Mechanika teoretyczna/Problem zderzenia cząstek

Problem zderzenia cząstek

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy tutaj rozpatrywali rozpad cząstki spoczywającej na dwie cząstki o pędach o takim samym kierunku, wartości, ale przeciwnych zwrotach, oraz zderzeniem doskonale sprężystym, rozpraszaniem cząstek na potencjale, a także będziemy się zajmowali wyprowadzaniem wzoru Rutherforda. Na samym końcu podamy opis rozpraszania pod małym kątem.

Wstęp do opisu rozpadu cząstek

(Rys. 2.1) Rysunek obrazujący układ laboratoryjny z układem środka masy

Rozpatrzmy rozpad cząstek, w którym nasza początkowa cząstka spoczywa, jest to układ środka masy, po rozpadzie mamy dwie cząstki, które mają taką sama wartość pędu równą p₀. Jeśli weźmiemy, że cząstka przed rozpadem ma energię w sobie E_w a po rozpadzie na dwie cząstki, których energie są: E_1w, E_2w, wtedy energetyczne prawo rozpadu jest:

$E_{w}=E_{1w}+{{p_{0}^{2}} \over {2m_{1}}}+E_{2w}+{{p_{0}^{2}} \over {2m_{2}}}\;$

(2.1)

Energię rozpadu cząstki na dwie cząstki określamy jako różnicę energii całkowitej cząstki przed rozpadem i energii cząstek po rozpadzie, określamy ją poprzez:

$\epsilon =E_{w}-E_{1w}-E_{2w}\;$

(2.2)

Z drugiej jednak strony energię rozpadu możemy określić poprzez energię kinetyczne cząstek po rozpadzie, tzn. wyrażone przy pomocy pędów p₀, i na samym końcu wyrazimy ją przy pomocy masy zredukowanej (6.91):

$\epsilon ={{p_{0}^{2}} \over {2}}\left({{1} \over {m_{1}}}+{{1} \over {m_{2}}}\right)={{p_{0}^{2}} \over {2m}}\;$

(2.3)

Z równości (2.2) możemy wyznaczyć prędkości cząstek po rozpadzie z definicji pędu, tzn. v₀₁=p₀/m₁, v₀₂=p₀/m₂. Niech prędkością cząstki przed rozpadem w układzie laboratoryjnym będzie ${\vec {V}}\;$. Zajmijmy się cząstką, która jest z jednych produktów rozpadu i jej prędkość w rozpadzie w układzie laboratoryjnym i środka masy jest ${\vec {v}}\;$ i ${\vec {v}}_{0}\;$. Jeśli powiązać wszystkie te prędkości w jedno równanie ${\vec {v}}={\vec {V}}+{\vec {v}}_{0}\;$, i w ten sposób licząc kwadrat tego wzoru, otrzymujemy:

$v^{2}+V^{2}-2vV\cos \theta =v_{0}^{2}\;$

(2.4)

Zależności te są podane na rysunku obok, dla której zachodzi V<v₀ i dla V>v₀. W pierwszym przypadku cząstka może polecieć pod dowolnym kątem θ, a w drugim przypadku cząstka może polecieć z kątem maksymalnym θ_max, którego sinus:

$\sin \theta _{max}={{v_{0}} \over {V}}\;$

(2.5)

Tangens kąta θ w układzie laboratoryjnym względem kąta θ₀ liczonej w układzie środka masy możemy powiązać ze sobą, w ten sposób możemy powiedzieć:

$\operatorname {tg} \theta ={{v_{0}\sin \theta _{0}} \over {v_{0}\sin \theta _{0}+V}}\;$

(2.6)

Równość (2.6) możemy podnieść do kwadratu i później pomnożyć przez wyrażenie, które jest po jego prawej stronie w mianowniku, w tak otrzymanym wyrażeniu, wykorzystując definicję jedynki trygonometrycznej, w ten sposób otrzymujemy:

$\operatorname {tg} ^{2}\theta (v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta _{0}+V^{2}+2v_{0}V\cos \theta _{0})=v_{0}^{2}(1-\cos ^{2}\theta _{0})\;$

(2.7)

Wyrazy występujące w równaniu (2.7) grupujemy po lewej stronie tejże równości, w ten sposób mamy:

$v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta _{0}\left(\operatorname {tg} ^{2}\theta +1\right)+\cos \theta _{0}2Vv_{0}\operatorname {tg} ^{2}\theta +V^{2}\operatorname {tg} ^{2}\theta -v_{0}^{2}=0\;$

(2.8)

Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym względem cosθ, z którego możemy wyznaczyć deltę Δ (wyróżnik trójmianu kwadratowego), który jest napisany wzorem:

$\Delta =4v_{0}^{2}V^{2}\operatorname {tg} ^{4}\theta -4v_{0}^{2}(\operatorname {tg} ^{2}\theta +1)(V^{2}\operatorname {tg} ^{2}\theta -v_{0}^{2})=4v_{0}^{2}V^{2}\operatorname {tg} ^{4}\theta -4v_{0}^{2}(V^{2}\operatorname {tg} ^{4}\theta -v_{0}^{2}\operatorname {tg} ^{2}\theta +V^{2}\operatorname {tg} ^{2}\theta -v_{0}^{2})=\;$
$=-4v_{0}^{2}\left(-v_{0}^{2}\operatorname {tg} ^{2}\theta -v_{0}^{2}+V^{2}\operatorname {tg} ^{2}\theta \right)=4v_{0}^{4}\left({{1} \over {\cos ^{2}\theta }}-{{V^{2}} \over {v_{0}^{2}}}\operatorname {tg} ^{2}\theta \right)={{4v_{0}^{4}} \over {\cos ^{2}\theta }}\left(1-{{V^{2}} \over {v_{0}^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\;$

(2.9)

Całkowite rozwiązanie na cosθ₀, na podstawie wcześniejszych obliczeń i definicji wyróżnika wielomianu (2.9), jest napisane:

$\cos \theta _{0}=-{{V} \over {v_{0}}}\sin ^{2}\theta \pm \cos \theta {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {v_{0}^{2}}}\sin ^{2}\theta }}\;$

(2.10)

Jak widać według rysunku obok dla V<v₀ we wzorze (2.10) musimy wybrać znak plus, by było θ=0 dla θ₀, to rozwiązanie powinno być dla naszego przypadku jednoznaczne. Dla V>v₀ rozwiązanie jest dwuznaczne, tzn. istnieją dwie wartości θ₀ dla jednego θ. Wszystkie cząstki będące produktami rozpadu dwucząstkowego mają ten sam pęd w układzie środka masy. Także ich rozkład kierunków przestrzennych jest izotropowy. Wykorzystując ten fakt, a także dσ₀/4π, co jest prawdopodobieństwem rozkładu, jeśli mamy pas o szerokości dθ, to mamy dσ₀=2πsinθ₀dθ₀, wtedy wyrażenie na rozkład cząstek wychodzących po zdrzerzeniu jest:

${{1} \over {2}}\sin \theta _{0}d\theta _{0}\;$

(2.11)

W układzie laboratoryjnym można napisać związek wychodząc od ${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {V}}\;$, który zróżniczkujemy, mamy:

$v^{2}=v_{0}^{2}+V^{2}+2v_{0}V\cos \theta _{0}\Rightarrow d\cos \theta _{0}={{dv^{2}} \over {2v_{0}V}}\;$

(2.12)

Jeśli wykorzystamy wzór na energię kinetyczną T=mv²/2, która mieści się w przedziale od T_min=m(v₀-V)²/2 do T_min=m(v₀+V)²/2, wtedy nasz wzór na rozkład (2.11) ze względu na energię T przyjmuje postać:

${{dT} \over {2mv_{0}V}}\;$

(2.13)

Możemy wykorzystać wzór (2.3), który tak przekształcimy, by mieć energię kinetyczną cząstki pierwszej:

$T_{10}={{p_{0}^{2}} \over {2m_{1}}}={{2m_{1}m_{2}} \over {2m_{1}(m_{1}+m_{2})}}\epsilon ={{m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\epsilon ={{M-m_{1}} \over {M}}\epsilon \;$

(2.14)

Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek

Doskonale sprężystym zderzeniem nazywamy takie zderzenie, w którym nie towarzyszą im przemiany wewnętrzne, zatem te przemiany możemy pominąć i ich nie uwzględniać. Prędkość środka masy możemy przestawić przy pomocy prędkości cząstek przed zderzeniem jako:

${\vec {V}}={{m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(2.15)

Prędkości cząstek w układzie środka masy cząstki o masie m₁ i o masie m₂ przy oznaczeniu ${\vec {v}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\;$ przedstawiamy:

${\vec {v}}_{10}={\vec {v}}_{1}-{{m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}={{m_{2}{\vec {v}}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(2.16)

${\vec {v}}_{20}={\vec {v}}_{2}-{{m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}=-{{m_{1}{\vec {v}}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(2.17)

Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu w układzie środka masy możemy przestawić z definicji pędu klasycznego:

${\vec {p}}_{10}=m{\vec {v}}\;$

(2.18)

${\vec {p}}_{20}=-m{\vec {v}}\;$

(2.19)

W układzie środka masy z zasady zachowania energii możemy napisać, biorąc pod uwagę, że pędy cząstek po zderzeniu mają ten sam kierunek, takie same wartości, ale przeciwne zwroty:

$E={{{p^{'}}_{10}^{2}} \over {2m_{1}}}+{{{p^{'}}_{20}^{2}} \over {2m_{2}}}\Rightarrow E={{{p^{'}}_{0}^{2}} \over {2}}\left({{1} \over {m_{1}}}+{{1} \over {m_{2}}}\right)\Rightarrow E={{{p^{'}}^{2}} \over {2m}}\Rightarrow {p^{'}}_{0}={\sqrt {2Em}}\;$

(2.20)

Wyznaczmy czemu są równe pędy cząstek po zderzeniem, znając ich wartości przed zderzeniem, wtedy musimy policzyć wyrażenie:

$2Em=2m\left({{p_{0}^{2}} \over {2m_{1}}}+{{p_{0}^{2}} \over {2m_{1}}}\right)=p_{0}^{2}\;$

(2.21)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (2.21) możemy powiedzieć, że pędy cząstek przed i po zderzeniu w układzie środka masy są sobie równe co do wartości, zatem oznaczmy kierunek, w którym te dwie cząstki zostają rozproszone przez ${\vec {n}}\;$ (który jest wektorem jednostkowym) dla cząstki pierwszej, ten kierunek i zwrot musi uwzględniać to by cząstki przed i po zderzeniu nie przeszły przez siebie, a także składowa równoległa dla pierwszej cząstki powinna mieć zwrot przeciwny niż pęd naszej badanej cząstki przed zderzeniem, wtedy prędkości cząstek po zderzeniu dla cząstki pierwszej i drugiej określamy przez:

${\vec {v}}_{10}^{'}={{mv} \over {m_{1}}}{\vec {n}}\;$

(2.22)

${\vec {v}}_{20}^{'}=-{{mv} \over {m_{2}}}{\vec {n}}\;$

(2.23)

Prędkości cząstek po zderzeniu możemy określić w układzie laboratoryjnym, dla którego prędkość środka masy jest wyrażona poprzez (2.15), jest ona wyrażona poprzez prędkości cząstek po zderzeniu:

${\vec {v}}_{1}^{'}={{mv} \over {m_{1}}}{\vec {n}}+{{m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(2.24)

${\vec {v}}_{2}^{'}={{mv} \over {m_{1}}}{\vec {n}}+{{m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(2.25)

Pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu możemy określić z definicji pędu według przestawień (2.24) i (2.25):

${\vec {p}}_{1}^{'}=mv{\vec {n}}+{{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}({\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2})\;$

(2.26)

${\vec {p}}_{2}^{'}=-mv{\vec {n}}+{{m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}({\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2})\;$

(2.27)

(Rys. 2.2) Doskonale sprężyste zderzenie

Zakładamy, że na rysunkach obok zachodzą następujące tożsamości:

• tożsamość na promień naszej rozważanej kuli:

${\vec {OC}}=mv{\vec {n}}\;$

(2.28)

• tożsamość na wektor odcinka ${\vec {AO}}\;$:

${\vec {AO}}={{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}({\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2})\;$

(2.29)

• tożsamość na wektor odcinka ${\vec {OB}}\;$:

${\vec {OB}}={{m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}({\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2})\;$

(2.30)

Wzór na wektor odcinka AB możemy przestawić jako sumę z wektorów ${\vec {AO}}\;$(2.29) i ${\vec {OB}}\;$(2.30) i jak można łatwo udowodnić jest ona równa sumie pędów dwóch cząstek przed zderzeniem, tzn. ${\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\;$. Stosunek długości odcinków AO i OB, jak można udowodnić na podstawie AO (2.29) i OB (2.30), jest równy:

${{AO} \over {OB}}={{m_{1}} \over {m_{2}}}\;$

(2.31)

Teraz będziemy zakładać, że pęd drugiej cząstki przed zderzeniem jest równy zero. Z rysunków napisanych obok możemy napisać tożsamość na tangens kąta θ₁ zależącą od kąta χ który jest:

$\operatorname {tg} \theta _{1}={{mv\sin \chi } \over {mv\cos \chi +{{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}m_{1}v}}={{mv\sin \chi } \over {mv\cos \chi +{{m} \over {m_{2}}}m_{1}v}}={{m_{2}\sin \chi } \over {m_{1}+m_{2}\cos \chi }}\;$

(2.32)

Z tego samego rysunku co poprzednio możemy wywnioskować, że tangens kąta θ₂ zależącą od kąta χ jest:

$\operatorname {tg} \theta _{2}={{mv\sin \chi } \over {{{m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}p_{1}-mv\cos \chi }}={{\sin \chi } \over {1-\cos \chi }}\;$

(2.33)

Weźmy teraz zdefiniowany kąt $\kappa ={{\pi -\chi } \over {2}}\;$, z którego możemy wyznaczyć χ równą χ=π-2κ, to podstawmy do prawej strony równania (2.33), wtedy zobaczymy co wyjdzie:

${{\sin \chi } \over {1-\cos \chi }}={{\sin 2\kappa } \over {1+\cos 2\kappa }}={{2\sin \kappa \cos \kappa } \over {1+\cos ^{2}\kappa -\sin ^{2}\kappa }}={{2\sin \kappa \cos \kappa } \over {2\cos ^{2}\kappa }}={{\sin \kappa } \over {\cos \kappa }}=\operatorname {tg} \kappa \;$

(2.34)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (2.34) dla podstawienia κ, (2.33) dochodzimy do wniosku, że związek pomiędzy kątami θ₂ i χ jest:

$\theta _{2}={{\pi -\chi } \over {2}}\;$

(2.35)

Wyznaczmy teraz prędkość cząstki pierwszej po zderzeniu z twierdzenia kosinusów patrząc na powyższy rysunek w tym rozdziale:

${p_{1}^{'}}^{2}=m^{2}v^{2}+{{m_{1}^{4}} \over {(m_{1}+m_{2})^{2}}}v^{2}+2mv{{m_{1}^{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}v\cos \chi =m_{1}^{2}{v_{1}^{'}}^{2}\Rightarrow {v_{1}^{'}}^{2}={{m_{2}^{2}} \over {(m_{1}+m_{2})^{2}}}v^{2}+{{m_{1}^{2}} \over {(m_{1}+m_{2})^{2}}}v^{2}+\;$
$+{{2m_{1}m_{2}v^{2}\cos \chi } \over {(m_{1}+m_{2})^{2}}}\Rightarrow v_{1}^{'}={{\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \chi }} \over {m_{1}+m_{2}}}$

(2.36)

A także patrząc na ten sam rysunek prędkość drugiej cząstki wyrażamy przy pomocy twierdzenia kosinusów:

${p_{2}^{'}}^{2}=m^{2}v^{2}+{{m_{1}^{2}m_{2}^{2}v^{2}} \over {(m_{1}+m_{2})^{2}}}-2mv{{m_{1}m_{2}} \over {(m_{1}+m_{2})}}\cos \chi =m^{2}v^{2}\left(2-2\cos \chi \right)=4m^{2}v^{2}\sin ^{2}{{\chi } \over {2}}=m_{2}^{2}{v_{2}^{'}}^{2}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow v_{2}^{'}={{2m_{1}v} \over {m_{1}+m_{2}}}\sin {{\chi } \over {2}}\;$

(2.37)

Patrząc na rysunki powyżej dowiadujemy się, że dla m₁<m₂, że θ₁+θ₂>π/2, a dla m₁>m₂ mamy θ₁+θ₂<π/2. Jeśli będziemy rozpatrywali cząstki pędzące w jednej linii, wtedy pędy poszczególnych cząstek po zderzeniu są takie same jak przed zderzeniem, wtedy χ=π, to prędkości cząstek po zderzeniu są sobie równe na podstawie wzorów (2.36) i (2.37):

${\vec {v}}_{1}={{m_{1}-m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}{\vec {v}}\;$

(2.38)

${\vec {v}}_{2}={{2m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}{\vec {v}}\;$

(2.39)

Energia maksymalna jaką druga cząstka może posiadać, gdy ta cząstka początkowo spoczywała, jest napisana przy definicji prędkości (2.39) względem prędkości cząstki pierwszej:

$E_{2max}={{m_{2}{v_{2max}^{'}}^{2}} \over {2}}={{4m_{1}^{2}m_{2}} \over {2(m_{1}+m_{2})^{2}}}v^{2}={{4m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}E_{1}\;$

(2.40)

Gdy m₁<m₂ prędkość pierwszej cząstki przed zderzeniem może mieć dowolny kierunek, a dla m₁>m₂ już nie ma dowolnego kierunku, maksymalną wartość kąta θ, który przyjmuje ona w tym przypadku jest taki, by kąt BAC był kątem prostym:

$\sin \theta _{1max}={{OC} \over {OA}}={{mv} \over {{{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}m_{1}v}}={{m_{2}} \over {m_{1}}}\;$

(2.41)

(Rys. 2.3) Zderzenie doskonale sprężyste dla mas jednakowych cząstek

Gdy mamy jednakowe masy cząstek, tzn. zachodzi m₁=m₂, wtedy na pewno zachodzi (2.35), a także (2.32), w którym możemy tak poskracać jednakowe masy, by zachodziło:

$\operatorname {tg} \theta _{1}={{\sin \chi } \over {1+\cos \chi }}\;$

(2.42)

Weźmy sobie teraz κ=1/2χ z którego wynika 2κ=χ, w ten sposób przekształćmy prawą stronę równości (2.42), i zobaczymy co wyjdzie:

${{\sin \chi } \over {1+\cos \chi }}={{\sin 2\kappa } \over {1+\cos 2\kappa }}={{2\sin \kappa \cos \kappa } \over {1+2cos^{2}\kappa -1}}={{\sin \kappa } \over {\cos \kappa }}=\operatorname {tg} \kappa \;$

(2.43)

Według obliczeń (2.43) i zachodzącej tożsamości (2.42) możemy dojść do wniosku:

$\theta _{1}={{1} \over {2}}\chi \;$

(2.44)

Posługując się udowodnionymi tożsamościami (2.36) i (2.37), dostajemy wzory na prędkości cząstek po zderzeniu w zależności od kata χ i wartości prędkości cząstki pierwszej przed zderzeniem:

$v_{1}^{'}=v\cos {{1} \over {2}}\chi \;$

(2.45)

$v_{2}^{'}=v\sin {{1} \over {2}}\chi \;$

(2.46)

Rozpraszanie cząstek na potencjale

(Rys. 2.4) Rozpraszanie cząstek na potencjale, położenie czerwonej kulki jest w nieskończoności

Tożsamość całkową (1.110) możemy przepisać dla przejrzystości wykładu, pamiętając przy okazji, ze w tej tożsamości występuje minus przed nasza całką, bo rozpatrujemy malejące położenia radialne cząstki, co prowadzi do tożsamości całkowej:

$\theta _{0}=-\int _{\infty }^{r_{min}}{{{{L} \over {r^{2}}}dr} \over {\sqrt {2m(E-U)-{{L^{2}} \over {r^{2}}}}}}\;$

(2.47)

Jeśli będziemy badać ruch nieskończony wygodnie jest posługiwać innymi wielkościami niż "E" i "L". Zastąpimy je wielkością v_∞, która jest prędkością cząstki w nieskończoności i przez parametrem ρ będącym parametrem określającym odległość toru centrum pola od asymptoty dla orbity, jak by pole nie występowało. Te nowe wielkości możemy użyć do zdefiniowania "E" i "L":

$E={{1} \over {2}}mv_{\infty }^{2}\;$

(2.48)

$L=m\rho v_{\infty }\;$

(2.49)

Wzory (2.48) i (2.49) podstawiamy do (2.47) i otrzymujemy następującą całkę przy zdefiniowanych parametrach v_∞ i ρ:

$\theta _{0}=\int _{r_{min}}^{\infty }{{{{\rho } \over {r^{2}}}dr} \over {\sqrt {1-{{\rho ^{2}} \over {r^{2}}}-{{2U} \over {mv_{\theta }^{2}}}}}}\;$

(2.50)

Zwykle mamy do czynienia z wiązką cząstek, które poszczególne cząstki mają różne parametry zderzenia, a zatem rozpraszają się one z różnymi kątami χ, które mają jednakowe prędkości równe ${\vec {v}}_{\infty }\;$. Oznaczmy dN liczbę cząstek rozproszonych w przedziale od χ do χ+dχ, jest ona niewygodna do opisywania procesu rozpraszania i dlatego wprowadza się związek:

$d\sigma ={{dN} \over {n}}\;$

(2.51)

• gdzie n jest liczbą cząstek przechodzących przez jednostkę powierzchni prostopadłych do biegu rozważanych cząstek, zakładamy przy okazji, że wiązka jest jednorodna.

Stosunek (2.51) ma wymiar powierzchni i nazywamy go przekrojem czynnym na rozpraszanie. Zakładamy, że pomiędzy wielkościami χ i ρ istnieje jednoznaczny związek, czyli dla kątów rozpraszania χ i χ+dχ istnieje przedział na parametry zderzenia równą ρ(χ) i ρ(χ)+dρ(χ). Przekrój czynny, który oznaczymy poprzez χ, jest równy:

$d\sigma =2\pi \rho d\rho =2\pi \rho (\chi )\left|{{d\rho (\chi )} \over {d\chi }}\right|d\chi \;$

(2.52)

We wzorze posługiwaliśmy się wartością bezwzględną pochodnej dρ/dχ, która ma zazwyczaj wartość ujemną. Zazwyczaj zamiast kąta χ zwykle odnosimy się od zależności od kąta bryłowego według do=2πsinχdχ, który to podstawimy do wzoru (2.52), mamy:

$d\sigma ={{\rho (\chi )} \over {\sin \chi }}\left|{{d\rho } \over {d\chi }}\right|do\;$

(2.53)

Można powiedzieć, że wzór (2.52) określa przekrój czynny w zależności od kata rozpraszania w układzie środka masy, dla której χ, którą jest θ₁ dla cząstek padających lub θ₂ dla cząstek pierwotnie spoczywających, wtedy taki związek możemy wyrazić poprzez tożsamość (2.32) lub poprzez (2.35).

Wyprowadzenie wzoru Rutherforda

Weźmy sobie pod ostrzał wzór (2.50), do którego dokonamy podstawienia u=1/r, w ten sposób wzór możemy napisać przy definicji potencjału U=α/r, który opisuje pole kulistosymetryczne, wtedy kąt z jaką cząstka w tym polu wychodzi na zewnątrz jest opisywana:

$\phi _{0}=-\int _{{1} \over {r_{min}}}^{0}{{\rho du} \over {\sqrt {1-\rho ^{2}u^{2}-{{2\alpha u} \over {mv_{\infty }^{2}}}}}}=-\int _{{1} \over {r_{min}}}^{0}{{\rho du} \over {\sqrt {-\rho ^{2}\left(u+{{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}\rho ^{2}}}\right)^{2}+{{{{4\alpha ^{2}} \over {m^{2}v_{\infty }^{4}}}+4\rho ^{2}} \over {4\rho ^{2}}}}}}=\;$
$=-\int _{0}^{{1} \over {r_{min}}}{{du} \over {\sqrt {-\left(u+{{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}\rho ^{2}}}\right)^{2}+{{\alpha ^{2}} \over {m^{2}v_{\infty }^{2}\rho ^{2}}}+{{1} \over {\rho ^{2}}}}}}=-\int _{{1} \over {r_{min}}}^{0}{{d{{u} \over {\sqrt {\left({{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}\rho ^{4}}}\right)^{2}+{{1} \over {\rho ^{2}}}}}}} \over {\sqrt {1-\left({{u} \over {\sqrt {\left({{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}\rho ^{4}}}\right)^{2}+{{1} \over {\rho ^{2}}}}}}+{{{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}\rho ^{2}}} \over {\sqrt {\left({{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}\rho ^{4}}}\right)^{2}+{{1} \over {\rho ^{2}}}}}}\right)^{2}}}}=\;$
$=\operatorname {arccos} {{{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}\rho }} \over {\sqrt {1+\left({{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}\rho }}\right)^{2}}}}$

(2.54)

Patrząc na przeprowadzone obliczenia (2.54), stąd wywnioskujemy, że zachodzi równość na zależność kwadratu parametru zderzenia ρ i kąta θ₀, do którego podstawimy wzór wynikający z (2.35), którym zamiast θ₂ jest tutaj θ₀:

$\operatorname {ctg} ^{2}\theta _{0}={{\alpha ^{2}} \over {m^{2}v_{\infty }^{4}\rho ^{2}}}\Rightarrow \rho ^{2}={{\alpha ^{2}} \over {m^{2}v_{\infty }^{4}}}\operatorname {tg} ^{2}\theta _{0}\Rightarrow \rho ^{2}={{\alpha ^{2}} \over {m^{2}v_{\infty }^{4}}}\operatorname {ctg} ^{2}{{\chi } \over {2}}\;$

(2.55)

Wyrażenie (2.55) różniczkujemy względem χ obustronnie i wynik podstawiamy do końcowego wzoru (2.52), w ten sposób otrzymujemy końcowy wynik względem zmiennej χ, a także względem kąta bryłowego:

$d\sigma =\pi \left({{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}}}\right)^{2}{{\cos {{1} \over {2}}\chi } \over {\sin ^{3}{{\chi } \over {2}}}}d\chi \;$

(2.56)

$d\sigma =\left({{\alpha } \over {2mv_{\infty }^{2}}}\right)^{2}{{do} \over {\sin ^{4}{{1} \over {2}}\chi }}\;$

(2.57)

Wzór (2.57) opisuje przekrój czynny w układzie środka masy, aby przejść do układu laboratoryjnego należy zastosować wzór (2.35), który przedstawimy jako χ=π-2θ₂, w ten sposób:

$d\sigma _{2}=2\pi \left({{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}}}\right)^{2}{{\sin \theta _{2}} \over {\cos ^{3}\theta _{2}}}d\theta _{2}=\left({{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}}}\right)^{2}{{do_{2}} \over {\cos ^{3}\theta _{2}}}\;$

(2.58)

W ogólnym przypadku przejście do układu laboratoryjnego prowadzi do bardzo skomplikowanej zależności, zatem rozpatrzmy jego szczególne przypadki. Jeśli według wzoru (2.32) masa cząstki m₂ jest o wiele większa niż masa cząstki m₁, to wtedy zachodzi χ≈θ₁ i m≈m₁, wtedy przekrój czynny (2.58) ma się:

$d\sigma _{1}=\left({{\alpha } \over {4E_{1}}}\right)^{2}{{do_{1}} \over {\sin ^{4}{{1} \over {2}}\theta _{1}}}\;$

(2.59)

Jeśli masy obu cząstek są jednakowe, tzn. m₁=m₂, m=m₁/2, to zgodnie z (2.44) prowadzi to do tożsamości:

$d\sigma _{1}=2\pi \left({{\alpha } \over {E_{1}}}\right)^{2}{{\cos \theta _{1}} \over {\sin ^{3}\theta _{1}}}d\theta _{1}=\left({{\alpha } \over {E_{1}}}\right)^{2}{{\cos \theta _{1}} \over {\sin ^{4}\theta _{1}}}do_{1}\;$

(2.60)

Jeśli dwie nasze cząstki nie można rozróżnić, to całkowity przekrój na zderzenie obu cząstek jest sumą przekrojów czynnych (2.58) i (2.60):

$d\sigma =\left({{\alpha } \over {E_{1}}}\right)^{2}\left({{1} \over {\sin ^{4}\theta }}+{{1} \over {\cos ^{4}\theta }}\right)\cos \theta do\;$

(2.61)

Rozważmy teraz przypadek ogólny (2.56), który opisuje cząstki dla ich różnych mas, którego przestawienie jest napisane przy pomocy wzoru (2.37) dla drugiej cząstki początkowo będącej w spoczynku, i dla pierwszej cząstki poruszająca się z prędkością v_∞, wzór na prędkość drugiej cząstki po zderzeniu jest napisane poprzez:

$v_{2}^{'}={{2m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}v_{\infty }\sin {{\chi } \over {2}}\;$

(2.62)

Energia kinetyczna cząstki drugiej po zderzeniu możemy przestawić z jej definicji na podstawie prędkości tejże cząstki (2.62), i policzmy też jego różniczkę w tej samej linijce, wtedy te wzory przedstawiamy:

$\epsilon ={{m_{2}{v_{2}^{'}}^{2}} \over {2}}={{2m^{2}} \over {m_{2}}}v_{\infty }^{2}\sin ^{2}{{\chi } \over {2}}\;$

(2.63)

$d\epsilon ={{2m^{2}} \over {m_{2}}}v_{\infty }^{2}\sin {{\chi } \over {2}}\cos {{\chi } \over {2}}d\chi \;$

(2.64)

Wzory (2.63) i (2.64) podstawiamy do ogólnego równania na przekrój czynny (2.56), w ten sposób otrzymujemy:

$d\sigma =\pi \left({{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}}}\right)^{2}{{\sin {{1} \over {2}}\chi \cos {{1} \over {2}}\chi } \over {\sin ^{4}{{1} \over {2}}\chi }}d\chi =\pi \left({{\alpha } \over {mv_{\infty }^{2}}}\right)^{2}{{d\epsilon m_{2}} \over {2m^{2}v_{\infty }^{2}}}{{4m^{4}v_{\infty }^{4}} \over {m_{2}^{2}\epsilon ^{2}}}=2\pi {{\alpha ^{2}} \over {m_{2}v_{\infty }^{2}}}{{d\epsilon } \over {\epsilon ^{2}}}\;$

(2.65)

Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych katów

Będziemy rozpatrywać te zderzenia, które charakteryzują się dużym parametrem zderzenia, wtedy katy rozproszenia są zazwyczaj małe. Sinus kąta rozproszenia jest mały i jest napisany wzorem:

$\sin \theta _{1}={{p_{1y}^{'}} \over {p_{1}^{'}}}\;$

(2.66)

Początkowo cząstka miała pęd równy p₁ i wyniku oddziaływania z pewnym polem nabyła pędu prostopadłego do poprzedniej wartości pędu równą p'_1y. Powyżej będziemy rozpatrywali małe katy rozproszenia w układzie laboratoryjnym, a nie w układzie środka masy. Dla małych kątów rozproszenia możemy zastąpić oczywiście sinθ₁ przez θ₁, a w mianowniku należy zastąpić p'₁ przez m₁v_∞, co w takim wypadku mamy w przybliżeniu:

$\theta _{1}\simeq {{p_{1y}^{'}} \over {m_{1}v_{\infty }}}\;$

(2.67)

Ponieważ zachodzi ${\dot {p}}_{y}=F_{y}\;$, wtedy całkowity przyrost pędu w kierunku osi igrekowej, zakładając jednocześnie, że pęd igrekowy początkowy był równy zero, jest wyrażony poprzez:

$p_{1y}^{'}=\int _{-\infty }^{\infty }F_{y}dt\;$

(2.68)

Współrzędną igrekową zdefiniowaną poprzez potencjał względem współrzędnej igrekowej pola, którą piszemy jako pochodną potencjału względem współrzędnej radialnej i innych parametrów, piszemy:

$F_{y}=-{{\partial U} \over {\partial y}}=-{{dU} \over {dr}}{{\partial r} \over {\partial y}}=-{{dU} \over {dr}}{{y} \over {r}}\;$

(2.69)

W naszych obliczeniach należy oczekiwać, że cząstka niewiele odchyliła się od swego biegu, czyli porusza się ona ruchem prawie prostoliniowym, wtedy mamy y=ρ. a dt możemy wyrazić poprzez prędkość w nieskończoności v_∞ i różniczkę położenia iksowego, wtedy te wzory:

$F_{y}=-{{dU} \over {dr}}{{\rho } \over {r}}\;$

(2.70)

$dt={{dx} \over {v_{\infty }}}\;$

(2.71)

Wzór na całkowite siłę igrekową (2.70) i różniczkę czasu (2.71) podstawiamy do wzoru na całkowity przyrost pędu igrekowego (2.68), w ten sposób:

$p_{1y}^{'}=-{{\rho } \over {v_{\infty }}}\int _{-\infty }^{\infty }{{dU} \over {dr}}{{dx} \over {r}}\;$

(2.72)

Z definicji promienia radialnego możemy wyrazić x, a potem przyrost dx w zależności od położenia radialnego "r" i parametru zdarzenia ρ w postaci:

$r^{2}=x^{2}+\rho ^{2}\Rightarrow x={\sqrt {r^{2}-\rho ^{2}}}\Rightarrow dx={{rdr} \over {\sqrt {r^{2}-\rho ^{2}}}}\;$

(2.73)

Końcowy wzór (2.73) podstawiamy do (2.72), a to wzoru (2.67), w ten sposób otrzymujemy tożsamość na kąt θ₁ w zależności od parametru zdarzenia ρ:

$\theta _{1}=-{{2\rho } \over {m_{1}v_{\infty }^{2}}}\int _{\rho }^{\infty }{{dU} \over {dr}}{{dr} \over {\sqrt {r^{2}-\rho ^{2}}}}\;$

(2.74)

Mając znany potencjał U możemy wyznaczyć zależność θ₁ od ρ, co tą zależność możemy odwrócić, tak by otrzymać zależność ρ od kąta θ₁ w układzie laboratoryjnym, co go możemy podstawić do (2.53) i dla małych katów otrzymać wzór na przekrój czynny:

$d\sigma =\left|{{d\rho } \over {d\theta _{1}}}\right|{{\rho (\theta _{1})} \over {\theta _{1}}}do_{1}\;$

(2.75)