Statystyka matematyczna/Metoda najmniejszych kwadratów

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna
Metoda najmniejszych kwadratów

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Matematyczny opis metody - jest to metoda aproksymacyjna dla punktów x∈(x0,x1,x2,x3,..,xn), dla których wartości powinny wynosić: y∈(y0,y1,y2,y3,...,yn).

Zbudujmy funkcję S(x), taką, że:

(19.1)

Funkcja S jest taką funkcją, która jest najmniejsza przy wyborze funkcji należących do zbioru F przy parze (xi,yi).

Aproksymacja wielomianami Wn(x)[edytuj]

Obierzmy funkcję f(x) jako pewien wielomian w celu aproksymacji zbioru punktów ze współczynnikami al w bazie n+1 wymiarowej, którego elementami bazy są wyrazy xi, które tworzą funkcję y:

(19.2)

Napiszmy wielomian znając już obraną funkcję f(x), wedle definicji wielomianu (19.2), wtedy zbudujmy nasz funkcjonał:

(19.3)

Zbadajmy przy jakich parametrach al funkcja S(x) (19.3) przyjmuje wartość najmniejszą, zatem przy tych warunkach (19.3) przyjmuje wartość ekstremalną, zatem wtedy z definicji ekstremum możemy policzyć pierwszą pochodną naszego wyrażenia i przyrównać ją do zera.

(19.4)

Mamy już funkcję S(x) (19.3) oraz warunek ekstremum (19.4), dalej wyznaczmy pewien wielomian, tzn. jego współczynniki o numerach al w celu wyznaczenia pełnej postaci wielomianu stopnia "r" (19.2), które później przekształcimy go do bardziej zgrabnej postaci:

(19.5)

Na podstawie końcowych obliczeń zachodzących w punkcie (19.5) możemy stworzyć odpowiednią macierz B, a także wektor pionowy , również wektor pionowy współczynników liniowych :

(19.6)
(19.7)
(19.8)

Równanie wynikające z końcowego wniosku (19.5) można zapisać, na postawie definicji macierzy B (19.6), a także z definicji wektora pionowego (19.7), a także (19.9), jako równanie macierzowe w postaci macierzowej:

(19.9)

Z końcowego wzoru (19.9) możemy wyznaczyć współczynniki liniowe występujące w definicji wielomianu (19.2).

  • Jednakże musi zachodzić zawsze , aby istniała jego macierz odwrotna. Również zachodzi z przedstawienia macierzy (19.6) właściwość:
(19.10)

Zatem macierz B na podstawie warunku (19.10) jest macierzą samą do siebie symetryczną.

Poprzedni rozdział: Błędy pomiarowe w fizyce

Podręcznik: Statystyka matematyczna