Mechanika teoretyczna/Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika teoretyczna
Mechanika teoretyczna
Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Rozpatrzmy teraz równość (10.12) pomijając w nim wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości stojące w drugim wyrazie pod pochodną cząstkową liczoną względem współrzędnej prostokątnego układu współrzędnych, a także zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i tą gęstość oznaczymy przez ρ0:

(12.1)

Dalszym krokiem jest skorzystanie z definicji tensora napięć, którego definicja jest przy prawie Hooke'a w punkcie (11.10) i wykorzystaniu własności na tensor deformacji (9.41), w ten sposób równość (12.1) przechodzi w:

(12.2)

Równość (12.2), który jest określona przy pomocy wektora deformacji , możemy zapisać w postaci wektorowej używając operatorów gradientu i dywergencji przy pomocy parametrów μ i λ:

(12.3)

Jeśli się ograniczymy do problemów typowo statycznych. tzn. dla problemów całkowicie niezależnych od czasu, zatem na podstawie równości (12.3) napiszmy równość różniczkową pomijać we wspomnianym wzorze drugą pochodną cząstkową wektora deformacji względem czasu:

(12.4)

Wałek skręceń w teorii sprężystości[edytuj]

(Rys. 12.1) Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.

Na dolnej podstawie wałka skręceń x3, z powodów oczywistych mamy si=0. Naprężenia na bocznej podstawie z powodów oczywistych liczymy wzorem (10.5), na górnej podstawie wektor przesunięcia jest określony:

(12.5)

Równaniem statycznym (12.4) będziemy opisywali przypadek statyczny wałka skręceń, tzn. przez równość:

(12.6)

Zdeformowanie dla różnych punktów wałka skręceń, którego równość określamy przez równość:

(12.7)

Wykorzystując wzór na tensor zdeformowania (9.41), w ten sposób na podstawie składowych wektorów zdeformowania , które określaliśmy w punkcie (12.7), to te tensory deformacji określamy przez:

(12.8)

Przy pomocy naszej definicji tensora deformacji (12.8) możemy policzyć je wykorzystując przy tym wzór (11.10):

(12.9)

Ponieważ zachodzi warunek statyczności, który jest opisany wzorem (12.6), to na podstawie tychże wzorów (12.9) możemy zapisać:

(12.10)

Z dwóch równości (12.10) możemy wyznaczyć funkcję φ(x3) zależną od argumentu x3, która jest wysokością wałka skręceń:

(12.11)

Ponieważ dla warunków brzegowych równość (12.11), z którego będziemy mogli wyznaczyć parametry a i b, a także z warunków brzegowych możemy zapisać równości, z których wyznaczymy parametry a i b.

(12.12)
(12.13)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (12.12) i (12.13) wzór (12.11) możemy zapisać:

(12.14)

Patrząc na układ równań (12.9) możemy wyznaczyć naprężenia na ścianki boczne wałka skręceń, względem wektora normalnego do powierzchni bocznej tego obiektu, czyli względem wektora , a zatem na podstawie tego możemy powiedzieć:

(12.15)
(12.16)
(12.17)

Rozwiązaniem równania (12.6), który powstaje po podstawieniu uzyskanej tożsamości (12.7) do ostatnio wspomnianego równości w tym tekście, z którego będziemy mogli wyznaczyć wektor przesunięć , jest:

(12.18)

Tensory naprężeń (12.9), na podstawie definicji funkcji φ(x3) napisanego w punkcie (12.14) i naprężenia dla wektora normalnego dla x3=l, określamy przez:

(12.19)
(12.20)
(12.21)

Siły działające na walek skręceń są prostopadłe do osi x3, bo iloczyn skalarny wektora naprężeń i jest równy zero, a oto jego dowód:

(12.22)

Wyznaczmy teraz moment sił działający na walec skręceń z jego definicji, a także znając definicję składowych naprężeń P1, P2, P3, które to będziemy mogli wykorzystać do wyznaczania trzeciej składowej momentu pędu Ms:

(12.23)

Jeśli na pręt działa siła o momencie pędu wyznaczonego z punktu (12.23), co stąd możemy wyznaczyć kąt φ0, który w zależności od momentu pędu piszemy przez:

(12.24)

Matematyczny opis fal sprężystych[edytuj]

Równanie, które określa przesunięcie danego punktu względem danego punktu si jest opisywane przez równość (12.2), którą ogólne rozwiązanie spełnia wspomnianą równość, jest w postaci:

(12.25)

Stosując metodę analizy Fouriera możemy rozłożyć na składowe powyższe rozwiązanie równania (12.25), który pod eksponensem występuje argumentem z wyrażenia . Zakładając przy tym, że mamy :

(12.26)

Rozwiązanie (12.26) możemy podstawić do równości (12.2), otrzymujemy wtedy równość algebraiczną:

(12.27)

Rozwiązanie równości (12.27) jest to rozwiązanie, dla którego Ai musi być niezerowe, zatem wyznacznik powstały z równania (12.27) musi mieć wartość zerową:

(12.28)

Wyznacznik równania (12.28) możemy policzyć w taki sposób by później z niego można było policzyć dwie częstotliwości kołowe:

(12.29)

Z równości (12.29) możemy wyznaczyć wzory na wartość wektora falowego:

(12.30)
(12.31)

Równaniu falowym o wartości liczby falowej (12.30) odpowiada amplituda , a równaniu falowemu o wartości wektora falowego (12.31) odpowiada wektor amplitudy , co te amplitudy piszemy:

(12.32)
(12.33)

Fala odpowiadająca amplitudzie (12.32) odpowiada fali podłużnej, a fala odpowiadająca fali poprzecznej odpowiada amplituda (12.33), zatem w takim przypadku prędkości opisywane przez te fale są zapisane:

(12.34)
(12.35)

Całkowite odkształcenie pochodzące od fal sprężystych poprzecznych i podłużnych jest to fala, która opisuje sumę fal tych dwóch rodzajów w postaci związku:

(12.36)

Patrząc na rozwiązania na amplitudy rozwiązań fali sprężystej, czyli na (12.32) i (12.33) dowiadujemy się, że dla fali podłużnej możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość dla rotacji i dywergencji pola przesunięć:

(12.37)
(12.38)

Dla fali poprzecznej możemy powiedzieć, że jest odwrotnie jak w przypadku fal podłużnych, tzn., której przypadek opisujemy:

(12.39)
(12.40)

Jeśli wykorzystamy tożsamość, którego dowodu nie będziemy przeprowadzać, co jest wykładem metod matematycznych fizyki:

(12.41)

Wtedy równość (12.3) możemy przepisać do równości:

(12.42)

Jeśli do równania (12.42) podstawimy superpozycję dwóch fal sprężystych poprzecznych i jednej podłużnej, to w ten sposób otrzymamy wzór, którego wygląd przy korzystaniu wzoru (12.41) jest:

(12.43)

Równanie (12.43) możemy rozłożyć na dwa przypadki, które stanowią jakoby dwa równania falowe:

(12.44)
(12.45)

Wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć dla fali poprzecznej, to na podstawie tego możemy powiedzieć:

(12.46)

Na podstawie założenia (12.37) i wywodów (12.46) otrzymujemy, że fala jest falą podłużną. A także wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć dla fali podłużnej:

(12.47)

Na podstawie założenia (12.39) i wywodów (12.47) otrzymujemy, że fala jest falą poprzeczną.

Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała[edytuj]

Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno (10.35) i (10.36), do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni:

(12.48)

Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian (12.48) i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero, zatem:

(12.49)

Wariacja funkcjonału S (12.49) jest tak zbudowana, by wariacja wielkości δsi na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów t1 i t2, co piszemy:

(12.50)

Napiszmy teraz funkcję Φ, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a (11.6), wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji (9.42):

(12.51)

Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie (12.49), zatem tą naszą wariację naszej funkcji S piszemy:




(12.52)

W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie (12.52) pomijaliśmy wyrazy δsi rzędu wyższego rzędu niż pierwszego i skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a (11.1). Dalszym naszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie (12.52) w nawiasie klamrowym, zatem teraz dokonajmy teraz tychże obliczeń:

(12.53)

Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie (11.1), stąd na podstawie tego możemy powiedzieć, że zachodzi:


(12.54)

Obliczenia przeprowadzone w punkcie (12.53) i w punkcie (12.54) wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie (12.52) to na podstawie tego uzyskujemy równość:

(12.55)

Równość (12.55) napiszmy przenosząc wyrazy cechowania na prawą stronę, aby strony zależały od możliwie różnych zmiennych, w postaci::


(12.56)

Gdy w (12.56) przyjmiemy, że deformacje i prędkość deformacji są równe zero, wtedy dochodzimy do wniosku, że , wtedy cechowanie w teorii sprężystości piszemy:

(12.57)

Na podstawie (12.56) i definicji cechowania (12.57) oraz wcześniejszych wniosków wzór (12.55) przyjmuje formę:

(12.58)

Równość całkowa (12.58) jest równa tożsamościowo zero dla dowolnego δsi, zatem na podstawie tego otrzymujemy dwie bardzo ważne równości:

(12.59)
(12.60)

Wzór (12.59) symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie (10.10), a wzór (12.60) jest to powtórzeniem wzoru (10.5).