Mechanika teoretyczna/Problem zderzenia cząstek

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika teoretyczna
Mechanika teoretyczna
Problem zderzenia cząstek

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy tutaj rozpatrywali rozpad cząstki spoczywającej na dwie cząstki o pędach o takim samym kierunku, wartości, ale przeciwnych zwrotach, oraz zderzeniem doskonale sprężystym, rozpraszaniem cząstek na potencjale, a także będziemy się zajmowali wyprowadzaniem wzoru Rutherforda. Na samym końcu podamy opis rozpraszania pod małym kątem.

Wstęp do opisu rozpadu cząstek[edytuj]

(Rys. 2.1) Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy

Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy, po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką sama wartość pędu równą p0. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie Ew a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E1w, E2w, wtedy energetyczne prawo rozpadu jest:

(2.1)

Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie, określamy ją poprzez:

(2.2)

Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p0, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej (6.91):

(2.3)

Z równości (2.2) możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v01=p0/m1, v02=p0/m2. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie . Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest i . Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie , i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy:

(2.4)

Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v0 i dla V>v0. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θmax, którego sinus:

(2.5)

Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ0 liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą, w ten sposób możemy powiedzieć:

(2.6)

Równość (2.6) możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej, w ten sposób otrzymujemy:

(2.7)

Wyrazy występujące w równaniu (2.7) grupujemy po lewej stronie tejże równości, w ten sposób mamy:

(2.8)

Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego), który jest napisany wzorem:


(2.9)

Całkowite rozwiązanie na cosθ0, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu (2.9), jest napisane:

(2.10)

Jak widać według rysunku obok dla V<v0 we wzorze (2.10) musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ0, to rozwiązanie powinno być dla naszego przypadku jednoznaczne. Dla V>v0 rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ0 dla jednego θ. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ0/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ, to mamy dσ0=2πsinθ00, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu jest:

(2.11)

W układzie laboratoryjnym można napisać związek wychodząc od , który zróżniczkujemy, mamy:

(2.12)

Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv2/2, która mieści się w przedziale od Tmin=m(v0-V)2/2 do Tmin=m(v0+V)2/2, wtedy nasz wzór na rozkład (2.11) ze względu na energię T przyjmuje postać:

(2.13)

Możemy wykorzystać wzór (2.3), który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej:

(2.14)

Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek[edytuj]

Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie towarzyszą im przemiany wewnętrzne, zatem te przemiany możemy pominąć i ich nie uwzględniać. Prędkość środka masy możemy przestawić przy pomocy prędkości cząstek przed zderzeniem jako:

(2.15)

Prędkości cząstek w układzie środka masy cząstki o masie m1 i o masie m2 przy oznaczeniu przedstawiamy:

(2.16)
(2.17)

Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu w układzie środka masy możemy przestawić z definicji pędu klasycznego:

(2.18)
(2.19)

W układzie środka masy z zasady zachowania energii możemy napisać, biorąc pod uwagę, że pędy cząstek po zderzeniu mają ten sam kierunek, takie same wartości, ale przeciwne zwroty:

(2.20)

Wyznaczmy czemu są równe pędy cząstek po zderzeniem, znając ich wartości przed zderzeniem, wtedy musimy policzyć wyrażenie:

(2.21)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (2.21) możemy powiedzieć, że pędy cząstek przed i po zderzeniu w układzie środka masy są sobie równe co do wartości, zatem oznaczmy kierunek, w którym te dwie cząstki zostają rozproszone przez (który jest wektorem jednostkowym) dla cząstki pierwszej, ten kierunek i zwrot musi uwzględniać to by cząstki przed i po zderzeniu nie przeszły przez siebie, a także składowa równoległa dla pierwszej cząstki powinna mieć zwrot przeciwny niż pęd naszej badanej cząstki przed zderzeniem, wtedy prędkości cząstek po zderzeniu dla cząstki pierwszej i drugiej określamy przez:

(2.22)
(2.23)

Prędkości cząstek po zderzeniu możemy określić w układzie laboratoryjnym, dla którego prędkość środka masy jest wyrażona poprzez (2.15), jest ona wyrażona poprzez prędkości cząstek po zderzeniu:

(2.24)
(2.25)

Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu możemy określić z definicji pędu według przestawień (2.24) i (2.25):

(2.26)
(2.27)
(Rys. 2.2) Doskonale sprężyste zderzenie

Zakładamy, że na rysunkach obok zachodzą następujące tożsamości:

  • tożsamość na promień naszej rozważanej kuli:
(2.28)
  • tożsamość na wektor odcinka :
(2.29)
  • tożsamość na wektor odcinka :
(2.30)

Wzór na wektor odcinka AB możemy przestawić jako sumę z wektorów (2.29) i (2.30) i jak można łatwo udowodnić jest ona równa sumie pędów dwóch cząstek przed zderzeniem, tzn. . Stosunek długości odcinków AO i OB, jak można udowodnić na podstawie AO (2.29) i OB (2.30), jest równy:

(2.31)

Teraz będziemy zakładać, że pęd drugiej cząstki przed zderzeniem jest równy zero. Z rysunków napisanych obok możemy napisać tożsamość na tangens kąta θ1 zależącą od kąta χ który jest:

(2.32)

Z tego samego rysunku co poprzednio możemy wywnioskować, że tangens kąta θ2 zależącą od kąta χ jest:

(2.33)

Weźmy teraz zdefiniowany kąt , z którego możemy wyznaczyć χ równą χ=π-2κ, to podstawmy do prawej strony równania (2.33), wtedy zobaczymy co wyjdzie:

(2.34)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (2.34) dla podstawienia κ, (2.33) dochodzimy do wniosku, że związek pomiędzy kątami θ2 i χ jest:

(2.35)

Wyznaczmy teraz prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu z twierdzenia kosinusów patrząc na powyższy rysunek w tym rozdziale:


(2.36)

A także patrząc na ten sam rysunek prędkość drugiej cząstki wyrażamy przy pomocy twierdzenia kosinusów:


(2.37)

Patrząc na rysunki powyżej dowiadujemy się, że dla m1<m2, że θ12>π/2, a dla m1>m2 mamy θ12<π/2. Jeśli będziemy rozpatrywali cząstki pędzące w jednej linii, wtedy pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu są takie same jak przed zderzeniem, wtedy χ=π, to prędkości cząstek po zderzeniu są sobie równe na podstawie wzorów (2.36) i (2.37):

(2.38)
(2.39)

Energia maksymalna jaką druga cząstka może posiadać, gdy ta cząstka początkowo spoczywała, jest napisana przy definicji prędkości (2.39) względem prędkości cząstki pierwszej:

(2.40)

Gdy m1<m2 prędkość pierwszej cząstki przed zderzeniem może mieć dowolny kierunek, a dla m1>m2 już nie ma dowolnego kierunku, maksymalną wartość kąta θ, który przyjmuje ona w tym przypadku jest taki, by kąt BAC był kątem prostym:

(2.41)
(Rys. 2.3) Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek

Gdy mamy jednakowe masy cząstek, tzn. zachodzi m1=m2, wtedy na pewno zachodzi (2.35), a także (2.32), w którym możemy tak poskracać jednakowe masy, by zachodziło:

(2.42)

Weźmy sobie teraz κ=1/2χ z którego wynika 2κ=χ, w ten sposób przekształćmy prawą stronę równości (2.42), i zobaczymy co wyjdzie:

(2.43)

Według obliczeń (2.43) i zachodzącej tożsamości (2.42) możemy dojść do wniosku:

(2.44)

Posługując się udowodnionymi tożsamościami (2.36) i (2.37), dostajemy wzory na prędkości cząstek po zderzeniu w zależności od kata χ i wartości prędkości cząstki pierwszej przed zderzeniem:

(2.45)
(2.46)

Rozpraszanie cząstek na potencjale[edytuj]

(Rys. 2.4) Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności

Tożsamość całkową (1.108) możemy przepisać dla przejrzystości wykładu, pamiętając przy okazji, ze w tej tożsamości występuje minus przed nasza całką, bo rozpatrujemy malejące położenia radialne cząstki, co prowadzi do tożsamości całkowej:

(2.47)

Jeśli będziemy badać ruch nieskończony wygodnie jest posługiwać innymi wielkościami niż "E" i "L". Zastąpimy je wielkością v, która jest prędkością cząstki w nieskończoności i przez parametrem ρ będącym parametrem określającym odległość toru centrum pola od asymptoty dla orbity, jak by pole nie występowało. Te nowe wielkości możemy użyć do zdefiniowania "E" i "L":

(2.48)
(2.49)

Wzory (2.48) i (2.49) podstawiamy do (2.47) i otrzymujemy następującą całkę przy zdefiniowanych parametrach v i ρ:

(2.50)

Zwykle mamy do czynienia z wiązką cząstek, które poszczególne cząstki mają różne parametry zderzenia, a zatem rozpraszają się one z różnymi kątami χ, które mają jednakowe prędkości równe . Oznaczmy dN liczbę cząstek rozproszonych w przedziale od χ do χ+dχ, jest ona niewygodna do opisywania procesu rozpraszania i dlatego wprowadza się związek:

(2.51)
  • gdzie n jest liczbą cząstek przechodzących przez jednostkę powierzchni prostopadłych do biegu rozważanych cząstek, zakładamy przy okazji, że wiązka jest jednorodna.

Stosunek (2.51) ma wymiar powierzchni i nazywamy go przekrojem czynnym na rozpraszanie. Zakładamy, że pomiędzy wielkościami χ i ρ istnieje jednoznaczny związek, czyli dla kątów rozpraszania χ i χ+dχ istnieje przedział na parametry zderzenia równą ρ(χ) i ρ(χ)+dρ(χ). Przekrój czynny, który oznaczymy poprzez χ, jest równy:

(2.52)

We wzorze posługiwaliśmy się wartością bezwzględną pochodnej dρ/dχ, która ma zazwyczaj wartość ujemną. Zazwyczaj zamiast kąta χ zwykle odnosimy się od zależności od kąta bryłowego według do=2πsinχdχ, który to podstawimy do wzoru (2.52), mamy:

(2.53)

Można powiedzieć, że wzór (2.52) określa przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania w układzie środka masy, dla której χ, którą jest θ1 dla cząstek padających lub θ2 dla cząstek pierwotnie spoczywających, wtedy taki związek możemy wyrazić poprzez tożsamość (2.32) lub poprzez (2.35).

Wyprowadzenie wzoru Rutherforda[edytuj]

Weźmy sobie pod ostrzał wzór (2.50), do którego dokonamy podstawienia u=1/r, w ten sposób wzór możemy napisać przy definicji potencjału U=α/r, który opisuje pole kulistosymetryczne, wtedy kąt z jaką cząstka w tym polu wychodzi na zewnątrz jest opisywana:



(2.54)

Patrząc na przeprowadzone obliczenia (2.54), stąd wywnioskujemy, że zachodzi równość na zależność kwadratu parametru zderzenia ρ i kąta θ0, do którego podstawimy wzór wynikający z (2.35), którym zamiast θ2 jest tutaj θ0:

(2.55)

Wyrażenie (2.55) różniczkujemy względem χ obustronnie i wynik podstawiamy do końcowego wzoru (2.52), w ten sposób otrzymujemy końcowy wynik względem zmiennej χ, a także względem kąta bryłowego:

(2.56)
(2.57)

Wzór (2.57) opisuje przekrój czynny w układzie środka masy, aby przejść do układu laboratoryjnego należy zastosować wzór (2.35), który przedstawimy jako χ=π-2θ2, w ten sposób:

(2.58)

W ogólnym przypadku przejście do układu laboratoryjnego prowadzi do bardzo skomplikowanej zależności, zatem rozpatrzmy jego szczególne przypadki. Jeśli według wzoru (2.32) masa cząstki m2 jest o wiele większa niż masa cząstki m1, to wtedy zachodzi χ≈θ1 i m≈m1, wtedy przekrój czynny (2.58) ma się:

(2.59)

Jeśli masy obu cząstek są jednakowe, tzn. m1=m2, m=m1/2, to zgodnie z (2.44) prowadzi to do tożsamości:

(2.60)

Jeśli dwie nasze cząstki nie można rozróżnić, to całkowity przekrój na zderzenie obu cząstek jest sumą przekrojów czynnych (2.58) i (2.60):

(2.61)

Rozważmy teraz przypadek ogólny (2.56), który opisuje cząstki dla ich różnych mas, którego przestawienie jest napisane przy pomocy wzoru (2.37) dla drugiej cząstki początkowo będącej w spoczynku, i dla pierwszej cząstki poruszająca się z prędkością v, wzór na prędkość drugiej cząstki po zderzeniu jest napisane poprzez:

(2.62)

Energia kinetyczna cząstki drugiej po zderzeniu możemy przestawić z jej definicji na podstawie prędkości tejże cząstki (2.62), i policzmy też jego różniczkę w tej samej linijce, wtedy te wzory przedstawiamy:

(2.63)
(2.64)

Wzory (2.63) i (2.64) podstawiamy do ogólnego równania na przekrój czynny (2.56), w ten sposób otrzymujemy:

(2.65)

Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych katów[edytuj]

Będziemy rozpatrywać te zderzenia, które charakteryzują się dużym parametrem zderzenia, wtedy katy rozproszenia są zazwyczaj małe. Sinus kąta rozproszenia jest mały i jest napisany wzorem:

(2.66)

Początkowo cząstka miała pęd równy p1 i wyniku oddziaływania z pewnym polem nabyła pędu prostopadłego do poprzedniej wartości pędu równą p'1y. Powyżej będziemy rozpatrywali małe katy rozproszenia w układzie laboratoryjnym, a nie w układzie środka masy. Dla małych kątów rozproszenia możemy zastąpić oczywiście sinθ1 przez θ1, a w mianowniku należy zastąpić p'1 przez m1v, co w takim wypadku mamy w przybliżeniu:

(2.67)

Ponieważ zachodzi , wtedy całkowity przyrost pędu w kierunku osi igrekowej, zakładając jednocześnie, że pęd igrekowy początkowy był równy zero, jest wyrażony poprzez:

(2.68)

Współrzędną igrekową zdefiniowaną poprzez potencjał względem współrzędnej igrekowej pola, którą piszemy jako pochodną potencjału względem współrzędnej radialnej i innych parametrów, piszemy:

(2.69)

W naszych obliczeniach należy oczekiwać, że cząstka niewiele odchyliła się od swego biegu, czyli porusza się ona ruchem prawie prostoliniowym, wtedy mamy y=ρ. a dt możemy wyrazić poprzez prędkość w nieskończoności v i różniczkę położenia iksowego, wtedy te wzory:

(2.70)
(2.71)

Wzór na całkowite siłę igrekową (2.70) i różniczkę czasu (2.71) podstawiamy do wzoru na całkowity przyrost pędu igrekowego (2.68), w ten sposób:

(2.72)

Z definicji promienia radialnego możemy wyrazić x, a potem przyrost dx w zależności od położenia radialnego "r" i parametru zdarzenia ρ w postaci:

(2.73)

Końcowy wzór (2.73) podstawiamy do (2.72), a to wzoru (2.67), w ten sposób otrzymujemy tożsamość na kąt θ1 w zależności od parametru zdarzenia ρ:

(2.74)

Mając znany potencjał U możemy wyznaczyć zależność θ1 od ρ, co tą zależność możemy odwrócić, tak by otrzymać zależność ρ od kąta θ1 w układzie laboratoryjnym, co go możemy podstawić do (2.53) i dla małych katów otrzymać wzór na przekrój czynny:

(2.75)