Mechanika teoretyczna/Dynamika punktów masowych

Dynamika punktów masowych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Środek masy układu mas

Położenie środka masy układu mas nazywamy taki wektor, która jest związana z masami i położeniami poszczególnych ciał w chodzące w skład układu mas:

${\vec {R}}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}} \over {\sum _{i}m_{i}}}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}} \over {M}}\;$

(3.1)

Weźmy teraz sobie drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), którego na każdy element masowy w ogólności działa pewna siła o wektorze ${\vec {F}}_{i}\;$, wtedy zasada dynamiki dla pojedynczego punktu jest postaci:

$m_{i}{\ddot {r}}_{i}={\vec {F}}_{i}\;$

(3.2)

Przy sumowaniu równań (3.2) stronami dla każdej cząstki z osobna i wykorzystaniu wzoru (3.1):

$\sum _{i}m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\Rightarrow \sum _{i}{{d\left(m{\vec {r}}_{i}\right)} \over {dt}}={\vec {F}}\Rightarrow M{\dot {\vec {r}}}={\vec {F}}\;$

(3.3)

Na podstawie obliczeń przeprowadzanych w punkcie (3.3) środek mas opisany wzorem (3.1) porusza się tak samo jak pokazuje druga zasada dynamiki Newtona wyprowadzona w punkcie powyżej jest określona przez siły ${\vec {F}}_{i}\;$ działające na poszczególne punkty masowe, którą nazywać będziemy siłą działająca na środek masy.

Transformacja energii z jednego układu odniesienia do drugiego

Wyznaczmy jak zmienia się energia układu z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując wzór transformacyjny (1.191) według transformacji Galileusza:

$E'={{1} \over {2}}\sum _{a}m_{a}{v_{a}^{'}}^{2}={{1} \over {2}}\sum _{a}m_{a}({\vec {v}}-{\vec {V}})^{2}={{1} \over {2}}\sum _{a}m_{a}v_{a}^{2}+{{1} \over {2}}\sum _{a}m_{a}V^{2}-\sum _{a}m_{a}{\vec {V}}{\vec {v}}=E+{{1} \over {2}}MV^{2}-{\vec {V}}{\vec {P}}\;$

(3.4)

Widzimy, że energia ciał względem nowego układu odniesienia jest równa energii ciał względem starego układu minus iloczyn prędkości nowego układu odniesienia przez pęd całego układu względem starego układu odniesienia plus energia układu środka masy.

Problem dwóch ciał w mechanice nieba

Będziemy tutaaj rozważać problem dwóch ciał w mechanice nieba, którego obliczenia będziemy rozważać w układzie środka masy, biorąc definicję środka mas (3.1) i biorąc taki układ, w których środek mas spoczywa, i jego położenie jest w punkcie zerowym na przecięciu różnych osi w trójwymiarowym układzie odniesienia, wtedy:

$m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}=0\;$

(3.5)

Jeśli rozważymy ruch dwóch oddziaływających siłami grawitacji (1.192), to ich równania ruchu są:

$m_{1}{\ddot {r}}_{1}=-Gm_{1}m_{2}{{{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}} \over {|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\;$

(3.6)

$m_{2}{\ddot {r}}_{2}=-Gm_{1}m_{2}{{{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}} \over {|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}\;$

(3.7)

Możemy podzielić równanie (3.6) przez m₁ i podzielić drugie równanie (3.7) przez m₂ , wtedy położenie względne obu mas określać będziemy:

${\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}={\vec {r}}\;$

(3.8)

I uzyskamy wtedy dwa równania, tzn. (3.6) i (3.7), które odejmować będziemy je od siebie przy wykorzystaniu definicji położenia względnego (3.8) otrzymując:

${\ddot {\vec {r}}}=G(m_{1}+m_{2}){{\vec {r}} \over {r^{3}}}\Rightarrow {\ddot {\vec {r}}}=\left({{1} \over {m_{1}}}+{{1} \over {m_{2}}}\right)Gm_{1}m_{2}{{\vec {r}} \over {r}}\;$

(3.9)

Masą zredukowaną nazywam wielkość, która zależy od dwóch mas składowych, tzn. m₁ i m₂, jest ona określona jako:

$\mu ={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(3.10)

Mając już rozwiązanie w wektorach ${\vec {r}}\;$, wtedy na podstawie równania (3.5) i (3.8) dostajemy dwa równania na ${\vec {r}}_{1}\;$ i na ${\vec {r}}_{2}\;$, co je piszemy:

${\vec {r}}_{1}={{m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}\;$

(3.11)

${\vec {r}}_{2}=-{{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}\;$

(3.12)

Twierdzenie o wiriale

Ważmy wzór obrazujący drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), które to równanie mnożymy przez wektor wodzący ciała wchodzących w skład układu mas ${\vec {r}}_{i}\;$ i w ostatecznych perypetiach możemy napisać tożsamość:

$\sum _{i}m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}{\vec {r}}_{i}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}{\vec {r}}_{i}\;$

(3.13)

Dla sił konserwatywnych równania (3.13) możemy przepisać wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej, wtedy to nasze ostatnie równanie:

$\sum _{i}{{d} \over {dt}}\left(m_{i}{\vec {r}}_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}\right)-\sum _{i}m_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}^{2}=-\sum _{i}\operatorname {grad} _{i}U{\vec {r}}_{i}\;$

(3.14)

Średnią pewnej funkcji f(t) będziemy określać poprzez wzór określą w pewnym przedziale czasowym od zera do τ, zatem w takim przypadku powiemy:

${\overline {f}}={{1} \over {\tau }}\int _{0}^{\tau }f(t)dt\;$

(3.15)

Zatem na podstawie wzoru (3.15) możemy napisać pierwszy wyraz występujący w równaniu (3.14) uśredniając go po nieskończonym czasie:

${\overline {{{d} \over {dt}}\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}}}={{1} \over {\tau }}\int _{0}^{\tau }\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}{\dot {\vec {r}}}_{i}dt={{1} \over {\tau }}\left(\sum _{i}{\vec {r}}_{i}{\dot {\vec {r}}}\right){\xrightarrow[{\tau \rightarrow \infty }]{}}=0\;$

(3.16)

Na podstawie wzoru średnia energię kinetyczną układu mas określony przy pomocy obliczeń (3.16) piszemy wzorem wychodzącym z (3.14):

${\overline {T}}={{1} \over {2}}{\overline {\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\operatorname {grad} U}}\;$

(3.17)

Powyższa równość określa średnią energię kinetyczną, która jest równa połowie wiriału systemy z energii potencjalnej.

Układ oscylatorów fizycznych

Określmy teraz energię potencjalną układu ciał sprężystych, którego całkowita potencjalna energia układu jest równa sumie energii potencjalnej poszczególnych oscylatorów, co możemy ująć:

$U=\sum _{i}{{k} \over {2}}{\vec {r}}_{i}\;$

(3.18)

Wyznaczmy teraz średnia energię układu, korzystając ze wzoru napisanego w punkcie (3.18) na energie potencjalną układu oscylatorów, a także będziemy mogli skorzystać ze wzoru (3.17) i w końcu wykorzystamy twierdzenie wirialne:

$\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\operatorname {grad} _{i}U=\sum k{\vec {r}}_{i}^{2}=2U\;$

(3.19)

Na podstawie obliczeń (3.19) wzór (3.17) pokazuje, że średnia energia potencjalna układu oscylatorów jest równa średniej energii kinetycznej układu.

Mechanika nieba

Energia potencjalna układu punktów krążących w pewnym polu grawitacyjnym określamy jako sumę energii potencjalnych (1.168) dla poszczególnych ciał należącej do układu:

$\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\operatorname {grad} _{i}U=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}{{GMm} \over {r^{2}}}{\vec {r}}_{i}=\sum _{i}{{GM} \over {r_{i}}}=-U\;$

(3.20)

Zatem średnia całkowita energia kinetyczna układu mas określamy na podstawie wzoru (3.17), którą jest całkowitą podwojoną energią kinetyczną określoną:

$2{\overline {T}}=-{\overline {U}}\;$

(3.21)

Całkowita energia średnia układu punktów masowych krążących wokół pewnego punktu masowego określamy według (3.21), wtedy:

${\overline {E}}={\overline {T}}+{\overline {U}}={\overline {T}}-2{\overline {T}}=-{\overline {T}}\;$

(3.22)

Ruch ciała o zmieniających się masie

Określmy teraz pędy ciał okładu w chwili t i w chwili t+dt, zatem na podstawie tego możemy napisać, że pędy ciała przed dotarciem infinitezymalnej masy a także po dotarciu do niej, określamy:

${\vec {p}}(t)=m{\vec {v}}(t)+{\dot {m}}dt{\vec {v_{1}}}\;$

(3.23)

${\vec {p}}(t+dt)=(m+{\dot {m}}dt){\vec {v}}(t+dt)\;$

(3.24)

Możemy teraz wykorzystać drugą zasadę dynamiki Newtona, którego zapis jest napisany w punkcie (1.83), wtedy tą zasadę zapisujemy jako:

${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}={{1} \over {dt}}\left((m+{\dot {m}}dt){\vec {v}}(t+dt)-m{\vec {v}}(t)-{\dot {m}}dt{\vec {v_{1}}}\right)=m{{d{\vec {v}}} \over {dt}}+{{dm} \over {dt}}\left({\vec {v}}-{\vec {v}}_{1}\right)\;$

(3.25)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (3.25) drugą zasadę dynamiki Newtona dla zmiennej masy ciała piszemy w postaci:

$m{{d{\vec {v}}} \over {dt}}={\vec {F}}+{{dm} \over {dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})\Rightarrow m{{d{\vec {v}}} \over {dt}}={\vec {F}}+{{dm} \over {dt}}{\vec {u}}\;$

(3.26)

Przykład rakiety o zmiennej masie z wylatującymi spalinami

Zajmijmy się teraz przykładem, z którego to z rakiety wypływa masa z prędkością względem rakiety ${\vec {u}}=[0,0,-u]\;$ i na którą na rakietę działa siła grawitacji, to równanie (3.26) piszemy:

$m{\dot {v}}=-mg-{\dot {m}}u\;$

(3.27)

Równość (3.27) możemy podzielić przez masę i z całkować względem czasu, ostatecznie:

$dv=gdt-{{dm} \over {m}}u\Rightarrow \int dv=-g\int dt-u\int {{dm} \over {m}}\Rightarrow v=-gt-u\ln {{m} \over {m_{0}}}\;$

(3.28)

W równaniu (3.28) oznaczyliśmy przez m₀ masę początkową rakiety, a przez "m" masę rakiety w czasie "t".