Statystyka matematyczna/Momenty statystyczne dla funkcji złożonej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna
Momenty statystyczne dla funkcji złożonej

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Zwykle liczyliśmy momenty statystyczne dla funkcji prostych, tzn. dla funkcji, dla których zachodzi H(x)=x. Tutaj zajmiemy się liczeniem momentów statystycznych dla funkcji różnych od funkcji liniowej, czyli dla funkcji złożonej względem argumentu x, która jest zmienną ciągłą lub dyskretną, zależną od dwóch bądź więcej argumentów dla funkcji złożonej.

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej jednej zmiennej[edytuj]

Ogólnie momentem statystycznym rzędu l danej wielkości względem jej wartość oczekiwanej nazywamy wartość średnią zmiennej (H(x)-E[H(x)])l:

(4.1)
  • gdzie E[H(x)] jest to wartość oczekiwana funkcji H(x).

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x dyskretnej[edytuj]

Dla zmiennej typu dyskretnego wzór (4.1) przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego dyskretnego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis jako sumę po wszystkich możliwych wartościach xp jakie mogą przyjmować wyniki z doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją pod sumą jest iloczyn zmiennej losowej H(xp)-E[H(x)] i prawdopodobieństwa uzyskania tego wyniku P(xp):

(4.2)

Moment statystyczny zerowy jest to unormowanie gęstości funkcji prawdopodobieństwa.

Wartość oczekiwaną funkcji H(x) nazywamy przepis, która jest sumą po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji H(xk) przy prawdopodobieństwie zdefiniowanej wedle wzoru P(xk).

(4.3)

Moment statystyczny, którego przepis jest w (4.2) dla parametru "i" równej jeden jest równy zero, co wynika z warunku normowania funkcji prawdopodobieństwa (2.10) i definicji wartości oczekiwanej funkcji H(x) według (4.3).

Wariancja pomiaru (rozkładu statystycznego) dla funkcji złożonej H(x) jest sumą po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji (H(xk)-E[H(x)])2 przy prawdopodobieństwie określonych pomiarów:

(4.4)

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x ciągłej[edytuj]

Dla zmiennej typu ciągłego wzór (4.1) przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego ciągłego momentem statystycznym rzędu "i" definiujemy przepis jako całkę po wszystkich możliwych wartościach x jakie może przyjmować wyniki z doświadczenia, którego funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej losowej H(x)-E[H(x)] i gęstości prawdopodobieństwa uzyskania tego wyniku ρ(x). Momentem statystyczny i-tego rzędu dla funkcji ciągłej dla przedziału określamy:

(4.5)

Moment statystyczny zerowy jest to unormowanie gęstości funkcji prawdopodobieństwa do jedynki.

Wartość oczekiwaną funkcji H(x) nazywamy przepis, która jest całką po wszystkich x, jakie mogą być uzyskane z doświadczenia względem funkcji H(x) przy gęstości prawdopodobieństwa zdefiniowanej wedle wzoru ρ(x).

(4.6)

Moment statystyczny, którego przepis jest w (4.5) dla parametru "i" równej jeden jest równy zero, co wynika z warunku normowania funkcji prawdopodobieństwa (2.13) i definicji wartości oczekiwanej funkcji H(x) według (4.6).

Wariancja pomiaru (rozkładu statystycznego) dla funkcji złożonej H(x), która jest całką po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji (H(x)-E[H(x)])2 przy gęstości prawdopodobieństwa określonego pomiaru ρ(x), jest określona:

(4.7)

Uogólnienie momentu statystycznego na przypadek dowolnej jednej zmiennej[edytuj]

Obierzmy funkcję jednej zmiennej H(x), która jest napisana względem parametru "l" jako pewna funkcja potęgowa:

(4.8)

Dla dowolnego typu zmiennej przy prawdopodobieństwie lub gęstości zdarzenie losowego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis:

(4.9)

Wzór (4.9) nazywamy momentem statystycznym rzędu l względem punktu c.

Niech tym punktem c będzie wartość średnia uzyskanych wyników pomiarów, wtedy moment statystyczny μl względem wartości oczekiwanej uzyskanych w wyniku doświadczenia jest wyrażony:

(4.10)

Jak widzimy, wzory (3.9) i (3.12) są szczególnymi przypadkami wzoru (4.10).

Moment statystyczny rzędu l=1 ma wartość zero, co można udowodnić z definicji normowania funkcji (gęstości funkcji) prawdopodobieństwa z definicji jego wartości oczekiwanej, którą to piszemy ogólnie według:

(4.11)

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej z argumentem dwuwymiarowym[edytuj]

Dla zmiennej typu ciągłego wzór przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego ciągłego momentem statystycznym rzędu "i" definiujemy przepis jako całkę po wszystkich możliwych wartościach x, który należy do przedziału (a,b) i y, które należy do przedziału (c,d), jakie mogą przyjmować w wyniki doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej losowej H(x,y)-E[H(x,y)] i gęstości prawdopodobieństwa uzyskania tego wyniku ρ(x,y): Moment statystyczny i-tego rzędu dla funkcji ciągłej dla przedziału: określa się:

(4.12)

Wartość oczekiwaną funkcji H(x,y) nazywamy przepis, która jest całką po wszystkich x i y jakie mogą być uzyskane z doświadczenia względem funkcji H(x,y) przy gęstości prawdopodobieństwa zdefiniowanej wedle ρ(x,y):

(4.13)

Momentem statystyczny nazywamy przepis, któþrego definicja jest podana w punkcie (4.12) dla parametru "i" większej lub równej zero. Warunkiem normowania funkcji prawdopodobieństwa według wzoru (2.44) jest wzór (4.12) dla i=0. Wzór (4.13) jest definicją wartości oczekiwanej funkcji H(x).

Wariancja pomiaru (rozkładu statystycznego) dla funkcji złożonej H(x,y) jest całką po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji (H(x,y)-E[H(x,y)])2 przy gęstości prawdopodobieństwie określonego pomiaru ρ(x,y):

(4.14)

Moment statystyczny dla dwóch zmiennych[edytuj]

Obierzmy reprezentację funkcji dwuwymiarowej H(x,y) względem argumentu x i y, w których wykładniki potęg są przy x jest "l" i przy y jest "m":

(4.15)

Wówczas wartość oczekiwana funkcji (4.15) piszemy tak jak normalnie jako moment statystyczny λlm:

(4.16)

Wielkość (4.16) nazywamy momentami rzędu l i m.

Momenty statystyczne względem pewnych punktów dla dwóch zmiennych[edytuj]

Obierzmy teraz jeszcze inną reprezentację funkcji H(x,y), też dla dwóch zmiennych co (4.15), ale względem punktów a i b, którego przepis tej funkcji jest w postaci:

(4.17)

Momentem statystycznym μlm funkcji (4.17) rzędu l i m, względem punktów a i b, nazywamy wartość oczekiwaną tejże funkcji:

(4.18)

Szczególne znaczenie mają momenty statystyczne policzone względem λ10 i λ01. Oznaczmy a=λ10=E(x) oraz b=λ01=E(y). Zatem wzór (4.18), gdy te punkty a i b są kolejno wartościami oczekiwanymi zmiennych losowych x i y.

(4.19)

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej z argumentem n-wymiarowym[edytuj]

Momentem statystycznym i-tego rzędu dla funkcji ciągłej z argumentem n-wymiarowym: nazywamy wyrażenie:

(4.20)

Wartością oczekiwaną funkcji nazywamy wyrażenie:

(4.21)

Wariancja jest to drugi moment statystyczny według (4.12):

(4.22)

Momenty statystyczne dla wielu zmiennych[edytuj]

Obierzmy funkcję n zmiennych H(x1,x2,...,xn) nazywamy funkcję zdefiniowanej za pomocą iloczynu odpowiednich potęg xklk:

(4.23)

Momentami statystycznymi rzędu l1,l2,..,ln nazywamy wartość średnią funkcji złożonej napsanej w punkcie (4.23) wedle:

(4.24)

Wartościami oczekiwanymi zmiennych x1,x2,..,xn nazywamy zdefiniowane momenty statystyczne, jako wartości oczekiwane pewnych zmiennych xk, w których numery momentu statystycznego (4.24) są wszystkie równe zero, oprócz tylko jednej wartości lk dla jakiegoś k:

(4.25)

Momenty statystyczne względem pewnego punktu dla wektora n-wymiarowego[edytuj]

Obierzmy teraz funkcję n zmiennych względem punktu , wtedy:

(4.26)

Momentami statystycznymi rzędu względem (4.20) nazywamy wyrażenia zdefiniowane:

(4.27)

Jeśli rozważanym punktem (a1, a2,...,an) jest n-wymiarowy wektor wartości oczekiwanych zdefiniowanych w (4.21), wówczas nasz moment (4.27) przyjmuje postać:

(4.28)

Definicja wariancji przez moment statystyczny μ[edytuj]

Jeśli skorzystamy z definicji momentów statystycznych (4.24), wtedy dla poszczególnych przypadków dla różnych zmiennych xi wariancja względem jej wartości oczekiwanej jest zdefiniowana jako:

(4.29)

Definicja kowariancji przez moment statystyczny μ[edytuj]

Korzystając z momentów statystycznych (4.27) przy funkcji H(x1,x2,...,xn) zdefiniowanej w punkcie (4.26), można zdefiniować kowariancję względem elementów n-wymiarowego wektora dla ai i bj, jeśli wszystkie liczby lk w (4.27) są równe zero oprócz dwóch:

(4.30)

Jeśli naszymi punktami ai, bj są wartości oczekiwane elementów xi oraz xj, to kowariancję cij na podstawie wzoru (4.30), pokazując jednocześnie, że on jest równy pewnemu momentowi statystycznemu względem pewnych wartości oczekiwanych, piszemy.

(4.31)

Macierz o elementach cij definiujemy przepisując dla przejrzystości wykładu jego elementy:

(4.32)

Jeśli zdefiniujemy wektor pionowy zmiennych losowych n zmiennych, które uzyskamy w pewnym doświadczeniu, to wtedy mamy:

(4.33)

to definicja macierzy kowariancji korzystając z definicji jego elementów (4.32) i z definicji macierzy transponowanej:

(4.34)

Momenty statystyczne gdy H(x) =x[edytuj]

Momenty statystyczne wokół funkcji prostych są szczególnym przypadkiem momentów statystycznych funkcji złożonych dla jednowymiarowego przypadku, tzn. gdy H(x)=x, niezależnie czy x jest ciągłe czy dyskretne. Należy wtedy dla wzorów (4.3) i (4.4) lub (4.6) i (4.7) dokonać tego podstawienia w tym przypadku.