Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie Poissona

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna
Twierdzenie o rozkładzie Poissona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Rozkład Poissona- jest to szczególny przypadek rozkładu Bernoulliego, w którym oznaczymy λ=np=const<∞, który pozostaje stały przy p→ 0 oraz przy n→∞.

Rozkład Poissona[edytuj]

Rozkład Poissona jest szczególnym przypadkiem rozkładu Bernouliego i jest zdefiniowany przy pomocy parametru λ i liczby trafień w pewne zdarzenie o infitezymalnym prawdopodobieństwie p przy nieskończonej ilości doświadczeń:

(17.1)
  • gdzie parametr λ jest napisanej wedle schematu poniżej jako iloczyn ilości doświadczeń przez prawdopodobieństwo zdarzenia, które losujemy.
 dla  i 
(17.2)

Udowodnimy poniżej, że wartość oczekiwana, wariancja, i moment statystyczny rzędu trzeciego są sobie równe, czyli

(17.3)

A skośność jest zdefiniowana jako trzecia potęga trzeciego momentu statystycznego μ3 przez sześcian odchylenia standardowego czyli przez sześcian pierwiastka wariancji:

(17.4)

Wyprowadzenie rozkładu Poissona[edytuj]

Ze wzoru na parametr λ wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, którego to zdarzenie dotyczy wyrażonej poprzez liczbę przeprowadzonych doświadczeń, wtedy:

(17.5)

Wykorzystamy wzór na prawdopodobieństwo dyskretne wylosowania k razy pewnej właściwości o prawdopodobieństwie zdarzenia p w n doświadczeniach, którego rozkład jest opisywany przez rozkład rozkład Bernoulliego, do którego wzoru na rozkład (10.2) podstawimy wyrażenie na prawdopodobieństwo uzyskania zdarzenia p (17.5), którego definicja jest zdefiniowana przez stały parametr λ i liczbę przeprowadzonych doświadczeń.


(17.6)

W analizie matematycznej znamy granicę podaną poniżej, którą wykorzystamy w obliczeniach w punkcie (17.6):

(17.7)

Dla obliczeń przeprowadzonych w linijce (17.6) wykorzystamy wyrażenie na eksponens z liczby z minus λ, którego definicja jest podana w punkcie (17.7), dla której nasz rozkład przy nieskończenie małym prawdopodobieństwie "p", tak by był skończony parametr λ, jest napisany:

(17.8)

Wyrażenie (17.8) jest definicją rozkładu Poissona.

Normowanie rozkładu Poissona[edytuj]

Sprawdźmy czy rozkład Poissona (17.1) jest wielkością unormowaną według wzoru (2.10), w tym celu wykorzystajmy definicję exp(λ) w postaci nieskończonego szeregu potęgowego:

(17.9)

Czyli rozkład Pk jest rozkładem unormowanym do jedynki, tak jak powinien spełniać każdy rozkład statystyczny.

Wartość oczekiwana rozkładu Poissona[edytuj]

Wartością oczekiwaną względem zmiennej "k" dla rozkładu dyskretnego, czyli rozkładu Poissona (17.1), którą liczymy według jego przestawienia (2.11), zapisujemy sposobem:

(17.10)

Dokonajmy podstawienia wedle schematu i'=i-1 do naszych obliczeń (17.10), które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej:

(17.11)

Z obliczeń końcowych wynikających z (17.11) wynika, że wartość oczekiwana zmiennej k w postaci zwartej jest równa parametrowi λ z definiowanej w punkcie (17.2).

(17.12)

Wariancja w rozkładzie Poissona[edytuj]

Policzmy wartość czekiwaną zmiennej k2, z definicji wartości oczekiwanej dla tej zmiennej dostajemy wzór poniżej, z którego w tym samym punkcie będziemy przeprowadzać obliczenia:

(17.13)

Dokonajmy podstawienia wedle schematu k'=k-1 do naszych obliczeń (17.14), które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej:

(17.14)

Korzystając z metody liczenia wariancji według (3.19) i zbierając wyniki, tzn. wartość oczekiwaną zmiennej k2 (17.14) oraz wartość oczekiwaną zmienne k (17.12), wtedy ta nasza liczona wielkość statystyczna jest liczona wedle schematu:

(17.15)

Z końcowych obliczeń (17.15) dostajemy wariację zmiennej losowej w rozkładzie Poissona napisanej wedle wzoru, którą przepisujemy dla przejrzystości wykładu:

(17.16)

Udowodniliśmy, że wariancja rozkładu Poissona (17.16) jest taka sama jak jej wartość oczekiwana (17.12).

Moment trzeci rozkładu Poissona i jego skośność[edytuj]

Momentem statystycznym rzędu trzeciego zdefiniowanej na podstawie (3.9) nazywamy metodę, którego przepis jest poniżej. Wyrażmy ją za pomocą wartości oczekiwanej zmiennej losowej k3, k2 i na końcu zmiennej k.

(17.17)

Policzmy wartość oczekiwaną wyrażenie k3 względem rozkładu Poissona, czyli E(k3), więc do dzieła:

(17.18)

Dokonajmy podstawienia wedle schematu k'=k-1 do naszych obliczeń (17.18), które przeprowadzamy w celu wyznaczenia postaci zwartej do wspomnianego wzoru, zatem otrzymujemy:

(17.19)

To teraz policzmy γ3 (moment trzeciego stopnia) zbierając wyniki razem z (17.19) , (17.14) i ostatni wzór (17.12), wtedy trzeci moment statystyczny przedstawia się:

(17.20)

Skośność nazywamy stosunek trzeciego momentu statystycznego przez sześcian odchylenia standardowego, zatem z definicji według rozkładu Poissona przedstawia się ono według:

(17.21)

Skośność (17.21) jest to odwrotność pierwiastka z wartości oczekiwanej λ (17.12) w rozkładzie Poissona.