Statystyka matematyczna/Funkcje charakterystyczne
Licencja
|
---|
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność. |
Podręcznik: Statystyka matematyczna.
Wprowadzimy funkcję zwaną funkcją charakterystyczną, która charakteryzuje sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa. Mając funkcję gęstości prawdopodobieństwa można określić funkcję charakterystyczną i odwrotnie, mając funkcję charakterystyczną możemy określić sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa.
Wartość oczekiwana z wielkości zespolonej
[edytuj]Załóżmy, że mamy pewną funkcję prostą zespoloną, która jest sumą jej części rzeczywistej i urojonej i której definicją jest:
Znając wartości oczekiwane względem funkcji prostych x i y przy pewnej funkcji gęstości prawdopodobieństwa, to jego wartość oczekiwana (8.1), korzystając przy tym z udowodnionej tożsamości (5.3), możemy przedstawić jako sumę wartości oczekiwanej argumentu x i iloczynu jednostki urojonej przez wartości oczekiwanej argumentu y.
Funkcja charakterystyczna rozkładu
[edytuj]Funkcją charakterystyczną rozkładu względem zmiennej x definiujemy jak wartość oczekiwana z funkcji eksponencjalnej z argumentu itx.
Przy definiowaniu funkcji (8.3), korzystaliśmy z założenia (8.2). Znając funkcję charakterystyczną rozkładu możemy napisać funkcję gęstości prawdopodobieństwa f(x) na podstawie transformaty Fouriera według funkcji charakterystycznej zdefiniowanej w punkcie (8.3):
Dystrybuantę zmiennej x gęstości prawdopodobieństwa f(x) (8.4) definiujemy:
Momenty statystyczne λ, a funkcji charakterystyczna rozkładu
[edytuj]Weźmy n-tą pochodną funkcji zespolonej (8.3), którą nazywamy:
Policzmy n-tą pochodną funkcji charakterystycznej (8.6) w punkcie t=0, i korzystając przy tym z definicji momentu statystycznego (3.1), zatem oczywiste jest, że n-ta pochodna funkcji (8.3) w punkcie zerowym jest wprost proporcjonalna do momentu statystycznego λn:
Momenty statystyczne μ, a funkcja charakterystyczna rozkładu
[edytuj]Zdefiniujmy funkcję charakterystyczną φy(t) dla funkcji zdefiniowanej jako względem jakieś funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa:
n-ta pochodna funkcji φy (8.8) jest napisana wedle:
Następnie policzmy n-tą pochodną (8.8) w punkcie t=0 , korzystając przy tym z definicji momentu statystycznego μn względem średniej arytmetycznej przy jego definicji (3.8):
Ze wzoru (8.10) wynika, że zerowa pochodna (sama funkcja) jest równa jeden dla t=0, co wynika z normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa, czy z definicji momentu statystycznego μn, czyli:
A jego pierwsza pochodna z własności (3.13) momentu statystycznego o numerze jeden jest równa zero:
Także wariacja, z własności (3.14) wzięta z minusem, jest napisana w zależności od drugiej pochodnej funkcji φy(t) w tymże punkcie dla t=0:
Funkcja charakterystyczna dwóch niezależnych zmiennych
[edytuj]Weźmy pod lupę funkcję w=x+y, gdzie x- to jest zmienna pierwszego rozkładu, y-drugiego rozkładu, zatem funkcję charakterystyczną względem parametru "w", a także korzystając przy tym z własności funkcji eksponencjalnej, możemy napisać:
Wiedząc, ze parametry x i y są zmiennymi niezależnymi w danym doświadczeniu w układzie statystycznym, wedle wzoru (5.9) możemy ten obiekt (8.14) zapisać:
Funkcja charakterystyczna rozkładu sumy dwóch niezależnych od siebie zmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji charakterystycznych dla tychże zmiennych:
Rozkład normalny i jego funkcja charakterystyczna
[edytuj]Przyjmijmy na razie bez dowodu, że funkcja rozkładu normalnego (Gaussa) jednowymiarowego względem zmiennej x przy definicji parametru b=σ(x) w tej funkcji względem wartości średniej parametru a=E(x) przyjmuje formę:
Przy pomocy funkcji rozkładu (8.17) możemy napisać funkcję charakterystyczną (8.3) charakteryzującą ten właśnie wspomniany rozkład:
Dokonajmy zamiany zmiennych, którego wygląd jest napisany poniżej, z której możemy wyznaczyć zmienną x od zmiennej podstawienia u i od pozostałych parametrów:
Wtedy funkcja charakterystyczna (8.18) na podstawie definicji podstawienia (8.19) możemy zapisać za pomocą całki względem parametru u.
Rozpiszmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam potrzebne do wyznaczenia całki w wyrażeniu (8.20):
Korzystając z obliczeń (8.21), dochodzimy do wniosku, że funkcja charakterystyczna (8.20) ma się w postaci:
Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego (Gaussa) na podstawie obliczeń (8.22) przepisuje ostateczną formę na funkcję charakterystyczną rozkładu rozkładu normalnego:
Dla postaci standardowej , wtedy zachodzi a=0 i b=1, funkcja (8.23) przyjmuje postać:
Funkcja charakterystyczna dla postaci standardowej jest to funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego standardowego z dokładnością do czynnika normalizacyjnego.