Statystyka matematyczna/Funkcje charakterystyczne

Funkcje charakterystyczne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręczników • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu

Wprowadzimy funkcję zwaną funkcją charakterystyczną, która charakteryzuje sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa. Mając funkcję gęstości prawdopodobieństwa można określić funkcję charakterystyczną i odwrotnie, mając funkcję charakterystyczną możemy określić sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa.

Wartość oczekiwana z wielkości zespolonej

Załóżmy, że mamy pewną funkcję prostą zespoloną, która jest sumą jej części rzeczywistej i urojonej i której definicją jest:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle z=x+iy\;}

(8.1)

Znając wartości oczekiwane względem funkcji prostych x i y przy pewnej funkcji gęstości prawdopodobieństwa, to jego wartość oczekiwana (8.1), korzystając przy tym z udowodnionej tożsamości (5.3), możemy przedstawić jako sumę wartości oczekiwanej argumentu x i iloczynu jednostki urojonej przez wartości oczekiwanej argumentu y.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle E(z)=E(x)+i E(y)\;}

(8.2)

Funkcja charakterystyczna rozkładu

Funkcją charakterystyczną rozkładu względem zmiennej x definiujemy jak wartość oczekiwana z funkcji eksponencjalnej z argumentu itx.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi(t)=E\left[\exp(itx)\right]=\int_{a}^{x} \exp(itx) f(x)dx}

(8.3)

Przy definiowaniu funkcji (8.3), korzystaliśmy z założenia (8.2). Znając funkcję charakterystyczną rozkładu możemy napisać funkcję gęstości prawdopodobieństwa f(x) na podstawie transformaty Fouriera według funkcji charakterystycznej zdefiniowanej w punkcie (8.3):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle f(x)={{1}\over{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-itx}\phi(t)dt\;}

(8.4)

Dystrybuantę zmiennej x gęstości prawdopodobieństwa f(x) (8.4) definiujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle F(x)-F(a)=\int^x_a f(x)dx=\int^{+\infty}_{\infty} {{dt}\over{2\pi}}\int^{x}_{a}e^{-itx}dx={{i}\over{2\pi}} \int^{\infty}_{-\infty}{{e^{-itx}-e^{-ita}}\over{t}}\phi(t)dt}

(8.5)

Momenty statystyczne λ, a funkcji charakterystyczna rozkładu

Weźmy n-tą pochodną funkcji zespolonej (8.3), którą nazywamy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi^{(n)}(t)=i^n\int^{b}_a x^n e^{itx}f(x)=i^nE\left[x^n \exp(itx)\right]\;}

(8.6)

Policzmy n-tą pochodną funkcji charakterystycznej (8.6) w punkcie t=0, i korzystając przy tym z definicji momentu statystycznego (3.1), zatem oczywiste jest, że n-ta pochodna funkcji (8.3) w punkcie zerowym jest wprost proporcjonalna do momentu statystycznego λ_n:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi^{(n)}(0)=i^n E\left[x^n\right]\Rightarrow \phi^{(n)}=i^n\lambda_n}

(8.7)

Momenty statystyczne μ, a funkcja charakterystyczna rozkładu

Zdefiniujmy funkcję charakterystyczną φ_y(t) dla funkcji zdefiniowanej jako Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle y=x-\overline{x}\;} względem jakieś funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi_{y}(t)=E\left\{\exp[it(x-\overline{x})]\right\}\;}

(8.8)

n-ta pochodna funkcji φ_y (8.8) jest napisana wedle:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi^{(n)}_y(t)=i^nE\left\{(x-\overline{x})^n\exp[it(x-\overline{x})]\right\}}

(8.9)

Następnie policzmy n-tą pochodną (8.8) w punkcie t=0 , korzystając przy tym z definicji momentu statystyczneg μ_n względem średniej arytmetycznej przy jego definicji (3.8):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi^{(n)}_y(0)=i^nE\left\{(x-\overline{x})^n\right\}=i^n\mu_n}

(8.10)

Ze wzoru (8.10) wynika, że zerowa pochodna (sama funkcja) jest równa jeden dla t=0, co wynika z normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa, czy z definicji momentu statystycznego μ_n, czyli:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi_y(0)=1\;}

(8.11)

A jego pierwsza pochodna z własności (3.13) momentu statystycznego o numerze jeden jest równa zero:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi_y^{(1)}(0)=0\;}

(8.12)

Także wariacja, z własności (3.14) wzięta z minusem, jest napisana w zależności od drugiej pochodnej funkcji φ_y(t) w tymże punkcie dla t=0:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi_y^{(2)}(0)=-\sigma^2(x)\;}

(8.13)

Funkcja charakterystyczna dwóch niezależnych zmiennych

Weźmy pod lupę funkcję w=x+y, gdzie x- to jest zmienna pierwszego rozkładu, y-drugiego rozkładu, zatem funkcję charakterystyczną względem parametru "w", a także korzystając przy tym z własności funkcji eksponencjalnej, możemy napisać:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi_w(t)=E\left\{\exp[it(x+y)]\right\}=E\left\{\exp[itx]\exp[ity]\right\} }

(8.14)

Wiedząc, ze parametry x i y są zmiennymi niezależnymi w danym doświadczeniu w układzie statystycznym, wedle wzoru (5.9) możemy ten obiekt (8.14) zapisać:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi_w(t)=E\left\{\exp(itx)\right\}E\left\{\exp(ity)\right\}=\phi_x(t)\phi_y(t)}

(8.15)

---

Funkcja charakterystyczna rozkładu sumy dwóch niezależnych od siebie zmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji charakterystycznych dla tychże zmiennych:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi_{x+y}(t)=\phi_x(t)\phi_y(t)\;}

(8.16)

Rozkład normalny i jego funkcja charakterystyczna

Przyjmijmy na razie bez dowodu, że funkcja rozkładu normalnego (Gaussa) jednowymiarowego względem zmiennej x przy definicji parametru b=σ(x) w tej funkcji względem wartości średniej parametru a=E(x) przyjmuje formę:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \rho(x)={{1}\over{\sqrt{2\pi}b}}e^{-{{(x-a)^2}\over{2b^2}}}}

(8.17)

Przy pomocy funkcji rozkładu (8.17) możemy napisać funkcję charakterystyczną (8.3) charakteryzującą ten właśnie wspomniany rozkład:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi(t)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{itx}e^{-{{1}\over{2}}{{(x-a)^2}\over{b^2}}}d{{x-a}\over{b}}}

(8.18)

Dokonajmy zamiany zmiennych, którego wygląd jest napisany poniżej, z której możemy wyznaczyć zmienną x od zmiennej podstawienia u i od pozostałych parametrów:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle u={{(x-a)}\over{b}}\Rightarrow x=ub+a}

(8.19)

Wtedy funkcja charakterystyczna (8.18) na podstawie definicji podstawienia (8.19) możemy zapisać za pomocą całki względem parametru u.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi(t)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{ita}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{1}\over{2}}u^2+it(bu+a)}du}

(8.20)

Rozpiszmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam potrzebne do wyznaczenia całki w wyrażeniu (8.20):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle -{{1}\over{2}}u^2+itbu=-{{1}\over{2}}(u^2-2itbu-t^2b^2)-{{1}\over{2}}t^2b^2=-{{1}\over{2}}(u-itb)^2-{{1}\over{2}}t^2b^2}

(8.21)

Korzystając z obliczeń (8.21), dochodzimy do wniosku, że funkcja charakterystyczna (8.20) ma się w postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi(t)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{ita}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{1}\over{2}}(u-itb)^2-{{1}\over{2}}t^2b^2}du={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{ita}e^{-{{1}\over{2}}t^2b^2}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{1}\over{2}}r^2}dr={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{ita}e^{-{{1}\over{2}}t^2b^2}\sqrt{2\pi}=e^{ita}e^{-{{1}\over{2}}t^2b^2} }

(8.22)

---

Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego (Gaussa) na podstawie obliczeń (8.22) przepisuje ostateczną formę na funkcję charakterystyczną rozkładu rozkładu normalnego:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi(t)=e^{ita}e^{-{{1}\over{2}}t^2b^2}\;}

(8.23)

Dla postaci standardowej, wtedy zachodzi a=0 i b=1, funkcja (8.23) przyjmuje postać:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi(t)=e^{-{{1}\over{2}}t^2}\;}

(8.24)

Funkcja charakterystyczna dla postaci standardowej jest to funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego standardowego z dokładnością do czynnika normalizacyjnego.