Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie χ²

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna
Twierdzenie o rozkładzie χ²

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Twierdzenie o rozkładzie - jest to rozkład statystyczny zmiennej , która opisuje n doświadczeń statystycznych, w którym xi są to wyniki uzyskane w pojedynczym doświadczeniu. Rozkład można napisać, gdy ilość doświadczeń jest co najmniej skończona (policzalna).

Przypadek szczególny, gdy liczba stopni swobody jest jeden[edytuj]

Rozkład, który rządzi pojedynczą próbą jest to rozkład normalny, wyrażamy wzorem (12.31). Napiszmy czemu jest równe prawdopodobieństwo uzyskania wyniku z przedziału (x0-χx0+χ), zatem na podstawie definicji gęstości prawdopodobieństwa wspomnianego rozkładu normalnego prawdopodobieństwo uzyskania wyniku w tym przedziale wyrażamy wzorem poniżej. W jego kolejnych krokach przekształcamy go, tak by wyrazić go jako całkę obliczonej w (0,χ) wiedząc, że ta wspomniana gęstość jest funkcją parzystą względem parametru xi-x0.


(15.1)

Dokonajmy podstawienia zależnego od t, który jest ilorazem kwadratu zmiennej losowej s=xi-x0 przez kwadrat odchylenia standardowego zmiennej x:

(15.2)

Możemy zróżniczkować podstawienie określane wzorem (15.2), dalej korzystając jeszcze raz ze wspomnianego podstawienia, mamy:

(15.3)

Wykorzystajmy podstawienie (15.2) oraz definicję różniczki według (15.3), to znając wszystkie te formuły, zatem podstawmy je do wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania wyniku wyżej określanym przedziale (15.1), otrzymujemy:

(15.4)

Wykorzystajmy definicję Γ(λ) dla λ=1/2n=1/2, a także znając tożsamość , to wtedy wzór na prawdopodobieństwo (15.4) uzyskania pomiaru w przedziale (-χ,χ) jest określone wzorem wynikających z obliczeń, którego wzór dla n=1, jest wyżej określaną formułą.

(15.5)

A więc jego gęstość prawdopodobieństwa według wzoru na dystrybuantę zdarzenia (15.5) można napisać poprzez różniczkowanie go względem zmiennej losowej χ2:

(15.6)

Wiemy jednak, że wzór (15.6) jest spełniony dla jednego przeprowadzonego doświadczenia, ale można udowodnić, że ten nasz wzór jest spełniony dla dowolnej ilości prób, tzn. n≥ 1.

Przypadek gdy liczba prób jest różna od jedynki[edytuj]

Policzmy funkcję charakterystyczną przy podanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa (15.6), z definicji tejże funkcji charakterystycznej określanej jako wartość oczekiwaną funkcji eksponencjalnej exp(itx), co wedle definicji (8.3) możemy go napisać w postaci nieobliczonej jeszcze, co dokonamy w późniejszych etapach, dalej przedstawimy go w postaci pewnej całki:

(15.7)

Dokonajmy podstawienia, która będzie nam potrzebna we wzorze na funkcję charakterystyczną względem zmiennej losowej χ2, które to podstawienie oznaczymy jako zmienną ν zdefiniowanej poprzez parametr t:

(15.8)

Podstawienie (15.8) wykorzystujemy do wzoru na funkcję charakterystyczną (15.7), stąd mamy:


(15.9)

Funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej χ2 jest funkcją napisaną w (15.9). Funkcja charakterystyczna powiedziana jest w punkcie (15.9) przy parametrze λ, udowodnimy, że ona jest spełniona dla dowolnego n naturalnego większego od zera. Dla dowolnego n zmienną losową χ2 określamy jako sumę po n doświadczeniach przeprowadzonych nad statystycznym układem poszczególnych wyników pomiarów podniesionych do kwadratu.

(15.10)

Dla λ=1/2n, gdy oczywiście zachodzi n=1, to wtedy możemy określić z funkcji charakterystycznej (15.9) ściśle określoną gęstość prawdopodobieństwa dla dowolnego "n". Jeśli λ=1/2, to z funkcji (15.9) na postawie twierdzenia (8.16) otrzymujemy przypadek n>1 poprzez wymnożenie funkcji charakterystycznych (15.9) dla n=1 przez siebie charakteryzują różne ale pojedyncze doświadczenia, stąd otrzymujemy funkcję charakterystyczną dla n≥1, wtedy zmienną losową jest (15.10), tzn.:

(15.11)

Na podstawie (15.11) i (15.10) dochodzimy do wniosku, że funkcją charakterystyczną (15.9) opisująca badany rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej (15.10) jest (15.11), stąd rozkład gęstości prawdopodobieństwa (15.6) jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej χ2(15.10) o dystrybuancie (15.5) dla n≥1.