzebne do wyznaczenia całki w wyrażeniu (8.20):

(8.21)

Korzystając z obliczeń (8.21), dochodzimy do wniosku, że funkcja charakterystyczna (8.20) ma się w postaci:

(8.22)

Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego (Gaussa) na podstawie obliczeń (8.22) przepisuje ostateczną formę na funkcję charakterystyczną rozkładu rozkładu normalnego:

(8.23)

Dla postaci standardowej, wtedy zachodzi a=0 i b=1, funkcja (8.23) przyjmuje postać:

(8.24)

Funkcja charakterystyczna dla postaci standardowej jest to funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego standardowego z dokładnością do czynnika normalizacyjnego.