Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Prawdopodobieństwo Bernoulliego - jest to rozkład przedstawiający jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania w n próbach właściwości K przy jego trafieniach w ilości k. W tym rozkładzie wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania właściwości K w pojedynczym doświadczeniu jest równe p, a zdarzenia przeciwnego do K jest równe 1-p.

Rozkład statystyczny[edytuj]

Załóżmy, że ropatrujemy, że losowano właściwość K na ściśle określonych urnach, z ilością trafień k, w ściśle określonej kolejności z jakimi dokonano tychże trafień. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe:

(10.1)

Ponieważ we wzorze (10.1) założono, że trafienia lub nie trafienia przeprowadzono w ścisłej kolejności, ale tak nie musi być. Ilość ścisłych takich kolejności jest , zatem prawdopodobieństwo trafienia w zdarzenie K w ilości k w dowolnej kolejności jest iloczynem prawdopodobieństwa (10.1) przez wspomniany ostatnio symbol Newtona, zatem prawdopodobieństwo w rozkładzie Bernoulliego piszemy:

(10.2)

Wartość oczekiwana[edytuj]

Średnią oczekiwaną dla rozkładu prawdopodobieństwa Bernoulliego Pnk przedstawiamy jako średnią trafienia w właściwość K, i zapisujemy ją jako sumę po wszystkich możliwych k od zera do n względem iloczynu prawdopodobieństwa rozważanego rozkładu przez ilość trafień k.

(10.3)

Podstawiamy za prawdopodobieństwo uzyskania k trafień w n doświadczeniach właściwości K, czyli Pnk do wzoru na wartość oczekiwaną tego rozkładu (10.3):

(10.4)

W obliczeniach dokonujemy podstawienia k-1=k', zatem mamy:

(10.5)

Otrzymujemy, że wartość oczekiwana dla rozkładu Bernoulliego na podstawie obliczeń (10.5) jest iloczynem prawdopodobieństwa p uzyskania właściwości K w n doświadczeniach przeprowadzonej na pewnej urnie.

(10.6)

Odchylenie standardowe rozkładu Bernoulliego[edytuj]

Możemy wyznaczyć wariancję rozkładu Bernoulliego (10.2), korzystając ze wzoru opisującego rozkład dyskretny (3.18) wyrażającego go względem wartości oczekiwanej uzyskania kwadratu ilości trafień k2 i względem wartości oczekiwanej ilości trafień przedstawionych w punkcie (10.6), jako:

(10.7)

Następnie policzymy wartość oczekiwaną kwadratu ilości trafień, którego definicja jest w punkcie poniżej wykorzystując prawdopodobieństwo rozkładu Bernoulliego:


(10.8)

Dokonujemy podstawienia we wniosku (10.8) wedle schematu: k-1=k':



(10.9)

Po krótkich przekształceniach w punkcie (10.9) dostajemy, że wartość oczekiwana kwadratu ilości trafień jest wyrażona:

(10.10)

A zatem podstawiając wartości oczekiwane (10.6) i (10.10) do wzoru wariancję ilości trafień (10.7), zatem nasza ta rozważana wielkość można określić według:

(10.11)

Zestaw momentów statystycznych[edytuj]

Wartość oczekiwaną ilości trafień i wariacja ilości trafień k w n doświadczeniach właściwości K są napisane według wzorów (10.6) i (10.11). Te wzory również wyprowadzimy za pomocą rozkładu zero-jedynkowego. Jeśli przyjmować będziemy, że losujemy jedynkę z prawdopodobieństwem p a zero z prawdopodobieństwem 1-p, to wartość oczekiwana tego zdarzenia jest napisana wedle obliczeń:

(10.12)

Wzór (10.12) określa wartość oczekiwaną dla pojedynczego zdarzenia, zatem dla n losować mamy gdzie jest to ilość wylosowanych jedynek, korzystając przy tym (5.3), wyrażamy przez równanie:

(10.13)

Wariancja dla pojedynczego doświadczenia jest określona przy tych samych warunkach co powyżej przy liczeniu wartości oczekiwanej pojedynczego pomiaru zera lub jedynki:


(10.14)

Wariancja dla każdego doświadczenia z n jest taka sama, a więc korzystając ze wzoru (5.17) przy założeniu, że te n doświadczeń są względem siebie niezależne, wtedy kowariancja tych dwóch różnych zdarzeń jest równa zero, zatem całkowita wariancja n doświadczeń jest wyrażona:

(10.15)

Otrzymaliśmy takie same wzory na wartość oczekiwaną (10.13) i wariancję (10.15), co w punktach (10.6) i (10.11) stosując intuicyjną metodę liczenia wartości oczekiwanej i wariancji.